第四章 线性系统的根轨迹图
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第四章 线性系统的根轨迹法-4-2——【南航 自动控制原理】
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程，有
m
n
K (s zi )+ (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹起点 K =0 s pi , i 1, , n n个开环有限极点
由根轨迹方程，又有
m
n
(s zi )+(K )1 (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹终点 K s zi , i 1, , m m个开环有限零点
a
(2k 1)
nm
， k 0, 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
=
(a1 n
b1 m
)
由多项式的根与系数关系
n
n
a1 pi b1 zi
i 1
i 1
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
例4.2-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为
K G(s)
s(s 3) (s )2 2
0, 0
试分析开环极点参数变化时渐近线。
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
分离点处相邻两条根 轨分迹离分点支处切一线共之有间多的少
夹条角根等轨于迹分支/？l
分离点处根轨迹的分离角d 为
d (2k 1) / l k 0,1,
分离点处，根轨迹进
侧的开环实有限零极点数为奇数。
系统的开环零极点分为 两类：实数零极点和复数 零极点，且复数零点或复 数极点必共轭成对。
系统开环零极点的分布为
图示，取实轴任一点 s=s1
·对复共轭开环极点
p4 j, p5 p4 j,
(s1 j)+(s1 +j)=2
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
第四章 线性系统的根轨迹法
j 1 m
n
j
s
lim s
s i
nm
nm
sz
i 1
开环传递函数中，若令 s 当 m<n 时， G(s)H(s) =0
称 s （ m<n），是 G(s)H(s) 的无限零点 (n-m个)。
• 法则2. 根轨迹的分支数、对称性和连续性： 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有 限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。
d 2.3
4)确定起始角。量测各向量相角，算得起始 角=-71. 6°
5)确定根轨迹与虚袖交点。闭环特征方程式 为：
s 5s 8s 6 s K 0
4 3 2
将s j代入，得实部方程为： 8 K 0
4 2
虚部方程为： 5 6 0
3
解得： 1.1 K 8.16 ，
2
试绘制闭环系统的概略根轨迹。 解 按下述步骤绘制概略根轨迹： 1)确定实轴上的根轨迹。实轴上[0，-3]区域必 为根轨迹。 2)确定根轨迹的渐近线。由于n-m=4，故有四条 根轨迹渐近线，其： a 1.25
a 45 ,135
3)确定分离点。
1 d 1 d 3 1 d 1 j 1 d 1 j 0
三、n-m条渐近线；
四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点； 六、根轨迹的分离点、会合点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的 支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之 和及之积等性质画出根轨迹。
例4—4 设系统开环传递函数为设系统开 环传递函数为： K
G( s) s( s 3)( s 2s 2)
d 3.414 ，d 0.586（舍去）
n
j
s
lim s
s i
nm
nm
sz
i 1
开环传递函数中，若令 s 当 m<n 时， G(s)H(s) =0
称 s （ m<n），是 G(s)H(s) 的无限零点 (n-m个)。
• 法则2. 根轨迹的分支数、对称性和连续性： 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有 限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。
d 2.3
4)确定起始角。量测各向量相角，算得起始 角=-71. 6°
5)确定根轨迹与虚袖交点。闭环特征方程式 为：
s 5s 8s 6 s K 0
4 3 2
将s j代入，得实部方程为： 8 K 0
4 2
虚部方程为： 5 6 0
3
解得： 1.1 K 8.16 ，
2
试绘制闭环系统的概略根轨迹。 解 按下述步骤绘制概略根轨迹： 1)确定实轴上的根轨迹。实轴上[0，-3]区域必 为根轨迹。 2)确定根轨迹的渐近线。由于n-m=4，故有四条 根轨迹渐近线，其： a 1.25
a 45 ,135
3)确定分离点。
1 d 1 d 3 1 d 1 j 1 d 1 j 0
三、n-m条渐近线；
四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点； 六、根轨迹的分离点、会合点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的 支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之 和及之积等性质画出根轨迹。
例4—4 设系统开环传递函数为设系统开 环传递函数为： K
G( s) s( s 3)( s 2s 2)
d 3.414 ，d 0.586（舍去）
第四章课件根轨迹
经整理得： 2 s3 1s2 1 2s 0 8 0 s0.55
法则6 根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹 角，称为起始角，以 p i 表示；
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹 角，称为终止角，以 z i表示。
起始角、终止角可根据下式求出：
pi
(2k1)
m
j1 zj
法则3 根轨迹的渐近线：
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交a 点为 的一组 a 渐近线趋向于无穷远处，且有
a
(2k1)
nm
n
m
pi zj
σa
i1
j1
nm
(k0,1,2,,nm1)
证明：根轨迹方程式可写成如下形式：
m
G(s)H(s) K*
(s zj )
设系统的开环传递函数为： G(s)H(s)K* P(s)
系统的特征方程式为：
Q(s)
D (s) 1 G (s)H (s) 1 K * P (s) Q (s) K * P (s) 0 Q (s)
对上式求导，得到： D ( s ) Q (s ) K * P ( s ) 0
由以上两式消去 K *得到
Q (s )P (s ) Q (s )P (s ) 0
点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 证明：
设s0为实轴上的某一测试点； j是各个开环零点到s0点向量的相角； i是各个开环极点到s0点向量的相角。
因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点
的向量相角之和为2 ，因此在确定实轴上
的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。
