空间向量与垂直关系.ppt
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空间向量与垂直关系课件
0，BD1 AC，BD1 AC.
2
EB1
( 1 ，1 ，1)， 22
BD1
EB1
1
1 2
Байду номын сангаас
1
1 2
11
0， BD1
EB1，
BD1
EB1.
2.如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，假设在线段SD上存
在一点F，使AE⊥CF，设SD=AB=1，则F(0，0，z)，C(0，
1，CF 0，1，z.
(2)坐标法. 方法一:①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; ④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0; 方法二:①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求出平面的法向量; ④判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
【拓展提升】 1.利用空间向量证明面面垂直的方法 (1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面 垂直进而转化为线线垂直问题. (2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而 得到两个平面垂直.
2.向量法证明空间几何问题的两种基本思路 思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断； 思路二：用向量的坐标表示几何量，共分三步: (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表 示问题中所涉及的量，把立体几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系. (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明：PA∥平面EDB. (2)证明：PB⊥平面EFD.
3.2.2空间向量与平行.垂直关系
∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
空间向量与垂直关系
z
设PA＝PB＝PC＝3,则
C
G (1,1,0) F (0,1,0)
E
P
F
B
DG
y
A
知识点四:利用垂直关系判断存在性
例4. 直 三 棱 柱ABC - A1B1C1中,底 面 是 以ABC
为直角的等腰直角三角形, AC 2, BB1 3,
D是A1C1的 中 点, 在 线 段AA1上 是 否 存在 点F ,
建系前先证OC,OB,OM 两两垂直
E(0,- 3,0),
D(1,0,1),
E
A(0, 3,2)
z
A
M
D
O
By
C x
A
知识点三:证明面面垂直
变式 :在正三棱锥P－ABC中, 三条侧棱两两相
互垂直,G为△PAB的重心 , 点E,F分别BC,
PB上,BE:EC＝PF:FB＝1:2,
求证:平面EFG ⊥平面PBC .
b
a
线面垂直
a
b
B
l
^
a,
l
^
b
l
^a
面面垂直
a
^
n
^
m
作业
《高效评价训练》 P143 T11 , P144 T7,8
使点A与点B之间的距离为AB 3,
求证: BA ^ 平面ACD. z
C
D(0,0,0),C(0,0, 2),
B(0,2,0), A( 3 , 1 ,0)Biblioteka 22 ADBy
x
A'
知识点三:证明面面垂直
例3 . 在四棱锥E－ABCD中, AB ⊥平面BCE , CD⊥面BCE , AB＝BC＝CE＝2CD＝2, ∠BCE＝120°, 求证:平面ADE ⊥平面ABE .
设PA＝PB＝PC＝3,则
C
G (1,1,0) F (0,1,0)
E
P
F
B
DG
y
A
知识点四:利用垂直关系判断存在性
例4. 直 三 棱 柱ABC - A1B1C1中,底 面 是 以ABC
为直角的等腰直角三角形, AC 2, BB1 3,
D是A1C1的 中 点, 在 线 段AA1上 是 否 存在 点F ,
建系前先证OC,OB,OM 两两垂直
E(0,- 3,0),
D(1,0,1),
E
A(0, 3,2)
z
A
M
D
O
By
C x
A
知识点三:证明面面垂直
变式 :在正三棱锥P－ABC中, 三条侧棱两两相
互垂直,G为△PAB的重心 , 点E,F分别BC,
PB上,BE:EC＝PF:FB＝1:2,
求证:平面EFG ⊥平面PBC .
b
a
线面垂直
a
b
B
l
^
a,
l
^
b
l
^a
面面垂直
a
^
n
^
m
作业
《高效评价训练》 P143 T11 , P144 T7,8
使点A与点B之间的距离为AB 3,
求证: BA ^ 平面ACD. z
C
D(0,0,0),C(0,0, 2),
B(0,2,0), A( 3 , 1 ,0)Biblioteka 22 ADBy
x
A'
知识点三:证明面面垂直
例3 . 在四棱锥E－ABCD中, AB ⊥平面BCE , CD⊥面BCE , AB＝BC＝CE＝2CD＝2, ∠BCE＝120°, 求证:平面ADE ⊥平面ABE .
