浅谈排列组合中的分书问题

排列组合中的分组问题

Ｃｉ・Ｃ！・Ｃ｛一６０．
中
学生数理化
■ 湖南
点评：由于是不同的书，故分组后并无序，所以切忌乘以Ａｉ．２．分组后有序倒２不同的６本书，分给甲、乙、丙３人，使得１人得３本，１人得２本，１人得１本．问共有多少种不同的分法．解：由于题设并没有指定哪个人得３本书，冈此甲、乙、丙３人都有得到３本书的町能．于是问题可转化为先将６本不同的书分成三堆，一堆３本，一堆２本，一堆１本；然后再将ｉ堆书再分给甲、乙、丙３人．
在解排列组合的有关府用题时，经常会遇到将所给元素或对象进行分组的问题．主要涉及平均分组与不平均分组、有序与无序等问题．很多同学在解答此类问题时要么束手无策，要么出现错解或漏解．本文就这类问题加以剖析说明，希望引起重视．
一、不平均分组问题
１．分组后无序倒，不同的６本书。分成三堆，使得一堆３本，一堆２本，一堆１本，问有多少种分法．解：本例属于不平均分组问题，令３本的为甲堆，２本的为乙堆，１本的为丙堆．故我们只需将它们分开即可，属于无序问题．
本文链接：/Periodical_zxsslh-geb200905014.aspx 下载时间：2010年4月16日
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高二
向剑疃
版
点评：此例与上例的区别在于分组后有序．二、平均分组问题１．分组后有序倒芎将不同的６本书分给甲、乙、丙３人，每人２本，问有多少种不同的分法．解：此类问题属于平均分组后的有序问题．由于是不同的６本书，不妨把６本书编号为１，２，３，４，５，６．不失一般性，设甲分得标号为１，２的２本书，乙得标号为３，４的２本书，丙得标号为５，６的２本书；与甲分得标号为３，４的２本书，乙得标号为１，２的２本书，丙仍得标号为５，

谈谈排列组合中的分组问题

例６四个不同的小球放人编号分别为１２３，，，４的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为１１２，，。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各１，一组２个，个另分组方法有
、
Ｉ＝ｏ种），９种分组实际上重复了６＝９（暑这ｏ次。
我们不妨把六本不同的书分别写上１２３４５６六、、 … 个号码，考察以下两种分法：１２（，）５６与（，（，）３４（，）３４（，）５６，）１２（，）由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，以这两种分法是同一种分法。所以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数Ｐ，以；所
ＣＣ
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任务又可承担丙任务，所以共有圪等
＝２０５２
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二、组后分配的问题分
（）种不同的选法。例８设集合Ａ＝｛，，，｝Ｂ：｛，，｝Ａ为１２３４，６７８，定义域，曰为值域，则从集合Ａ到集合Ｂ的不同的函数有多少个？分析：由于集合Ａ为定义域，Ｂ为值域，即集合Ａ、中的每个元素都有“ 宿” 而集合曰的每个元归，
ｒｊ
素接受集合Ａ中对应的元素的数目不限，以此问所题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合Ａ中４元素分为三组，个各组的元素数目分别为

排列组合平均分组不平均分组问题

例13、将四本不同的书分给四人，一人1本，一人1本，另一人2本，有多少种不同的分法？
1
2
3
4
C 42 C 21C11 A22
A44

C
41C
31C
2 2
A22
A44

C
2 4
A44
144
例14、将六本不同的书分给三人，一人1本，一人1本，另一人4本，有多少种不同的分法？
1
2
3
4
5
6
C
4 6
2 4
6
例6、将六本不同的书分成三堆，一堆1本，一堆1本，另一堆4本，有多少种不同的分法？
1
2
3
4
5
6
C
4 6
C
21C11
A22

C
61C
51C
4 4
A22
15
三、完全不平均分组
例7、将三本不同的书分成两堆，一堆1本，一堆2本，有多少种不同的分法？
1
2
3
C
31C
2 2

