初中数学巧用定理妙解题专题辅导

初中数学巧用定理妙解题

韦达定理的逆定理是，如果x x x x b a x x c a

121212、满足，+=-

⋅=，那么x x 12、一定是方程ax bx c a 200++=≠（）的两根，这个定理的一个重要结论是，以x x 12、为根

的一元二次方程是x x x x x 212120-++=()，这个结论在解题中有妙用，下面举例说明。

一、求字母的取值范围

例1 设实数a 、b 、c 满足a bc a b c bc a 222870660--+=++-+=，，求a 的取值范围。

解：两式化为bc a a b c bc a =-+++=-2228766与

两式相加得()()()b c a b c a +=-+=±-2211，故

∴b 、c 是方程x a x a a 221870±-+-+=()的两实根

∆=---+=--+≥∴-+≤∴1≤≤()()()a a a a a a a a 148731090109092222， 例2 已知a 、b 、c 为实数，a b c a b c a b c ++=++=≤112

0222，，求证：,, ≤

23。 证明： a b c a b c ++=++=112

222， ∴+=-=-+

∴--+-+=∴=---+≥-≤b c a bc a a b c t a t a a a a a a a 114

11401414032022222，是方程的两实根即,()()()()()∆ ∴≤≤≤≤023023

a b c 同理， 二、解方程

例3 解方程1125-++=x x

解：方程两边平方1126-⋅+=x x

∴-+112x x ，是方程t t 2560-+=的两根

t t 1223==，

∴-=-=1213x x 或

∴=-=-x x 1238，

经检验x x 1238=-=-，是原方程的根。

三、求最值

例4 实数x,y,z 满足x y z xyz ++==02，，求||||||x y z ++的最小值。 解：设x y z <<>000，，

则x y z xy z +=-=，2

||||||x y z x y z z ++=--+=2

∴x,y 是方程t zt z 220-+=的两根

∴=-≥∴≥∴≥∴4∆z z z z z 2380822，，即的最小值是原式最小值为

四、证明代数等式

例5 已知实数x,y,z 满足x y xy z x y z -=+=-++=81602，，求证。

解：由已知得x y x y z +-=-=+()()8162，

∴--++=x y t t z ，是方程228160的两根 ∴≥∆0，但是

∆∆=-+=-≤∴==-+==-=∴++=6441640

00

816040222()z z z m m x y x y z ，故方程化为，得

五、证明不等式

例6 已知a,b,c 是实数，且a b c abc ++==01，，求证：a,b,c 三个数中必有一个大于

23。

证明：由abc=1，得a,b,c 中必有一个大于0

设c>0，则a b c ab c +=-=，1 ∴++=a b x cx c

,是方程210的两实数根 ∴=-

≥>∴≥≥=>=∆c c c c c 23333400

4432827832 ，

∴原结论成立

六、解几何问题

例7 a,b,c 为三角形三边，且b c a a bc +=--+=8125202，，判定三角形的形状。

解：由已知b c bc a a +==-+812522，

∴b,c 是方程t t a a 22812520-+-+=的两根

∴△≥0，但是

∆=--+=--≤644125246022()()a a a

∴△=0，得a=6

∴b c bc +==816， ∴b=c=4

∴三角形为等腰三角形 例8 P 是圆外一点，过P 点的割线交圆于点A 、B ，PC 切圆于C ，求证：PA+PB>2PC 。 证明：∵PA ·PB=PC 2 ∴PA 、PB 是方程t PA PB t PC 220-++=()的两根 ∵PA ≠PB ，∴△>0，即 ()()PA PB PC PA PB PC +->+>2222404， ∴PA ＋PB>2PC