空间向量与平行、垂直关系
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1308:5 9:3608: 59:36D ecembe r 13, 2020
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 8时59 分36秒0 8:59:36 20.12.1 3
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
3-Dec-2020.12.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1308:59:3613 December 202008:59
应用举例：
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是
C1C, B1C1 的中点, 求证:MN∥平面zA1BD.
解题思路：如图建立空间直
D1
C1
角坐标系，求出平面A1BD的 A1
B1
法向量 n (1,1,1) ，只需
证明 MN n ，即证 MN n 0
y
M(0, 2, 1 ), N(1, 2, 2 )
MN (1, 0, 1)
x
MN n 1 0 1 0
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面
A1FD1.
z
略解：如图建立空间直角坐标系
设棱长为2 则 E(2, 2, 1), A( 2, 0, 0 )
DE (2, 2, 1), AE (0, 2, 1)
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/13/
2020 8:59:36 AM08:59:362020/12/13
空间向量与垂直关系 课件
1.用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么? 提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后把证明线、 面的垂直关系转化为向量的平行或垂直的关系.
2.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为_______.
【解析】设n=(x,y,z),且n⊥a,n⊥b,则:
n n
a b
C(0,0,0), A( 2, 2,0), B(0, 2,0), D( 2,0,0), E(0,0,1), F( 2 , 2 ,1),
22 CF ( 2 , 2 ,1), BE (0, 2,1),
22 DE ( 2,0,1),
CF BE 0 11 0,CF DE 1 0 1 0,
DD1 (0,0, 2), AC ( 2, 2,0), DB (2, 2,0), DD1 AC 0 0 0 0, DB AC 4 4 0 0, DD1 AC, DB AC.
∴D1F⊥平面AEG.
方法三:以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建立空间
直角坐标系，设正方体棱长为1，则
D1
0, 0,1 , F(1,
1 2
, 0),
A1,0,0,G( 1 ,1,0), E(1,1, 1 ).
2
2
D1F
(1,
1 2
,
1),
AG
(
1 2
,1,
0),
AE
(0,1,
0,
0,1
,
F(1,
1 2
,
0),
A
1,
0,
0
,
G
(
1 2
,1,
0),
E(1,1,
1 2
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学空间向量与立体几何1.41.4.1第3课时空间中直线平面的垂直课件
[跟进训练] 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中 点．求证：平面AED⊥平面A1FD1.
[证明] 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)， A1(2,0,2)，D1(0,0,2)， ∴D→A＝D→1A1＝(2,0,0)，D→E＝(2,2,1)， D→1F＝(0,1，－2)．
当堂达标·夯基础
1．已知直线l1的方向向量a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量b＝
(－2,3，m)．若l1⊥l2，则m＝( )
A．1
B．2
C．12
D．3
B [由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2.]
1234 5
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－
易得B(0,0,0)，A(0，－1， 3)，
D( 3，－1,0)，C(0,2,0)，
因而E0，12， 23，F 23，12，0，
所以E→F＝
23，0，－
23，B→C＝(0,2,0)，
因此E→F·B→C＝0.从而E→F⊥B→C，
所以EF⊥BC．
用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤 (1)基底法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其 两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底 表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量 积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角 坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直 线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向 向量垂直得到两直线垂直．
人教A版高中数学选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 第4课时 空间向量的平行、垂直关系
探究 1:求平面的法向量 【例 1】
如图,已知四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系,求: (1)平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量; (2)平面 SCD 的一个法向量.
