函数的基本性质题型讲解

函数的基本性质

1.增函数与减函数

定义：对于函数()x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值.,21x x

（1）若当21x x <时，都有()()21x f x f <,则说()x f 在这个区间D 上是增函数；

（2）若当21x x <时，都有()()21x f x f >,则说()x f 在这个区间D 上是减函数.

注意①区间可以使定义域也可以是定义域的某个区间；

②21,x x 的任意性；

③增函数y 随x 的增大而增大，呈上升趋势；减函数y 随x 的减小而减小，呈下降趋势.

2.增函数与减函数形式的等价变形

①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； 设[]2121,,,x x b a x x ≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.

3.单调性与单调区间的定义 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）

注意 单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔开.

4.单调函数的运算性质

若()x f ，()x g 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：

(1)()x f 与()C x f +具有相同的单调性；

(2)()x f 与()x af ，当0>a 时，具有相同的单调性，当0

(3)当()x f 恒不等于零时，()x f 与()

x f 1具有相反的单调性；

(4)当()x f ，()x g 都是增（减）函数时，()()x g x f +都是增（减）函数；

5.复合函数的单调性：同增异减

6.函数的最大（小）值的定义

一般地，设函数()x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

①对于任意的I x ∈，都有()()M x f ≥≤；

②存在I x ∈0，使得()M x f =0.

那么，我们称M 是函数()x f y =的最大（小）值.

注意 （1）M 首先是一个函数值，他是值域的一个元素；

（2）对于定义域内的每一个元素都满足()()M x f ≥≤；

（3）这两条缺一不可.

7.奇偶性的定义

奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-. 偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-. 奇偶性：如果函数()x f 时奇函数或偶函数，那么就说函数()x f 具有奇偶性.

注意 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；．．．．．

⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔；

⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f ；

（4）奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称；

（5）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性.

8.函数奇偶性的性质

（1）两个奇函数的和仍为奇函数；

（2）两个偶函数的和仍为偶函数；

（3） 两个奇函数的积是偶函数；

（4）两个偶函数的积是偶函数；

（5） 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

9.复合函数的奇偶性

若函数()x g ，()x f ，()[]x g f 的定义域都是关于原点对称的，则()x g u =，()u f y =都是奇函数时，()[]x g f y =是奇函数；()x g u =，()u f y =都是偶函数，或者一奇一偶时，()[]x g f y =是偶函数．

类型一 用定义证明函数的单调性

例1 用定义证明()12+=

x x f 在定义域内为增函数.

例2 讨论()x k x x f +

=在其定义域上的单调性.

例3 设函数()()0>>++=

b a b

x a x x f ，求()x f 的单调区间，并证明()x f 在其单调区间上的单调性.

类型二 运用单调函数的运算性质判断函数的单调性

例1 已知()x f y =与()x g y =均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性.

（1）()x f y 2-= （2）()()x g x f y 2+=

例2 判断下列函数在其定义域内的单调性.

（1）x x y +=3 （2）()0>>++=

b a b x a x y

类型三 复合函数的单调性

例1 函数32)(2+--=

x x x f 的单调递增区间是_______.

例2 函数2

21)(2++=

x x x f 的单调递增区间是 .

类型四 利用函数的单调性求参数的取值范围

例1 若函数()2+-=b x a x f 在

[)0,+∞上为增函数，则实数b a ,的取值范围.

例2 函数()()2213a x a ax x f +--=在[)+∞-,1上是增函数，求实数a 的取值范围．

例3 函数2

1)(++=

x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，求a 的取值范围.

例4 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0,40,422x x x x x x x f 若()()a f a f >-22，则实数a 的取值范围.