材料成形基本原理合肥工大14-15章习题课

5 0 5
ij


0
5
0

(Mpa)
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5 0 5
1) 画出该点的应力单元体；
2) 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
3) 求出该点的最大切应力。
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二、几种重要应力的计算
例题解答
1) 画出该点的应力单元体 z
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O x
5 -5 -5 5
-5 y
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二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
计算应力张量的三个主不变量
J1 x y z 55 5 5
J2


x yx
xy y y zy
yz z z xz
zx x

5 0 5 0 5 5



0
5 0
5 5
5
50
x xy xz
5 0 5
J3 yx y yz 0 5 0 0
zx zy z 5 0 5
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应力状态特征方程
3 J1 2 J2 J3 0 3 5 2 50 0 0
2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异（主应力 图）。
应力状态特征方程 齐次线性应力平衡方程组
3 J1 2 J2 2 J3 0
x l yxm zxn 0
例题
试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
a 0 0
1 ij

0
b
0
0 0 0
ab

2
ab 2
0
2 ij

a
b 2
ab 2
0

0
0 0


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一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于

1 ij
J1 a b0 a b
最大切应力计算公式
max
1 2
max min
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二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、等效应力 等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参数。
等效应力定义式
3J2
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二、几种重要应力的计算
例题
对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为
0 0
0 00
0

a b ab
2
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
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一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由 此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应 的三个主不变量是否相同来实现。
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。
2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
？ 2 12l2 22m2 32n2 1l2 2m2 3n2 2
( 10)( 5) 0
1 10 2 0 3 5 MPa
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二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
齐次线性应力 平衡方程组
x l yxm zxn 0
xyl
y
m


zy
n

0


xzl

yz m


z


n

0

方向余弦条件
l2 m2 n2 1
5 l 0m 5n 0
代 入 数
据
0l

5



m

0n

0
5l

0m

5



n

0
（1）
l2 m2 n2 1

将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向
P12 P22 P22 P32
P11 P12 P13 J3 P21 P22 P23
P31 P32 P33
P23 P33 P33 P13
P31 P11


P11 P12 P13

P21
P22
P23

P31 P32 P33
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一、应力张量不变量及其应用
应力张量是二阶对称张量，有三个独立的不变量。 利用应力张量的三个不变量，可以判别应力状态的异同。
金属塑性成形原理习题课
—— 应力应变分析
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一、应力张量不变量及其应用
知识要点回顾
二阶张量的定义: Pkr Pijlkilrj i, j=1,2,3; k,r=1,2,3
二阶张量不变量：
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J1 P11 P22 P33
J2



P11 P21
J2



a 0
0b
b0
00
00
0
a


ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1

a
2
b

a
2
b

0

a

b
ab
J2



a
2 b
2
ab ab
2 ab
2 0
2
00
00
ab ab 0 22
J3

ab 2
ab 2
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二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 1、主应力
P11 P12 P13

P21
P22
P23

P31 P32 P33

P11 0
0 P22
0
0

0 0 P33
1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时 的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准 形的问题相同。
xyl
y
m


zy
n

0


xzl

yz m


z

n

0
（1） （2）
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方向余弦条件
l2 m2 n2 1
（3） 6
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
2 12l2 22m2 32n2 1l2 2m2 3n2 2