C
2 3
C
1 1
排列组合平均分组问题
一、完全平均分组
例1、将两本不同的书分成两堆，有多少种不同的分法？
1
2
例2、将三本不同的书分成三堆，有多少种不同的分法？
1
2
3
例3、将四本不同的书分成两堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
1
2
3
4
12 34 13 24 14 23 34 12 24 13 23 14
C42C
2 2
A22

3
例4、将六本不同的书分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？

排列组合中的分组与分配问题

排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15(种)。

(2)先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种) 分法。

(3)分组方法是642111C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。

结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，m p ，其中k 组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmm m m nn m n m m m k kC CCC A---⋯。

浅谈排列组合中的分组问题

浅谈排列组合中的分组问题数学教研组李世军内容摘要: 数学中的排列、组合问题跟实际生活联系紧密,有些问题更像游戏规则,致使学生对这一部分有更高的兴趣,但是题型多样，思路灵活，逻辑思维要求比较高,所以不易掌握。

其实，分组问题也是有规律性的，只要认真去分析、总结，也是可以很好的解决此类问题的。

一方面，审题要清,搞清楚是哪类分组问题，对症下药；另一方面，由于加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都在进行分类或分步处理,数据计算都是以这两个原理为理论根据。

在分组问题中用好这两个原理，思路就会变得很清晰。

还有就是有些学生对老师的计算式不理解，为什么要除，为什么要减？此时，老师有必要用最笨的方法写出所有的排列和组合，应该除，还是应该减就是一目了然的了。

数学中的排列、组合问题跟实际生活联系紧密，有些问题更像游戏规则,致使学生对这一部分有更高的兴趣，但是题型多样，思路灵活，逻辑思维要求比较高，所以不易掌握。

分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点，是一类典型问题。

下面就排列组合中的分组问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

审题要清,搞清楚是哪类分组问题例如：8本不同的书，按照以下要求分配，各有多少种不同的分法?⑴一堆1本, 一堆2本, 一堆5本；⑵甲得1本,乙得2本,丙得5本；⑶甲、乙、丙三人，一人1本, 一人2本, 一人5本；⑷平均分给甲、乙、丙、丁四人；⑸平均分成四堆；⑹分成三堆,一堆4本,一堆2本,一堆2本；⑺给三人一人4本, 一人2本, 一人2本。

解析:小题⑴属非平均分组问题,仅仅分组, 分组与顺序无关，是组合问题，共有种不同的分法；小题⑵属非平均分组定向分配问题,先分组,再分配, 但是是定向分配不涉及排序,共有种不同的分法；小题⑶属非平均分组不定向分配问题,先分组,再分配, 与顺序有关,需排序,共有种不同的分法；小题⑷属平均分组不定向分配问题,先分组有种分法,再分配, 与顺序有关, 有种排列,共有种不同的分配方法；小题⑸属平均分组问题, 分组与顺序无关，是组合问题，有种不同分法；小题⑹属部分平均分组问题,分组与顺序无关，有种不同分法；小题⑺属部分平均分组不定向分配问题,先分组,再分配,与顺序有关,有种不同分法。

排列组合中的分组分配问题例解

排列组合中的分组分配问题例解在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到，本文谈一谈几种常见问题。

实例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法(1) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2) 平均分成三堆；(3) 分成三堆，一堆四本，另两堆各一本； (4) 分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本；(5) 分给甲、乙、丙三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(6) 分给甲、乙、丙三个人，一人得一本，一人得两本，一人得三本； (7) 平均分给甲、乙、丙三个人；(8) 分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本； (9) 分给甲、乙、丙三个人，一人得四本，另两人各得一本； (10) 分给甲、乙、丙、丁四个人，甲、乙各得一本，丙、丁各得两本； (11) 分给甲、乙、丙、丁四个人，两人各得一本，另两人各得两本；分析：在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。

在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。

（1）非均匀分组,分步产生每一组不会造成重复:123653C C C(2) 均匀分组,分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数：22264233C C C A（3）部分均匀分组，应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数：41162122C C C A（4）同（3）：112265422222C C C C A A（5）非均匀定向分配，等同于非均匀分组：123653C C C 亦可理解为甲、乙、丙依次选择。

