二倍角的正弦、余弦、正切公式_优质课件

及
1－sin
α＝sin
2α－cos
α 2
2 并能灵活应用，所谓灵活应用，就是既要会正用还要会逆用.
纠错心得： 在使用二倍角公式时，一定要注意角的范围，考虑角的范围的 简单可行的方法就是看分母是否为零．
课堂总结
1．二倍角的正弦、余弦公式中的角 α 是任意的角，而二倍角
的正切公式中的角 α 需要 α≠kπ＋2π(k∈Z)和 α≠k2π＋π4(k∈Z)．
2．要掌握
1＋sin
α＝sin
α2＋cos
α22
＝32＋12[cos 2x＋cos(240°＋2x)＋cos(480°＋2x)]
＝32＋12cos
2x－12cos
2x＋
3 2 sin
2x－12cos
2x－
3
2
sin
2x
＝32＋12[cos 2x－cos 2x]＝32.
知识点 3 综合应用
【例 3】 已知函数 f(x)＝1＋sin xcos x，g(x)＝cos2x＋1π2. (1)设 x＝x0 是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴，求 g(x0)的值； (2)求使函数 h(x)＝fω2x＋gω2x(ω>0)在区间－23π，π3上是增 函数的 ω 的最大值． 思路点拨：
解：∵π2≤α<32π，∴34π≤α＋π4<74π，于是可由 cosα＋π4＝35得到
sinα＋π4＝－45.即
2 2 cos
α－
2 2 sin
α＝35，
2 2 sin
α＋
2 2 cos
α＝－45.两
式相加得 cos α＝－102，两式相减得 sin α＝－7102.
而 cos
2α＋π4＝
22cos
2α－sin
2α，cos
2α＝－
1022－－7102
2＝－2245，sin
2α＝2×－
102×－7102＝275.
所以 cos2α＋π4＝ 22－2245－275＝－31502.
1．已知 tanπ4＋α＝3，求 sin 2α－2cos2 α 的值．
解：由 tanπ4＋α＝3，得 tan α＝12， ∴sin 2α－2cos2 α＝2sin αcos α－2cos2 α
＝2co2ssiαn1α－cocsoαs α＝1－sicnoαs α＝
2sin2 α
α 2
α＝tan
α2.
2sin 2cos 2
2．化简：cos2 x＋cos2(120°＋x)＋cos2(240°＋x)．
解：∵cos2 x＋cos2(120°＋x)＋cos2(240°＋x) ＝1＋c2os 2x＋1＋cos 2240°＋2x＋1＋cos4280°＋2x
4．计算sin
51π2＋cos
5π 12sin
51π2－cos152π＝________.
【答案】
3 2
要点阐释
1．二倍角公式 S2α，C2α，T2α 就是两角和的正弦、余弦、正切 公式 S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)的特例，即在 S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)中令 β ＝α 就得到了 S2α，C2α，T2α.
自学导引
1 ． sin 2α ＝ ___2_si_n__α_c_o_s_α___ ， cos 2α ＝ _c_o_s_2_α_－__s_i_n_2 _α＝ 2tan α
_2_c_o_s_2_α_－__1_＝___1_－__2__s_in_2_α___.tan 2α＝__1_－__t_a_n_2α__.
所
以
tanπ4＋α＝tanπ2＋22α＝1＋sincoπ2s＋π2＋2α2α＝1－cossin2α2α＝1－n m与 A 对应； 而 tanπ4＋α有意义时，只需π4＋α≠kπ＋π2(k∈Z)， 即 α≠kπ＋π4(k∈Z)就可以了．
可见已知条件
sin 2α＝sin2kπ＋π4＝sin2kπ＋π2＝m≠1， 即1－n m的分母不为零，故选 A. 但是，当 α＝34π＋kπ(k∈Z)时 cos 2α＝n＝0，即 B 不正确； 当 α＝π2＋kπ 时(k∈Z)，sin 2α＝m＝0，cos 2α＝n＝－1，此时 1－m＋n＝0，即 C 不正确； 当 α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝m＝0，cos 2α＝n＝1，此时 m＋n －1＝0，即 D 不正确．故选 A. 答案：A
自主探究
sin2 α·sin2 β＋cos2 αcos2β－12cos 2αcos 2β 等于一个常数吗？若 等于一个常数，请把这个常数求出来；若不是一个常数，请化简一 下．
解：此式等于一个常数，这个常数是12.求解过程如下：
原
式
＝
sin2α·sin2β
＋
cos2αcos2β
－
1 2
(2cos2α
2．对于倍角公式应有广义上的理解，如 4α 是 2α 的倍角、3α
是32α的倍角、α 是α2的倍角、α2是α4的倍角，2αn是2nα＋1的倍角等．因此，
sin 4α＝2sin 2αcos 2α，cos 2αn＝cos22nα＋1－sin22nα＋1等．
3．对于二倍角的余弦公式要掌握其变形 cos 2α＝2cos2α－1＝ 1－2sin2 α，并能灵活运用．
ωx＋32＝12sin
ωx＋π3＋32.