由图可见,s0点右边开 环实数零极点到s0点的向量 相角均为。
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
第4章 线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹 将会非常不方 人们利用前面介绍的几个式子, 便. 人们利用前面介绍的几个式子 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 利用导出的法则 可方便地绘制出根轨迹的大至形状 叫概略根 轨迹, 轨迹 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随 的增大而增大 另 的增大而增大, 时 一个根的绝对值随K的增大而增大 一个根的绝对值随K的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而减小, 一个根的绝对值随 的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ -2 -1.5 -1 0
当K=0.25时, 两根相等 均为 时 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根 且其实部均为 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 +∞ 虚部的绝对值随K的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而增大, 虚部的绝对值随 的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 本节通过一个例子 介绍绘制根轨迹的七条法则 但对法则 不予推导和证明. 不予推导和证明 需指出的是, 需指出的是 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量 为参变量. 传递函数的零点和极点的具体数值 一般以 为参变量 某闭环系统的开环传递函数为: 例: 某闭环系统的开环传递函数为
阶数. 阶数 K叫开环系统的增益 K’叫开环系统的根轨迹增益 叫开环系统的增益, 叫开环系统的根轨迹增益, 叫开环系统的增益 叫开环系统的根轨迹增益 K与K’的本质相同 仅它们间的值有一系数关系, 即: 与 的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系 的本质相同
第四章 线性系统的根轨迹法(下)
1164-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。
环轮有一个0.6m ~0.9m 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。
带钢通过环轮的典型速度为10.16m s 。
假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T 可略去不计。
要求：(1) 概略绘出0a K <<∞时系统的根轨迹图；(2) 确定增益a K 的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707ζ≥。
(b)图4-47 轧钢机控制系统解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。
(1) 绘系统根轨迹图电机与轧辊内回路的传递函数()()()120.250.2510.250.5G s s s s ==+++ 令0T =，系统开环传递函数为()()()()()()2220.50.50.510.51a K s K G s s s s s s s *+==++++式中，0.5a K K *=。
概略绘制根轨迹图的特征数据为：渐近线：交点与交角2.50.6254a σ-==- 45,135a ϕ=±± 分离点：由11200.51d d d ++=++ 解出0.212d =-。
根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程()()20.51s s s K *+++4322.520.50s s s s K *=++++=列劳思表1174s 1 2 K * 3s 2.50.52s 1.8 K *1s 0.9 2.51.8K *-0s K *令0.9 2.50K *-=，得0.36K *=。
令21.80s K *+=代入s j ω=及0.36K *=，解出0.447ω=。
交点处20.72a K K *==系统概略根轨迹图如图(a)所示。
图(a) 概略根轨迹图(2) 确定使系统0.707ζ≥的a K在根轨迹图上，作0.707ζ=阻尼比线，得系统主导极点1,20.1550.155s j =-±利用模值条件，得1s 处的0.0612K *=；分离点d 处的0.0387K *=。
线性系统的根轨迹法
法则7. 根轨迹与虚轴的交点
交点和临界根轨迹增益的求法：
解： 方法一
例8.
，试求根轨迹与虚轴的交点。
K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点)
与虚轴的交点:
闭环系统的特征方程为：
s=jw
劳斯表：
01
s2的辅助方程：
02
K* =30
03
当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。
04
等效的开环传递函数为：
参数根轨迹簇
二、附加开环零、极点的作用
试验点s1点
例1.设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。
解：
零极点分布如下：
p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
jw
-2
-1
1
2
-1
-2
s
.
.
.
.
.
.
.
.
三、闭环零极点与开环零极点的关系
反馈通路传函：
前向通路传函：
典型闭环系统结构图
KG*--前向通路根轨迹增益 KH*--反馈通路根轨迹增益
K*--开环系统根轨迹增益
1
闭环传递函数：
2
开环传递函数：
01
04
02
03
闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。 对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。
(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余数R2 ；
(6)计算s2 =s1-R1/R2 ；
(7)将s2 作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。
例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
s4 - 线性系统的根轨迹法
再看例4.2
例4.2 已知某负反馈系统的开环传递函数为 : G ( s ) H ( s ) = 概略绘制 K*从0→∞变化时的根轨迹。 解： 首先判断其属于1800根轨迹。 ① ②
n
K* s ( s + 1)( s + 2)
–
Im 2 1 Re 0
③
–
④ 求重根点：
m 1 1 = ∑ ∑ d − p j =1 i =1 d − z i j
—
-3
-2
×
—
-1
×
—
- 0.42
●
×
–
1 1 1 有： + + = 0 ⇒ 3d 2 + 6d + 2 = 0 d d +1 d + 2
⎧− 0.42 − 6 ± 36 − 24 d= = −1 ± 0.58 = ⎨ 6 ⎩− 1.58(舍去)
标在图上. 那这两条根轨迹沿什么方向离开重根点、趋向于渐近线呢?
