电流和恒磁场

直线电流的磁感应线
I
B
圆电流的磁感应线
I
B
通电螺线管的磁感应线
I
B
3 磁通量 m 1） 通过任意面元dS 的磁通量
dΦm B dS B cos dS
B
dS
B
S
2） 通过任意曲面 S 的磁通量
Φm
S dΦm
B dS
S
Bcos dS
S
(11-27)
3） 通过任意闭合曲面 S 的磁通量
dl ( a sin2 ) d
lr
r a sin a sin
得：
B
0 4
I
a sin 2
d
sin
a2 sin2
a
1
.PdB
0 4
I a
2sin
1
d
0I 4 a
(
cos 1
cos2
)
★ 结论：
一段直电流的磁场公式：
I
B
0 4
I a
(
cos 1
cos2
)
2
其中：
Idl
a — P 点与直电流间的垂直距离；
§11-3 毕奥-沙伐尔定律
一、毕奥 - 沙伐尔 定律
实验定律，反映电流在空间激发磁场的规律。
I
1. 电流元的磁场 电流元 : Idl
大小： I d l
Idl 方向：该处电流的方向。
Id l
r
dP.B
其在 P 点的磁感应强度:
dB 0 4
dB Idl
Idl sin
r2
,
1 r2
, sin
0
cos
30)
0I (1 3 )
2 R 2
Bbc
0I 4 R
0I 2 4 R 3
0I
6R
BO Bab Bbc Bcd
0I (1 R
3 ) 0I
2 6R
6. 如图,求 BO。
BO
0
0I 4 R 2
0
0I
8R
•
I
7. 如图, 求BO 。
BO
0I ( 4 R
cos 0
BO
0I
2R
wenku.baidu.comI R
O
（2）一段圆弧电流在圆心处的磁场：
BO
0I
2R
2
0I 4 R
圆电流的磁矩： m ISn
I
O R
４. （练习七 计算题 １）
在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导线沿半径方向引到 远的电源上，求环中心0处点的磁感应强度
解：
左路：
I
B1O
0 4
I1 R
1
0 I1 4 R
l1 R
右路：
I1
l1
R•
1 O 2 •
I l2
2
I
B2O
0I2 4 R
2
0I2 4 R
l2 R
×
I1 l1 I2 l2
BO B1O B2O 0
５．如图，求圆心O
点的磁场
BO
。
I
解： Bab Bcd a
0 4
I a
(cos1
cos2
)
4
b
60 c
d
R
c0oIsR60O•(cos
如果电势能的降低全部转变为热能，则
Q=A=I2R t , P=I2R，焦耳定律的数学表达式。
在电流场中一细电流管运用焦耳定律，得
P=I2R=(jS)2 (l /S)=j2(lS)=j2 单位导体体积的热功率为热功率密度p=E2 , 焦耳定律
的微分形式 。
七 电源的电动势
1 电源
1） 将正电荷从低电势处移至高电势处 以维持恒定电势差的装置。
五、欧姆定律 (Ohm’s law)
R是与U 和I 无关的常量。
I U R
U 2 E
I
S
反映了金属导体导电的基本特性，电阻 U1
是常量，电流与电势差成正比。适用于金属
l
导体，电解液和熔融盐。
取长l 截面积S的细电流管，根据欧姆定律I=U/R，
其中I=jS，U=El，R=l/S，
欧姆定律的微分形式：j E
1. 磁场的高斯定理
— 磁场中通过任一闭合曲面的磁通量 = 0 。
2. 磁场的高斯定理的意义 — 说明磁场是无源涡旋场。
3. 关于单磁极 （1）寻找单磁极子； （2）预测单磁极子的性质； （3）研究单磁极子的意义。
4. 磁场的高斯定理的推论： 磁场中通过以某一闭合曲线为周界的任一曲面的
磁通量 m 均相等。
方向：由负极经电源内部指向正极。
单位： V （伏特）
§11－2 基本磁现象
一 磁现象 磁场 — 运动电荷周围存在的一种物质。
1. 运动电荷 电流
磁场；
2. 磁场可脱离产生它的“源”独立存在于空间；
3. 磁力通过磁场传递，作用于运动电荷或载流导线；
4. 磁场可对载流导线做功，所以具有能量。
演示磁场电流相互作用
(11-2)
二、电流密度和电流强度的关系
1. 通过面元 dS 的电流
dI j dS j dS cos j dS
(11-2)
2. 通过任一面积 S 的电流强度
dS
j
I
I S j dS （11-4）
电流 I 是通过某一面积的电流密度 j的通量。
3. 稳恒电流的条件
在电流场内作一任意闭合面 S ，则有
Φm S B dS S Bcos dS
4） 磁通量的单位 Wb （韦伯）
S
B
四、磁场的高斯定理 （p 334)
dm Bcos dS
n
∵
,
2
,
2 B线
dm 0 dm 0 ,
恒闭合，
,
穿出为正通量；
穿进为负通量； n
m进 m出