1 2
【方法指导】一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量 的步骤:①设出平面的法向量为 n=(x,y,z);②找出(求出)平面内 的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);③根据法向量的 定义建立关于 x,y,z 的方程组 一个解,即得法向量. n·a = 0, n·b = 0; ④解方程组,取其中的
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 E(a,2,0),F(2,a,0),G(a,0,2). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0,2,-2),
a a FE=( ,- ,0), 2 2 1 1 a a a a a
n ⊥ GE,⇒ 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2
2
2
2
(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( , ,1),DE= (- 2,0,1),BE=(0,- 2,1),AM=(- 2 ,- 2 ,1). 设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE, n·DE = 0, - 2a + c = 0, ∴ ∴ n·BE = 0, - 2b + c = 0, 令 c=1,则 a= 2 ,b= 2 ,n=( 2 , 2 ,1),∴n·AM=0.
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)(共36张PPT)
1
C(0,2,0),C1(0,2,1),E 0,0,
2
,
1
则1 =(0,0,1),=(-2,2,0),1 =(-2,2,1), = -2,0,2 .
设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1).
1 ·1 = 0,
1 = 0,
则
⇒
-21 + 21 = 0.
1 · = 0
令 x1=1,得 y1=1.∴n1=(1,1,0).
设平面 AEC1 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2).
-22 + 22 + 2 = 0,
2 ·1 = 0,
1
则
⇒
-2
+
2 = 0,
2
2 · = 0
2
令 z2=4,得 x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).
1 1
证明:同例题建系,易知= 0,2 , 2 ,=(a,0,0),因为 · =0,所以 AF⊥BC.
归纳总结
利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然
后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互
=0,因此 CE⊥AM,CE⊥AD.
又 AM∩AD=A,∴CE⊥平面 AMD.
又 CE⊂平面 CED,∴平面 AMD⊥平面 CED.
金题典例
金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角
形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
设直线 l 的方向向量为 μ,平面 α 的法向量
为 n,则
l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
C(0,2,0),C1(0,2,1),E 0,0,
2
,
1
则1 =(0,0,1),=(-2,2,0),1 =(-2,2,1), = -2,0,2 .
设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1).
1 ·1 = 0,
1 = 0,
则
⇒
-21 + 21 = 0.
1 · = 0
令 x1=1,得 y1=1.∴n1=(1,1,0).
设平面 AEC1 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2).
-22 + 22 + 2 = 0,
2 ·1 = 0,
1
则
⇒
-2
+
2 = 0,
2
2 · = 0
2
令 z2=4,得 x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).
1 1
证明:同例题建系,易知= 0,2 , 2 ,=(a,0,0),因为 · =0,所以 AF⊥BC.
归纳总结
利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然
后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互
=0,因此 CE⊥AM,CE⊥AD.
又 AM∩AD=A,∴CE⊥平面 AMD.
又 CE⊂平面 CED,∴平面 AMD⊥平面 CED.
金题典例
金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角
形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
设直线 l 的方向向量为 μ,平面 α 的法向量
为 n,则
l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
人教版数学选择性必修一1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课件
∴EF⊥平面B1AC.
[例2] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，
D1B1的中点. 求证：EF⊥平面B1AC.
设＝a， ＝c， 1＝b，
1
1
则＝1 ＋1 ＝ (1 ＋ 11 )＝ (1 ＋ )＝
1
(1＋
2
− )
[例2] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，
D1B1的中点. 求证：EF⊥平面B1AC.
设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1,－1,1).
BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.
求证：EF⊥BC.
[例1] 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝
BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.
求证：EF⊥BC.
建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0,0,0)，A(0,－1, 3)，D( 3,－1,0)，C(0,2,0)，
点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
2.证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之
间的关系来证明.
∴n＝－2a
∴a∥n
∴l⊥α.
5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，
－4
且α⊥β，则x＝_____.
[例2] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，
D1B1的中点. 求证：EF⊥平面B1AC.
设＝a， ＝c， 1＝b，
1
1
则＝1 ＋1 ＝ (1 ＋ 11 )＝ (1 ＋ )＝
1
(1＋
2
− )
[例2] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，
D1B1的中点. 求证：EF⊥平面B1AC.
设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1,－1,1).
BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.
求证：EF⊥BC.
[例1] 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝
BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.
求证：EF⊥BC.
建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0,0,0)，A(0,－1, 3)，D( 3,－1,0)，C(0,2,0)，
点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
2.证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之
间的关系来证明.
∴n＝－2a
∴a∥n
∴l⊥α.
5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，
－4
且α⊥β，则x＝_____.
用空间向量研究直线、平面的位置关系PPT课件
的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =
向量法在空间垂直关系中的应用 课件
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(3)由于点 M 在 AE 上， 所以可设A→M＝λ·A→E＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， ∴M(2,2λ，λ)，A→1M＝(0,2λ，λ－2)． 要使 A1M⊥平面 DAE，需 A1M⊥AE， ∴A→1M·A→E＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0， ∴λ＝25．故当 AM＝25AE 时，A1M⊥平面 DAE．
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面面垂直
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、 G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点，求证：
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F； (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G； (3)在 AE 上求一点 M，使得 A1M⊥平面 DAE．
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[分析] 证法一：选取基向量A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c ―→
用a，b，c表示E→F，A→B1，B→1C0 ―→ 结论
证法二： 建系 ―→ 求出A、C、E、F、B1各点坐标 ―→
求出E→F，A→B1，A→C的坐标 ―→
利用向量的坐标运算求得E→F·A→B1＝0，E→F·A→C＝0
―→
结论
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[证明] 证法一：设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则E→F＝E→B1＋ B→1F＝12(B→B1＋B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)
[方法规律总结] 证明直线l⊥平面α，(一)取直线的方向向 量e和平面的法向量n，验证e∥n；(二)取直线的方向向量e和与 平面α平行的两不共线向量a，b，验证e·a＝0且e·b＝0．可以 选取基向量表示，方便建系时一般用坐标法证明．
人教A版高中数学选择性必修第一册1.4.2空间向量的应用课件
∵M为BC中点，
∴M14， 43，0. ∴―M→N＝－14， 43，14，―A→B 1＝(1,0,1)，
∴―M→N·―A→ B 1＝－14＋0＋14＝0. ∴―M→N⊥―A→ B 1，∴AB1⊥MN.
反思与感悟
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系―→ 写出点的坐标―→ 求直线的方向向量―→证明向量垂直―→得到两直线垂直.
梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)， 则l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k_∈__R_)_.
知识点三 向量法判断面面垂直 思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向 量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
23a，
23a，0，D(0，
3a,0)，E
43a，
43a，a2，
F(0， 23a，a2)，
故―A→ B ＝(0,0，－a)，―BC→＝
23a，
23a，0.
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则nn11··― ―BACB→ →＝ ＝00， ，
即－x1＋azy1＝1＝00，，
取 x1＝1， ∴n1＝(1，－1,0)为平面 ABC 的一个法向量. 设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量， 同理可得 n2＝(1,1，－ 3). ∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－ 3)＝0， ∴平面 BEF⊥平面 ABC.
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2， c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔_a_1_a_2＋__b_1_b_2_＋__c1_c_2_＝__0_.
3.2.2空间向量与垂直关系.ppt
A( 1 ,0,0)，B( 1 ,0,0)，
2
2
C(0,
微课堂·微思考 【思考】用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键 是什么? 提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后 把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
【自我总结】
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
(1)证明两直线所成的角为
线线 90°.
两直线的方向向
垂直 (2)若直线与平面垂直,则此直 量互相垂直
向量法
对于直线l,m和平面α ,β 面 (1)若l⊥α ,l⊂β ,则α ⊥β . 面 (2)若l⊥α ,m⊥β ,l⊥m,则 垂 α ⊥β . 直 (3)若平面α 与β 相交所成的
二面角为直角,则α ⊥β
证明两个平面的 法向量互相垂直
【自我检测】 1.若直线l的方向向量为a=(-1,0,2),平面α 的法 向量为n=(-2,0,4),则 ( ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α 斜交
【解析】1.设M(x,y,z),又 AB =(-1,1,0), AM=(x,y,z-1),CM =(x-1,y-2,z+3), 由点M在直线AB上得 AB与AM 共线, AM AB， 即x=-λ,y=λ,z-1=0,
又CM⊥AB,向量 CM与向量AB 的数量积为0,
即 CM· AB =0,得-(x-1)+(y-2)=0,
2
所以 AB CP,所以AB⊥PC.
