空间向量与垂直关系.ppt

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数学-选修2-1
2．若平面 α、β 的法向量分别为 a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，
0)，则 α 与 β 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
【解析】 a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
【答案】 B
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数学-选修2-1
∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. ∴M→N⊥A→B1，∴AB1⊥MN.
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数学-选修2-1
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： (1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模 及其两两夹角为已知)为空间的一个基底； ②把两直线的方向向量用基底表示； ③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积 为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直．
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∴A→B1·M→N＝(a＋c)·－12a＋12b＋14c ＝－12＋12cos 60°＋0－0＋0＋14＝0.
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∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
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数学-选修2-1
法二 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知 得 A －12，0，0 ， B 12，0，0 ， C 0， 23，0 ， N 0， 23，14 ， B112，0，1， ∵M 为 BC 中点，∴M14， 43，0.
＋b)·(2a－b)＝0，所以 3(k－1)＋2k－4＝0，解得 k＝75.
【答案】
7 5
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预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4
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利用向量证明线线垂直 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面
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1．若直线 l 的方向向量 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－
2,0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l 与 α 斜交
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【解析】 ∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a， ∴n∥a，∴l⊥α. 【答案】 B
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【解】法一 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c， 则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)， A→N＝b＋14c，M→N＝A→N－A→M＝－12a＋12b＋14c，
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自 主 学 习. 基 础 知 识
第 2 课时 空间向量与垂直关系
解 题 模 版
. 规 范 示 例
合
作
探
课
究.
时
重
作
难
业
疑
点
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[ 学习目标] 1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求 法．(重点) 2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间 的垂直问题．(重点、难点)
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4．(2014·兰州高二检测)已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k＝________.
【解析】 向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k－1，
k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，因为 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，所以(ka
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3．设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足A→B·A→C＝0，
A→C·A→D＝0，A→B·A→D＝0，则△BCD 是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
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【解析】 因为A→B·A→C＝0，A→C·A→D＝0， A→B·A→D＝0，所以 AB，AC，AD 两两垂直， 所以 BC2＝AB2＋AC2，CD2＝AC2＋AD2，BD2＝AB2＋AD2， 所以 BC2<CD2＋BD2，CD2<BC2＋BD2，BD2<BC2＋CD2. 故△BCD 是锐角三角形． 【答案】 B
上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.
求证：AB1⊥MN.
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图 3-2-9
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数学-选修2-1
【思路探究】 (1)若选A→B、A→C、A→A1为基向量，你能用基向 量表示A→B1与M→N吗？怎样证明A→B1与M→N垂直？
(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标 表示向量A→B1与M→N并证明它们平行吗？
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二、线面垂直 设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔________⇔________⇔________(k∈R)． 【答案】 a∥u a＝ku (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
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三、面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔________⇔________⇔________. 【答案】 u⊥v u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
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数学-选修2-1
一、线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔________⇔________. 【答案】 a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
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