（6）非均匀不定向分配，分组后再分配：12336533C C C A （7）均匀分配，分组后再分配：2223642333C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:222642C C C（8）部分非均匀定向分配，均匀部分要分配：4112621222C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:411621 C C C(9)部分非均匀不定向分配，分组后再分配：4113 621232C C CA A（10）同（8）：:1122226542222222C C C CA AA A亦可理解为甲、乙、丙依次选择:11226542 C C C C（11）同（9）11224 654222422C C C CA A A小结：（1）分组时应注意消去均匀部分的重复计数。

103排列组合中的分堆问题.ppt

平均分组问题
理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以m!，其中m表示组数。
例如把abcd分成平均两组有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
ad
bc
bc
ad
这两个在分组时只能算一个
bd
ac
ห้องสมุดไป่ตู้cd
ab
一：均分不安排工作的问题
例1：12本不同的书（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
（2）分组安排工作要把组数当作元素个数再作排列。
(1) C16C52C33
(2)
C16C52C33
A
3 3
非均分组问题(例4)
有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人一本，一人两本，一人三本；（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；（5）一人四本，另两人各一本·
例1 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的放法有多少种？
隔板法：待分元素相同，去处不同，每处至少一个。
变式将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？
例2 已知方程x+y+z+w=100，求这个方程的正整数解的个数。
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
(2)

排列组合中的几种常见问题

问题一：均匀分组与不均匀分组的问题方法技巧均匀分组与不均匀分组的问题处理均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．【示例】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．解 (1)无序不均匀分组问题．先选1本，有C 16种选法；再从余下的5本中选2本，有C 25种选法；最后余下3本全选，有C 33种选法．故共有分配方式C 16·C 25·C 33＝60(种)． (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式C 16·C 25·C 33·A 33＝360(种)．(3)无序均匀分组问题．先分三组，则应是C 26·C 24·C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则C 26·C 24·C 22种分法中还有(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，CD ，AB )，(EF ，AB ，CD )，共有A 33种情况，而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 26·C 24·C 22A 33＝15(种)． (4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26·C 24·C 22A 33·A 33＝C 26·C 24·C 22＝90(种)．(5)无序部分均匀分组问题．共有分配方式C 46·C 12·C 11A 22＝15(种)． (6)有序部分均匀分组问题．在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 46·C 12·C 11A 22·A 33＝90(种)． (7)直接分配问题．甲选1本，有C 16种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 15种方法；余下4本留给丙，有C 44种方法，共有分配方式C 16·C 15·C 44＝30(种)．问题二：同元问题“隔板法”例. 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法.该题的数学模型为：方程++21x x ……)n m ,N n m ,(m x *n ≥∈=+有1-n 1-m C 个正整数解。

行测数量关系技巧：排列组合异素不均分的分堆与分配问题

⾏测数量关系技巧：排列组合异素不均分的分堆与分配问题公务员⾏测考试主要是考量⼤家的数学推理能⼒和逻辑分析能⼒，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：排列组合异素不均分的分堆与分配问题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：排列组合异素不均分的分堆与分配问题公务员考试⾏测卷中，要说最难的题型，可能⼀千个读者⼼中有⼀千个哈姆雷特，各有各的说法。