B dS 0 S
n
B
S n
(11-32)
(11-29)
其中： 0 4 107 N A2 称 真空的磁导率
引入
dB 0
r的单位矢量4r0
Idl sin
r2
： r0
则得：
毕-沙-
dB
拉 定律：
0 Idl 4 r 2
r0
r r
Idl
r0
r d.PB
(11-28)
dB
大小： 方向：
dB 0 4
Idl sin
r 2
§11－1 稳恒电流
一、电流强度和电流密度
1 电流强度
大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。
ΔQ dQ I lim
Δt0 Δt dt
方向：正电荷运动的方向。
(11-1)
dS
I
单位： A （安培）
2 电流密度
大小：通过垂直于该点正电荷运动方向的单位面积的电流。
j dI dS
方向：该点正电荷定向运动的方向。
三、磁感应线（
B
线）和磁通量
用一簇空间曲线形象地描述磁场的分布。
1. 磁感应线画法规定：
(1) 切向表示 B的方向;
(2) 密度表示 B的大小。
B dN dS
2. 磁感应线的性质
B
dS
B线
（1）任两条磁感应线不相交。
（2）磁感应线是环绕电流的闭合曲线；
（3）磁感应线绕行方向与电流方向成右手关系。
cos
2
)
0I 0I ( cos cos ) 4 R 4 R 2
O• R
RI
•O
0I 0I 0I 0I 0I • 4 R 4R 4 R 2 R 4R
8. 如图,求 BO。
Bab
0I 4 R
Bbc
0I 3 4 R 2
3 0I
8R
I
bI
c
OR R
d
I
a
Bcd
电流和恒磁场
基本要求
一、掌握磁感应强度的定义及物理意义。
二、理解毕 - 沙 定律，能计算规则形状的载流导体的
磁场分布。 三、理解磁场高斯定理和安培环路定理，掌握用安培环路
定理计算磁感应强度的方法。
四、掌握用安培定理计算磁场对载流导线的作用。
五、了解带电粒子在磁场中的运动。
六、了解磁介质和有磁介质时的安培环路定理。
分析对称性： B
dB 0
Bx dBx
0 4
I dl r2
sin
0 4
Idl r2
R r
0IR 4 r 3
dl
0 4
I r
R
3
2
R
2(
0 I
R2
R2 x2 )3
2
Idl
y
B
Bx
i
2
(
0 I
R2
R2 x2 )3
2
i
R
IO
★ 结论：
演示轴线上的场
r
x
B
•
Px
（1）圆电流圆心处的磁场：
B 0 I 2 r
2. 圆电流轴线上的磁场 (已知: R 、I ) 讲义 P. 316 例 11 - 2
y
解：建立坐标系 Oxy 如图：
任取电流元
I
dl
Idl
R
其在 P 点的磁感应强度dB
IO
dB
大小： 方向：
dB
0 4
Idl
I
rr
dl
2
r
dB
dB
•
P
dBx
x
dBx dBsin
dB dBcos
任取电流元 Idl
其在 P 点的磁感应强度为dB ，
I
Idl
dB
大小：dB 0 4
Idl sin
r2
方向：
B
dB
0 4
I dl sin
r2
r
aa dP.B
需要统一积分变量进行积分。
B
dB
0 4
I dl sin
r2
I
2
统一θ为积分变量
Idl
由几何关系： l a cot a cot
电阻单位是(欧姆)：1=1VA-1，电阻的倒数称为电导 ，用G表示，单位是S(西门子)：1S=1-1 。
四、导体的电阻率 (resistivity of conductor)
电阻率定义为电场强度E大小与同
点电流密度j大小之比
E j
导体材料电阻率决定于材料自身性质。金属材料的电阻
率为: = 0 (1+t )，为电阻温度系数。
I
SN
二、磁感应强度 B
z
1. 实验结果
F
B
F q, v, B, sin
F q v B sin q v B
o q +
v∥
y
x v
v
2. B 的定义 磁感应强度 B
单位正电荷以
大小: B F F
q v q v sin
单位速度垂直 磁场运动时受 的磁力
方向: 小磁针的N极在该点的指向
单位: T ( 特斯拉 ) 1 T 104 G ( 高斯 )
S j dS 0
(11-7)
三、导体的电阻(resistance of conductor)
电阻定义为两端电势差与电流之比
RU I
伏安特性曲线以电势差U作横坐标电流I作纵坐标。
金属和电解液导体的伏安特性曲线是一条过原点的直线。 这种性质的电阻称为线性电阻或欧姆电阻，具有这种性质的 器件为线性器件。也有非线性器件。
1 — 起点电流元的方向与该电流元
到 P 点矢径的夹角；
a .B× P
2 — 终点电流元的方向与该电流元
1
到 P 点矢径的夹角。
B
0 4
I a
(
cos 1
cos2
)
例：
2
2
I
I
I
r .P
I
1 90.