当 x∈－23π，π3时，ωx＋π3∈－2ω3π＋π3，ω3π＋3π，
因为 h(x)在－23π，π3上是增函数，且 ω>0，
所以－2ω3 π＋π3，ω3π＋π3⊆－π2，π2，即－ ω3π2＋ω3 3ππ＋ ≤2π3π≥ ，－π2，
解得 ω≤12，所以 ω 的最大值为12.
＝2sinsiαn2coαs＋αc－os22cαos2α＝2tatann2
α－2 α＋1
＝2×12212＋－12＝－541＝－45.
知识点 2 化简
【例 2】
化简：sin
α＋cos α－1sin α－cos α＋1
sin 2α
.
思路点拨：灵活运用二倍角的正余弦公式．
解：
原式＝sin2 α－sinco2sαα－12＝1－2cos2sαin＋22αcos α－1
4．对于二倍角的余弦公式要会逆用：1＋cos 2α＝2cos2 α，cos2
α＝1＋c2os
2α，1－cos
2α＝2sin2α，sin2α＝1－c2os
2α .
典例剖析 知识点 1 求值 【例 1】 已知 cosα＋π4＝35，π2≤α<32π，求 cos2α＋π4的值．
思路点拨：先由已知解得 sin α，cos α 的值．
解：
(1)f(x)＝2cos xsin x·12＋2cos xcos x·23－
31－cos 2
2x＋12sin
2x
＝12sin 2x＋
31＋cos 2
2x－
31－cos 2
2x＋12sin
2x＝sin
2x＋
3cos
2x＝2sin2x＋π3.所以周期 T＝π.
(2)当 2x＋π3＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ－51π2(k∈Z)时，f(x)min＝
－
1)·(2cos2β
－
1)
＝
sin2α·sin2β
＋
cos2αcos2β
－
1 2
(4cos2αcos2β
－
2cos2α
－
2cos2β
＋
1)
＝
sin2α·sin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2α·sin2β＋cos2αsin2β
＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.
g(x0)＝121＋cos2x0＋π6＝121＋coskπ＋23π. 当 k 为偶数时，g(x0)＝121＋cos 23π＝14； 当 k 为奇数时，g(x0)＝121＋cos π3＝34.
(2)因为 h(x)＝1＋12sin ωx＋121＋cosωx＋π6
＝12sin ωx＋
3 2 cos
ωx－12sin
预习测评
1. (2013 年江西)若 sin
2=
3 3
,则
cosα=(
பைடு நூலகம்
)
2
1
A.- 3 B.- 3
1
C. 3
2
D. 3
【答案】C
2.(2014 年浙江模拟)设函数 f(x)=sin xcos x,则函数 f(x)的最小值
是( )
1
1
3
A.- 4
B.- 2
C.- 3
D.-1
【答案】B
3．若 sinπ2＋α＝35，则 cos 2α＝________. 【答案】－275
－2.
误区解密 使用公式未考虑角的范围而出错
【例题】 已知 sin 2α＝m，cos 2α＝n，则 tanπ4＋α＝(
)
n
1＋m 1＋m＋n m－n＋1
A.1－m B. n C.1－m＋n D.m＋n－1
α
错解：因为
tan
α 2
＝
sin
2 α
＝
sin2 α
α 2
α
＝
1－cos sin α
α
，
所
以
cos 2 sin 2cos 2
方法点评： 将二倍角公式与前面所学的知识综合起来进行考查，是考试的 重点，也是考试的热点．其实这类试题的难度并不是很大，只要记 住了所学的公式，解答起来并不困难．
3．已知 f(x)＝2cos xsinx＋π3－ 3sin2 x＋sin xcos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 值．
(1)f(x)＝1＋sin xcos x＝1＋12sin 2x，利用 y＝sin x 的性质求 x0 及 g(x0)；
(2)将 h(x)化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，再利用单调性和不 等式求解．
解：
(1)由题设知 f(x)＝1＋12sin 2x，因为 x＝x0 是函数 y＝f(x)图象的 一条对称轴，所以 2x0＝kπ＋π2(k∈Z)，
2．sin
α 2cos
α2＝___12_s_i_n_α_____；(sin
α＋cos
α)2＝_1_＋__s_i_n_2_α_；
(sin
α － cos
α)2
＝
____1_－__s_in__2_α_____
；
1－cos 2
2α
＝
__s_in_2_α___
；
1＋cos 2
2α＝__c_o_s_2_α____.
tanπ4＋α＝tanπ2＋22α＝1－sicnosπ2＋π22＋α2α＝1＋cossin2α2α＝1＋n m，故选 B. 答案：B
错因分析：选用公式时没有考虑角的范围是否发生了变化．
α
αα
正解：因为
tan
α 2
＝
sin
cos
2 α 2
＝
sin 2cos cos2α2
2
＝
sin α 1＋cos
α
.