但是要说到最容易出错的题型，那⾮排列组合不可。

但是排列组合在⺫前的公务员考试中尤其是国考，⼏乎是每年必考的题型，所以还是需要花精⼒去学习掌握。

今天带⼤家⼀起来学习其中的⼀个⼩知识点，即异素不均分的分堆与分配问题，主要是为了和我们之前所说的异素均分的分堆与分配形成对⽐和区分。

⼀、异素不均分的分堆与分配概念并不难理解，所谓的异素，就是指被分的元素是不相同的，有区别的。

⽽不均分则是指分完后每⼀份数量不⼀样，⽐如说四个不同颜⾊的⼩球，分作两份，分别为1个和3个，这就是个异素不均分的问题。

⽽分堆与分配，⼜是有区别的，分堆就是把元素按照要求分开就⾏，⽐如说分成1个和3个，就可以了。

分配则是在分堆的基础上需要将分好的堆再分配给相应的对象。

⽐如说4个颜⾊不同的⼩球，分给⼩⺩和⼩李，其中⼀⼈拿3个，另⼀⼈则拿1个，这就是不均分的分配问题。

⼆、实际应⽤中的具体计算⽅法我们通过⼀个例题来理解两种不同的分堆分配⽅式的具体计算。

例1：将标有A、B、C、D的四本书分作两组，其中⼀组3本，⼀组1本，有多少种分法? 【解析】通过上边的描述我们知道，这属于异素不均分的分堆问题，直接按照分步思想来操作就可以了，第⼀步从4本书中选出3本，第⼆步则选出剩下的1本，即所以当我们把不同元素进⾏不均分分堆时，只需要按照基本的分步思想去操作即可。

例2：将标有A、B、C、D的四本书分给甲、⼄两个⼈，其中甲1本，⼄2本，有多少种分法? 【解析】这个题属于不均分分堆之后的指定分配，当我们分好堆的时候，其实已经确定了每⼀堆的归属，所以计算⽅式和结果，和例题1是⼀样的。

排列组合中的分组、分派问题

排列组合中的分组、分派问题学习目标：1、体会分组、分派问题的联系与区别2、体会算两次思想在平均分组问题中的应用学习进程:例1：（1）把4本不同的书平均分给2个人，有几种分法？（2）把4本不同的书平均分成2堆，有几种分法？分析：（1）从人的角度：第1人有24C 种，第2人有22C 种，按照分步乘法原理得分法数2224C C N ⋅=从书的角度：先把书平均分成2堆，再把书进行排队，把书平均分成2堆有3种223A N ⋅= （2）把书平均分成2堆有3种，注意：不是24C ，而是2224A C 例2：（1）把6本不同的书平均分给3个人，有几种分法？（2）把6本不同的书平均分成3堆，有几种分法？（3）把6本不同的书分给3个人，其中一人3本，一人2本，一人1本，有几种分法？（4）把6本不同的书分成3堆，其中一堆3本，一堆2本，一堆1本，有几种分法？分析：（1）的本质是平均分派问题（2）的本质是平均分组（3）的本质是不平均分派（4）的本质是不平均分组从人的角度去分析（1）：第1人有26C 种，第2人有24C 种，第3人有22C 种，按照分步乘法原理得分法数222426C C C N ⋅⋅= 从书的角度：先把书平均分成3堆，再把书进行排队，把书平均分成3堆的方式数可用列举法，但数字大时要找好方式。

现设把6本书平均分成3堆得方式数为x ，把3堆书排队的方式数为33A 。

按照算两次取得结果一致得：22242633C C C A x ⋅⋅=⋅“平均分组”对学生来讲是难点。

练习1：现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法？（1）分成3组，一组4本，一组3本，一组2本（1260）（2）分给3个人，一人4本，一人3本，一人2本（7560）（3）平均分成3组（280）练习2:4个不同的球，4个不同的盒子，把球全数放入盒内（1）恰有1个盒子不放球，共有几种方式？114（2）恰有一个盒子放2球，共有几种方式？114（4）恰有2个盒子不放球，共有几种方式？84。