aP
★ 结论：
.P1
1 0
r
(1) 直电流延长线上各点的磁场：B 0
B
(2)“无限长”直电流的磁场：
纯金属线膨胀系数要小得多，可忽略其长度和截面积
变化，R=R0(1+t)，可制成电阻温度计。
常用电阻温度计有铜电阻温度计(-50℃150℃)和铂电 阻温度计(-200℃500℃)。
电 阻 率 单 位 m( 欧 姆 米 ) 。 电 阻 率 的 倒 数 为 电 导 率
(conductivity)用表示，单位是Sm-1(西门子/米)。
Bde
0
0 I 4 ( 2R
)
0I 8 R
BO Bab Bbc Bde
0I ( 3 1 )
×
0I 4 R
3 0I
8R
e
0I 8 R
8R
小结 对复杂形状的载流导体，可将其分解为几种简单的载流 导体，然后求其矢量和，显然磁场的计算具有组合的 特点。
P 317 例题 11-3 运动电荷的磁场
某些材料电阻率在其特定温度TC以下减小到接近零的现 象称为超导现象。
处超导状态的材料为超导体(superconductor) 。 TC称为超导转变温度，不同材料具有不同TC。钛的TC为 0.39K，铝为1.19K，铅为7.2K，Hg-Ba-Ca-Cu-O系氧化物 为134K等。
超导体还具有其它一些独特的物理性质。
右手法则，dB (
Idl
r)
(11-29)
2. 载流导线的磁场
B
l
0 4
Idl
r0
r2
（矢量积分） (11-30)
方向判断练习
• dB
r
Idl
dB
r
Idl
r
Idl
dB
dB
r
Idl
•
二、毕 - 沙 定律 的应用（重点 计算B的方法之一）
1. 一段直电流的磁场
讲义 P.316 例 11-1
电荷定向运动
电流
电流元 Idl
载流子总数 dN n Sdl
q
Idl
qnv
dl S
qnvdl
S
dl
其中：
vS I
电荷 密度 速率 截面积
dB B
ddNB40I4dlr02qrv0r2r040
A
E
B
2） 提供非静电力的装置。
Ek
凡电源内部都有非静电力，
U
非静电力使正电荷由负极经电源内部到达正极。
A
UB
引入：非静电场强
Ek
=
单位正电荷所受的非静电力。
Ek E
Fk qEk
2 电动势ε
A非
L qEk
dl
qEk 内
dl
qEk 外
dl
内 qEk
dl
★ 结论：当电荷在闭合电路中运动一周时，只有非静电力做功
反映金属导体中任意一点上 j与E之间的关系。适用于恒 定电流的情形和变化的电流场。
六、电功率(electric power)和焦耳定律(Joule’s law)
在电路中电场力作的功称为电流的功或电功。电流作
功为dA=dqU=IUdt,U从A到点B电势降落。
电流作的总功 A=IUt ，电功率为
P d A IU dt
且只在电源内部做功。
定义： A非
q
内 Ek
dl
L Ek dl
(11-22) (11-22) (11-23)
A
E
B
Ek
L Ek dl 内 Ek dl
电源电动势 =
1. 把单位正电荷沿闭路径移动一周时 非静电力的功；
2. 把单位正电荷经电源内部由负极移到 正极时非静电力的功。