现代设计方法拉格朗日乘子法

此即式(3-86)的xL1 结 果xL2。 这L个 新0 定义的函数L(3称- 8为8) 拉格 朗日(Lagrange)函数。
若将式(3-86)代人式(3-80)，得：
df
g * x1
dx1
g * x2
dx2
dg
(3 89)
这表明：在极值点附近，L为目标函数f 随约束条件g的微小变化而变化的比率。
即
df
f * x1
dx1
f * x2
dx2
0
(3 80)
当有等式约束时，除了以上的关系式仍成立外，还必
须满足：
dg
g * x1
dx1
g * x2
dx2
0
(3 81)
这就是说，在等式约束条件下，使f为极小的dx1与dx2 已不能任意选取，必须满足式(3-81)。由式(3-80)及式
(3-81)可得：
拉格朗日乘子法是一种常用且有效的方法。
一、等式约束下的拉格朗日乘子法及其C语言程序
拉格朗日乘子法的计算方法
(1)等式约束时极值存在的必要条件
对于二元函数来说，设目标函数为f (x1，x2)， 等式约束为：g(x1，x2)=0。在无约束时，极值点存 在的必要条件为：
f * f * 0 x1 x2
约束条件，即：
gK (X) 0，K 1,2, , m n 则拉格朗日函数为：
(3- 92)
m
L(X, ) f (X) K gK (X) f (X) T g(X) (3- 93) K 1
此时函数L为极小的必要条件为：
L xi L
0 0
K
i 1,2, , n K 1,2, , m
现代设计方法
第三章 非线性规划
§3-4 约束条件下多变量函数的优化设计方法
以上讨论的都是无约束条件时非线性函数的寻
优方法。但是在很多实际的非线性规划问题中， 其变量的取值都有一定的限制。也就是说，非线 性规划问题一般是有约束条件的寻优问题。所以 本节将介绍有约束条件的寻优问题。约束条件可 分为两类：等式约束与不等式约束。处理等式约 束问题与不等式约束问题的方法也有所不同。
综上所述，通过应用拉格朗日乘子，可 使求等式约束条件下函数f 的极小点，成为 求拉格朗日函数L的驻点。这种引进待定乘 子，将有等式约束的寻优问题转化为无约 束的寻优问题的做法，称为拉格朗日乘子 法，又叫升维法。
例：f (X) 60 10x1 4x2 x12 x22 x1x2，等式约束为 g(X) x1 x2 8 0，试用拉格朗日乘子法求极小。
(3 - 94)
这里未知数 xi (i=l，2，...，n)及 K (K=1，2，...，m) 共有n+m个，而式(3-94)中也正有n+m个方程，故能求
解。由于引入了 ，使变量及方程的数目都增加了。
为便于在计算机上利用直接寻优方法进行迭代计算，
一般引入新的函数：
Z
n i 1
L xi
2
m
K 1
gK (X)
2
(3 - 95)
这样，有约束的原问题就转换成为无约束的问题
了。然后，利用无约束的多变量函数的寻优方法(例如 单纯形加速法等)对函数Z求极小值，即可得原问题的 最优解。等式约束条件下拉格朗日乘子法的C语言程 序见附录。
二、不等式约束下的拉格朗日乘子法
对具有不等式约束或兼有不等式约束和 等式约束的多变量函数的寻优问题。常用 拉格朗日(Lagrange)乘于法。
/ /
x1 x1
f * g *
/ /
x2 x2
令此比值等于一个可正可负的常数 λ：
(3 84)
f * g *
/ x1 / x1
f * g *
/ x2 / x2
(3 85)
则λ即称为拉格朗日待定乘数，或简称为拉格朗日乘子。 于是由式(3-85)，连同g(x1，x2)=0，得：
gf(xx1*1， x
dx2 dx1
f f
* *
/ /
x1 x2
(3 82)
dx2 dx1
g * g *
/ /
x1 x2
即
f * x1
g * x2
f * x2
g * x1
0
(3 83)
这就是在等式约束下使目标函数 f 为极小的必要条件
(2)拉格朗日乘子法的计算方法及步骤
式(3-83)可改写为：
f * g *
拉格朗日乘子法的计算方法
拉格朗日乘子法不仅可以用于解具有等 式约束的非线性规划问题，而且也可以用 于解具有不等式约束的非线性规划问题。
对于不等式约束条件，可设法引入松弛 变量，使不等式变为等式。然后，按(一)中 所述的方法求解。
例如，若不等式约束为：
g(X ) ax1 bx2 c 0
(3 - 96)
我们引入松弛变量x3。由于在非线性规划中，没有变
量为非负的约束，即不要求xi≥0，(其中i=1, 2, …, n)。
因此，为保证不等式成立，引入的松弛变量均用平
方项，以保证该引入项为非负的。由此可取：
g( X ) ax1 bx2 c x32 0
(3 - 97)
这样就可把不等式约束变换为等式约束．然后，
再用拉格朗日乘子法求解。
例：约束条件为：
g1(X) 3x1 4x2 6 0
g
2
(X)
x1
4x2
2
0
(3- 98) (3- 99)
求目标函数
S f (X) 2x12 2x1x2 2x22 6x1 min (3 -100)
第一步：加松弛变量x3、x4，使不等式约束变换为等
式约束：
令
L f g 60 10x1 4x2 x12 x22 x1x2
(x1 x2 8)
L
x1
10 2x1
x2
0
L
x2
4 2x2
x1
0
L
பைடு நூலகம்
( x1
x2
8)
0
解此联立方程组，得：
(3- 90) (3 91)
x1* 5，x2* 3，* 3，f * 17
当目标函数为n元函数f (X)，(X为n维向量)且有m个等式
g * x1 2)
0
0
f * g * 0
x2 x2
(3 86)
解此联立方程式可得x1* ，x2* ，λ* ，即求出极值点。
方程组(3-86)相当于求解一个无约束的函数
：
L f g 的极L值(x点1，。x2，此函) 数f极(x1值，x点2 )存 在g(的x1，必x要2 ) 条件为(3： 87)
g1(X) 3x1 4x2 6 x32 0
(3 -101)
g2 (X)
x1
4x2
2
x42
0
(3 -102)
第二步：引入拉格朗日函数