【方法技巧】 利用向量法证明线线垂直的依据和关键点
(1)依据: 转化为证明直线的方向向量垂直,即证明它们的方向向 量的数量积为0.
(2)关键: 建立恰当的空间直角坐标系,正确地表示出点的坐标, 进而求直线的方向向量.
3.2立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系 课件
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中 点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明 方法一 如图取 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设 正 方 体 棱 长 为 2 ， 则 O(1,1,0) ， A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)， → → → ∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)， → → → → 而OA1· OB＝1－1＋0＝0，OA1· BG＝－2＋0＋2＝0. → → → → ∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而 OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面 GBD.
角坐标系．则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1.
小结 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直．
解析 ∵(1,2,0)· (2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从 而两平面垂直．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
4.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝ 2， BC＝2 2， E， F 分别是 AD， PC 的中点． 证 明： PC⊥平面 BEF.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，
利用空间向量证明平行、垂直问题 课件
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝ (3,2,1)，v＝(1，－2,1)．
答案：(1)l1⊥l2 (2)α∥β (3)l与α斜交 (4)l⊂α或l∥α
题型二 平面法向量的求法
例 2 若 A0，2，189，B1，－1，58，C－2，1，58 是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 a＝(x，y，z)，
6．证明两条直线平行，只要证明这两条直线的 方向向量是平__行__(_或__共__线__)_．
7．证明两条直线垂直，只要证明这两条直线的 方向向量_垂__直___．
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)， b＝(－2,3,2)，则( )B
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1、l2相交但不垂直 D．不能确定
2．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)， v＝(－3,1，－4)，则( ) C
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
自测 自评
3．平面 α 的法向量 u＝(x,1，－2)，平面 β 的法向
量 v＝－1，y，12，已知 α∥β，则 x＋y＝(
)
A.
13 4
B.145
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－35v， ∴u∥v，∴α∥β. ③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u 与 v 不共线，也不垂直， ∴α 与 β 相交但不垂直． (3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)． (2)设 u，v 分别是不同的平面 α，β 的法向量，根据下列条 件判断 α，β 的位置关系： ①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12； ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；
答案：(1)l1⊥l2 (2)α∥β (3)l与α斜交 (4)l⊂α或l∥α
题型二 平面法向量的求法
例 2 若 A0，2，189，B1，－1，58，C－2，1，58 是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 a＝(x，y，z)，
6．证明两条直线平行，只要证明这两条直线的 方向向量是平__行__(_或__共__线__)_．
7．证明两条直线垂直，只要证明这两条直线的 方向向量_垂__直___．
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)， b＝(－2,3,2)，则( )B
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1、l2相交但不垂直 D．不能确定
2．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)， v＝(－3,1，－4)，则( ) C
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
自测 自评
3．平面 α 的法向量 u＝(x,1，－2)，平面 β 的法向
量 v＝－1，y，12，已知 α∥β，则 x＋y＝(
)
A.
13 4
B.145
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－35v， ∴u∥v，∴α∥β. ③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u 与 v 不共线，也不垂直， ∴α 与 β 相交但不垂直． (3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)． (2)设 u，v 分别是不同的平面 α，β 的法向量，根据下列条 件判断 α，β 的位置关系： ①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12； ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；
空间向量与垂直关系 课件
形.∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰
当的空间直角坐标系,求平面DEF的法向量.z
【解题指南】解答本题的关键是
依据平面PAB⊥平面ABCD,寻找并
证明平面ABCD的垂线,建立恰当
的空间直角坐标系.
x
y
【解析】因为PA=PB,F为AB的中点,所以PF⊥AB, 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面 ABCD=AB,PF⊂平面PAB. 所以PF⊥平面ABCD,因为AB=BC,∠ABC=60°, 所以△ABC是等边三角形,所以CF⊥AB. 以F为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图所示).