规则 2: 根轨迹的每一条分支都是连续的；根轨迹对称于实轴。
3. 根轨迹的起点和终点
起点： K * = 0 时， 特征根 S = ? i 终点： K * → ∞ 时，特征根 S i = ?
n
根轨迹起始 于开环极点
j
根轨迹终止 于开环零点
整理特征方程可得：K = −
*
∏ (s − p ) ∏ (s − z )
i =1 n j j =1
K * ∏ s − zi
m
∏ (s − z )
i =1 j
m
∏ (s − p
j =1
n
=1
0°根轨迹 相角条件
)
模值条件
i
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
线性系统的根轨迹分析
s1右边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的幅角为180°；
s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1 )( s 4 )( s 6 ) G ( s ) 2 2 s( s 2 )( s 3 )
表示两重极点
第四章 线性系统的根轨迹分析
主要内容
§4—1 根轨迹的基本概念 §4—2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4—3 广义根轨迹 §4—4 滞后系统的根轨迹 §4—5 利用根轨迹分析系统的性能 §4—6 用MATLAB绘制系统的根轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念 闭环极点（即闭环特征方程根） 闭环控制系统稳定 性、瞬态响应特性 问题1: 如何按希望性能将闭环极点合适的位置? 问题2: 当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解， 不方便,有没有简便分析方法? 根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系 统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个 根形成一条轨迹。 系统特征根的图解方法!!! 广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。 狭义根轨迹（通常情况）： 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。
s平面
j
6
5
4 3 2
1
o
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
五、根轨迹的渐近线 当系统n>m时，有（n－m）条根轨迹分支 终止于无限远零点。 沿着渐近线趋于无限远处， 渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。
渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…） ： ( 2 k 1 ) 180 a n m 渐近线与实轴交点的坐标值：
第4章线性系统的根轨迹分析
➢根轨迹的渐近线 根轨迹的渐近线就是确定当开环零点数目m小于极点 数目n时，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无 穷远处。由式(4-1-7)及式(4-2-1)求得
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
第10讲第4章根轨迹
4.5.2 开环零极点对系统的影响
对于图4-1所描述的系统，影响系统稳定性有三 大因素：开环增益、开环极点、开环零点影响，请看图4-13所示的例子。
图4-13a,b 开环零、极点对系统的影响
第四章 根轨迹法
图4-13c,d,e,f 开环零、极点对系统的影响 第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
(b)
(c)
(d)
(e)
第四章 根轨迹法
(f)
4.5.4 闭环零极点与时间响应
系统的动态性能最终体现在时间响应，影响时间响 应的因素有两个：闭环传递函数和输入函数。在第三章 中已经分析：时间响应的暂态分量主要取决于闭环零、 极点，时间响应的稳态分量主要取决于输入函数。 如前所说，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极 点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极 点。每一个闭环极点si对应时间响应中的一个因子 exp(sit)——称为系统的一个模态（Mode），si在S平 面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。
图4-13（a）-（d）所对应的系统开环传递函数 分别为：
a 图 : 图 : b 图 : c 图 : d
1 G(s)H(s) = s(s + 2) s +3 G(s)H(s) = s(s + 2) s +3 G(s)H(s) = s(s − 2) s −3 G(s)H(s) = s(s + 2)
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
j
σ
——闭环极点位置
———
的共轭
图4-15 闭环极点分布与暂态分量的运动形式
第四章 根轨迹法
设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根 据上述规律，一般首先配置主导极点，然后配置非主 导极点，非主导极点与虚轴的距离应当是主导极点与 虚轴距离的2～5倍，这样系统的时间响应就主要取决 于一对主导极点。 主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于 如图4-5虚轴左边60o扇形区内，且离虚轴有一定的距 离，其理由在于： 1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态 性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性 能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应 速度。
自动控制原理 第四章
m
(s p )
j 1
n
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G( s) H ( s)
*
K ( s z1 ) ( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
K K*
j 1 i 1 n
m
zi pj
i 1 j 1
例 判定si是否为根轨迹上的点。
解.
模值条件 相角条件
• 对s平面上任意的点，总存在一个 K* ，使其 满足模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。 • s平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条 件） 一定在根轨迹上。
满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必
要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来 确定。
由代数定理： a n 1
p
i 1
n
i
l i a n 1 C
i 1
n
D( s ) s n a n 1 s n 1
an 2 s n 2 K * s n 2
an 3 s n 3 K *bn 3 s n 3
a0 K *b0
（对应重根）
分离角：(2k+1)*180/L
试根:
d [ 1,0.5] d1 0.5 d 2 0.6 d 3 0.55
d 0.55
d d 1 d 4 K d2
* d
0.589
法则7
与虚轴交点：
1）系统临界稳定点
2）s = jw 是根的点
例 某单位反馈系统的开环传递函数为
K * ( s 2) G( s) s( s 1)
自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
要求等价为：
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。