排列组合中的分组分配问题-最新年文档

排列组合中的分组分配问题例1六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？每组两本.2）甲、乙、丙三人，每人两本一组一本，一组二本，一组三本4）甲、乙、丙三人，一人一本、■—人两本、一人三本一组四本，另外两组各一本.甲、乙、丙三人，一人四本、一人一本、一人一本分析显然以上6个小题分别对应一种类型的分配问题1）分组与顺序无关，是组合问题.分组数是C26c24c22二90种），这90种分组实际重复了6次.我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种：分法：（1, 2）（3, 4）（5, 6）与（3, 4） 6） , 1, 2）（5,由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法.以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A33,所以分法是C26c24c22A33=1 （种）.所以平均分组是无序的，各组合数相乘时产生了顺序，故应消序（除以平均组数的全排列）.2）“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以A33,即C26c24c22A33A33=9 （种）.（3）先分组，方法是Cl6c25c33那么还要不要除以A33?我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法, 即共有C16C25C33=6 （0种）分法.所以不平均分组是有序的，不需要消序.（4）类似（2）可以得到Cl6c25c33A33=36a 种）.5）分组方法是C46C12C11=3 （0种），那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，两组有因此这了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复.所以实际分法是c46cl2CHA22=1 （种）,所以局部平均分组应局部消序.（6）类似（2）可以得到C46C12C11A22A33=9 （种）.对于分配问题做到先分组，再分配类似的问题比如：例2 12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件，各有多少种不同的分法？1 ）一人三本，一人四本，一人五本；2）甲三本，乙四本，丙五本；3）甲两本，乙、丙各五本；根据上面例题的分析容易得出答案:1）C312C49C55?A33 2）C312C49C55 3）C212C510C55面再看几个分配问题的变形问题例3四个不同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2.实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组,两组各1个，另一组2 个，分组方法有C14C13C22A2 （2种），然后将这三组即三个不同元素）分配给四个小盒4不同对象）中的3个的排列问题，即共有Cl4cl3c22A22A34=144 种）.例4有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从1 0人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？分析先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有C110C19C28A242种）分法.再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有CH0C19c28A22A22=25240 种）不同的选法.例5 设集合A二{1 , 2, 3, 4} , B二{6, 7, 8}, A 为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？分析由于集合A为定义域，B为值域，即集合A B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题.先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为L L 2,则共有C14C13C22A2 （2种）分组方法.再考虑分配，即排列，再乘以A33,所以共有C14C13C22A22A33=36个）不同的函数.总之，掌握上述方法，就能顺利解决任何分配问题.而且，学会了分配问题，还能将一些其他的排列组合问题转化为分配问题来解决.。

排列组合中的分组分配问题3份

排列组合中的分组分配问题3份排列组合中的分组分配问题[内容摘要] 分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的. 对于后者必须先分组后排列。

分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题. 分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的. 对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 每组两本；(2)一组一本，一组二本，一组三本；(3)一组四本，另外两组各一本.222分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是CCC 642=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6) 与(3，4)(1，2)(5，6) ，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A 33，所以分法是C 6C 4C 2=15(种) 。

3A 33123(2)先分组，方法是CCC 653，那么还要不要除以A 3？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出123现相同的分法，即共有CCC 653=60(种) 分法。

排列组合中的分堆问题最新版

例2：（1）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（1）均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
例2：（1）6本不同的书按 2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
一：均分不安排工作的问题
例1：12本不同的书（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
14 2 C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
12 2 C
120C82
C
6 6
A
3 3
二：分堆安排工作的问题
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3
C
4 6
C
1 2
C
1 1
练习3
练习：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件，各有多少种不同的分法？

浅谈排列组合中的有序和无序问题

2013-02教学实践我们都知道,排列和组合的最大区别在于排列是有顺序的,而组合是没有顺序的,这句话说起来简单,但是操作起来却是问题多多。

我们经常会在做题中碰到有些题明明觉得应该是组合问题,而它偏偏是排列问题,而这些大多是由元素是否是相同的引起的,下面我们通过几个例子来说明此类问题。

例1.将5本不同的书分给三个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?解析:书是不同的,人也是不同的,所以在分的时候,一个人手里的书即使数目是一样的,但种类不同的时候依然属于不同的分配方案,所以不妨这样来分,先把书分成三组,然后把分好的组再分给三人,每人一组,分组的时候有两种分法:1,1,3和2,2,1,所以总共的分配方法共有:(C15C14C33A22+C25C23C11A22)·A33=150种。

例2.将5个优秀名额分给3个不同的班级,每个班级至少一个名额,不同的分配方案共有多少种?解析:本例和上例的区别在于,名额是完全一样的,只存在数目上的差别,而不存在个体上的差别,也就是班与班之间只有名额数目上的差别,没有其他的差别,为此我们可以采用“插杠法”来解决此类问题。

○│○│○│○│○如图所示,将五个名额一字排开,除去开头和结尾,名额之间共有四个空位,在这四个空位之中选择两个插上杠,那么名额就被分成了三部分,一次分给三个班级即可,所以总的分法共有C24=6种。

例3.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已摸球的次数,求:(1)随机变量ξ的概率分布列;(2)随机变量ξ的数学期望和方差。