所以 AB1 1,2, 3 ,BA1 1,2, 3 ,BD 2,1,0.
方法一:因为 AB1 BA1 =1×(-1)+2×2+(- 3 )× 3 =0.
AB1 BD =1×(-2)+2×1+(- 3 )×0=0. 所以 AB1 BA1，AB1 BD， 即AB1⊥BA1,AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.
【方法技巧】
1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两不共线向量,.
(3)列方程组:由
n
AB 0，
列出方程组.
n AC 0
(4)解方程组:
n AB 0，
n AC 0
(5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
空间向量与垂直关系
探究点1 垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
(1) l m a b a b 0.
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数பைடு நூலகம்-选修2-1
二、线面垂直 设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔________⇔________⇔________(k∈R)． 【答案】 a∥u a＝ku (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
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数学-选修2-1
自 主 学 习. 基 础 知 识
第 2 课时 空间向量与垂直关系
解 题 模 版
. 规 范 示 例
合
作
探
课
究.
时
重
作
难
业
疑
点
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数学-选修2-1
[ 学习目标] 1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求 法．(重点) 2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间 的垂直问题．(重点、难点)
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数学-选修2-1
【解】法一 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c， 则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)， A→N＝b＋14c，M→N＝A→N－A→M＝－12a＋12b＋14c，
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数学-选修2-1
3．设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足A→B·A→C＝0，
A→C·A→D＝0，A→B·A→D＝0，则△BCD 是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
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数学-选修2-1
【解析】 因为A→B·A→C＝0，A→C·A→D＝0， A→B·A→D＝0，所以 AB，AC，AD 两两垂直， 所以 BC2＝AB2＋AC2，CD2＝AC2＋AD2，BD2＝AB2＋AD2， 所以 BC2<CD2＋BD2，CD2<BC2＋BD2，BD2<BC2＋CD2. 故△BCD 是锐角三角形． 【答案】 B
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∴A→B1·M→N＝(a＋c)·－12a＋12b＋14c ＝－12＋12cos 60°＋0－0＋0＋14＝0.
数学-选修2-1
∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
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法二 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知 得 A －12，0，0 ， B 12，0，0 ， C 0， 23，0 ， N 0， 23，14 ， B112，0，1， ∵M 为 BC 中点，∴M14， 43，0.
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数学-选修2-1
一、线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔________⇔________. 【答案】 a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
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1．若直线 l 的方向向量 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－
2,0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l 与 α 斜交
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【解析】 ∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a， ∴n∥a，∴l⊥α. 【答案】 B
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数学-选修2-1
∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. ∴M→N⊥A→B1，∴AB1⊥MN.
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利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： (1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模 及其两两夹角为已知)为空间的一个基底； ②把两直线的方向向量用基底表示； ③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积 为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直．
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数学-选修2-1
2．若平面 α、β 的法向量分别为 a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，
0)，则 α 与 β 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
【解析】 a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
【答案】 B
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上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.
求证：AB1⊥MN.
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图 3-2-9
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数学-选修2-1
【思路探究】 (1)若选A→B、A→C、A→A1为基向量，你能用基向 量表示A→B1与M→N吗？怎样证明A→B1与M→N垂直？
(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标 表示向量A→B1与M→N并证明它们平行吗？
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数学-选修2-1
三、面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔________⇔________⇔________. 【答案】 u⊥v u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
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＋b)·(2a－b)＝0，所以 3(k－1)＋2k－4＝0，解得 k＝75.
【答案】
7 5
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预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4
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数学-选修2-1
利用向量证明线线垂直 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面
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数学-选修2-1
4．(2014·兰州高二检测)已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k＝________.
【解析】 向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k－1，
k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，因为 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，所以(ka