解析:本例大家的误区在从袋中摸球的时候到底是有序的还是无序的,很多同学会被那里相同的5个球所迷惑,认为是无序的,但是恰恰相反,本题是一个有序问题,因为取球的顺序会对结果造成直接的影响,所以我们必须按照有序来考虑。

解:ξ的可能取值为:2,3,4P(ξ=2)=C12C13A22A25=35,P(ξ=3)=C12A23+C13A22A35=310,P(ξ=4)= C12A33A45=110ξ的分布列如下:ξ234P3*******综上所述,大部分情况下,不同元素的排列问题,我们一般按照有序来处理,相同元素的我们要看具体情况。

排列组合中的分堆问题

(1)
C
2 6
C
2 4
C22
90
二：分堆安排工作的问题(续)
例2（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、 D、E五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列
(2)
C
13 2 C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
•
六十一、生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚毅来完成它。——歌德
•
六十二、没有大胆的猜测就作不出伟大的发现。──牛顿
•
六十三、梦想，是一个目标，是让自己活下去的原动力，是让自己开心的原因。——佚名
•
六十四、人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。——爱迪生
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六十五、一路上我都会发现从未想像过的东西，如果当初我没有勇气去尝试看来几乎不可能的事，如今我就还只是个牧羊人而已。——《牧羊少年的奇幻之旅》
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五十七、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契
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五十八、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。——阿·安·普罗克特
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五十九、一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。——高尔基
•
六十、青春是人生最快乐的时光，但这种快乐往往完全是因为它充满着希望，而不是因为得到了什么或逃避了什么。——佚名
•
二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底
•
二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩

分配问题

《排列组合中的分配问题专题讲座》排列组合中的分配问题是一类基本问题，主要包括平均分配问题（分堆问题）、不平均分配问题等，是组合知识和排列知识的综合应用，解决问题的发方法比较独特，现举例说明问题的解法例1：6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，有多少种不同的分法？解析：分给甲、乙、丙的书各不相同，分步解决，得：222426C C C例2：6本不同的书分给甲3本、乙2本、丙1本，有多少种不同的分法？解析：关键是理解如何完成一件事，分三个步骤就可以第一步给甲3本有36C 种方法第二步给乙2本有23C 种方法第三步给丙1本有11C 种方法则有36C 23C 11C 种不同的给法例3：6本不同的书分给甲4本、乙1本、丙1本，有多少种不同的分法？解析：同第二个题则有46C 12C 11C 种方法例4：6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：先分成3组，再将这三组分给三个人36C 23C 11C 33A ，在分组时要注意各组的本数不同.例5：6本不同的书平均分成3份，有多少种不同的分法？解析：这是分份或分堆的的问题，可以由第一个题来解决，方法如下：把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人可以分两步去考虑，（1）先把6本书平均分成3份，设有x 种方法（2）把这三份分给三个人有33P 种方法则把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人有33xP 种方法由第一题的结果可得：33xA =222426C C C ，解得：33222426A C C C x 另解：6本不同的书可以用A 、B 、C 、D 、E 、F 来表示，分成三份，若写成222426C C C ，则出现了重复：举例如下，不妨分成的三组为 AB ，CD ，EF ，则下列分组方法：AB ，EF ，CD ；EF 、AB 、CD ； EF 、CD 、AB ；CD 、AB 、EF ；CD 、EF 、AB 也在222426C C C 中，但和AB ，CD ，EF 是一样的分组方法，即有重复出现，一种分法重复了33A 回，只要其中的一种就可以，则结果为33222426A C C C x = 例6：6本不同的书分成3份，一份3本、一份2本、一份1本，有多少种不同分法?解析：虽然此题也是分份问题，但由于每份的数量不同，则问题的实质同第二个题一样则结果为36C 23C 11C例7：6本不同的书分成3份，一份4本、一份1本、一份1本，有多少种不同分法?解析：此题所分的三份中由于有两份的数量相同，则可以利用第三个试题来解决，方法同第四个试题，则结果为22111246A C C C x = 推广到一般结论：分组时先看成指定人去分，将结果除以x x A ，有几份数量相同x 就是几。

矿产

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。