江苏省泰州市姜堰区2020-2021学年高三下学期期初考试数学试卷含解析《含高考14套》

江苏省泰州市姜堰区2020-2021学年高三下学期期初考试数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k
B ．4k
C ．4
D ．2
2．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8
B ．12
C ．14
D ．10
3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．
2728
倍 B ．
4735
倍 C ．
4835
倍 D ．
75
倍 4．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2
4
(
,)e +∞ B ．2
4(0,
)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞
5．若函数f(x)＝13
x 3＋x 2－2
3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是
A ．[－5，0)
B ．(－5，0)
C ．[－3，0)
D ．(－3，0)
6．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（ ）
C．等腰或直角三角形D．钝角三角形
7．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）
A．4
3
B．
9
16
C．
3
4
D．
16
9
8．若实数,x y满足不等式组
1
21
210
x y
x y
x y
+≥-
⎧
⎪
-≤-
⎨
⎪--≤
⎩
，则234
x y
-+的最大值为（）
A．1-B．2-C．3 D．2
9．双曲线C：
22
1
5
x y
m
-=（0
m>），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．250
x y
±=B．250
x y
±=C．520
x y
±=D．50
x y
±=
10．已知复数z满足20202019
1
z i i
⋅=+（其中i为虚数单位），则复数z 的虚部是（）
A．1-B．1 C．i-D．i
11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）
A．24πB．28πC．32πD．36π
12．P是正四面体ABCD的面ABC内一动点，E为棱AD中点，记DP与平面BCE成角为定值θ，若点P的轨迹为一段抛物线，则tanθ=（）
A2B．
2
C
2
D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a的各项均为正数，记n S为{}n a的前n项和，若
2
1
1
2
n
n
n n
a
a
a a
+
+
=
-
，11
a=，则
7
S=________. 14．已知向量()()
1,2,,1,2,2
a b x u a b v a b
===+=-，且//
u v，则实数x的值是__________．
15．在ABC中，2,,
46
AB B C
ππ
===，点P是边BC的中点，则AC=__________，________.
16．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两
点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()2
2ln 2
x f x mx x =++，m R ∈.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知()f x 在1x =处的切线与y 轴垂直，若方程()f x t =有三个实数解1x 、2x 、3x （123x x x <<），求证：132x x +>.
18．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为())
12,,F F M 为椭圆C 上任
意一点，且124MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线():0,0l y kx m k m =+>>交椭圆C 于,P Q 两点，且满足2
PQ OP OQ k k k =⋅（,,PQ OP OQ k k k 分
别为直线,,PQ OP OQ 的斜率），求OPQ ∆PQ 的方程. 19．（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.
（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？
（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望()E ξ
附表及公式：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++. ()20P K k ≥ 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
3.841
5.024
6.635
7.879 10.828
20．（12分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为1S 公顷和2S 公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为3S 公顷和4S 公顷.
（1）设BAC θ∠=，用关于θ的函数()S θ表示1234S S S S +++，并求()S θ在区间(0,)π上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；
（2）如果123452S S S S +++=，并且12S S <，试分别求出1S 、2S 、3S 、4S 的值.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y =的两条
切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点. （1）证明:MN x ⊥轴；
（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
22．（10分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.
()1用θ表示栈道的总长度()
fθ，并确定sinθ的取值范围；
()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
【分析】
<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.
分析可得k0
【详解】
当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,22
4||4kx y k k +==-,可化为
22
144
y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 2、C 【解析】 【分析】
将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a . 【详解】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由24a =，48a =，得114,
38,
a d a d +=⎧⎨
+=⎩解得12a =，2d =，
所以71614a a d =+=．故选C ． 【点睛】
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式. 3、B 【解析】 【分析】
设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】
设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a a
P a
⨯⨯+⨯⨯=
=，
所以
00009447
7035
=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735
倍. 故选：B 【点睛】
本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x
f x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围.
【详解】
函数2x
y x e =的导数为2'2(2)x x x
y xe x e xe x =+=+，
令'0y =，则0x =或2-，
20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，
所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：2
24(0)0,(2)4f f e
e
-=-==
， 函数2()x
f x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：2
4(0,)e . 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大. 5、C 【解析】 【分析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【详解】
由题意，f′(x)＝x 2＋2x ＝x(x ＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．
令
13x 3＋x 2－23＝－2
3
，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，30
50a a -≤<⎧⎨+>⎩
解得a ∈[－3，0)，
故选C. 【点睛】
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.
利用正弦定理将边化角，再由()sin sin A B C +=，化简可得sin cos sin cos B A A A =，最后分类讨论可得； 【详解】
解：因为cos (2)cos c a B a b A -=-
所以()sin sin cos 2sin sin cos C A B A B A -=- 所以sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=- 所以()sin sin cos 2sin cos sin cos A B A B A A B A +-=-
所以sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin cos A B B A A B A A B A +-=- 所以sin cos sin cos B A A A = 当cos 0A =时2
A π
=
，ABC ∆为直角三角形；
当cos 0A ≠时sin sin A B =即A B =，ABC ∆为等腰三角形；
ABC ∆∴的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：C ． 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 7、D 【解析】 【分析】
分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【详解】
设圆柱的底面圆半径为r
，则r
，所以圆柱的体积2
126V =π⋅
⨯=π.又球的体积
32432
233V =π⨯=π，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369
V V π
π==，故选D.
【点睛】
本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养. 8、C 【解析】 【分析】
作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 9、B 【解析】 【分析】
50mx -=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出
m ，进而求出渐近线的方程.
【详解】
设左焦点为(),0c -50mx -=，由左焦点到渐近线的距离为2，可得
25
mc m m =
=+，所以渐近线方程为5
y =250x =, 故选：B 【点睛】
本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 10、A 【解析】 【分析】
由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】
解：∵41i =，
∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-， 则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】
本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题. 11、C 【解析】 【分析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为120，
由正弦定理可得23
24sin120
AD =
=，解得2AD =，
三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =
+=
该几何体外接球的表面积为：(2
4232S ππ=⋅=.
故选：C 【点睛】
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
【解析】 【分析】
设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，
求出向量DP ，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，结合θ为定值，得出sin θ为定值，
且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】
由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，
以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则可得1OB OC ==，3
232
OA =
=OA 的三等分点G 、F 如图， 则13
3OG OA =
=
2233AG OF OA ===2226
DG AD AG =-=
，162EF DG ==，
所以()0,1,0B 、()0,1,0C -、(
)
3,0,0A
、326D ⎝⎭、236E ⎝⎭， 由题意设(),,0P x y ，326,33DP x y ⎛=-- ⎝⎭
，
ABD 和ACD 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，
BE CE E =，AD ∴⊥平面BCE ，2326,0,33AD ⎛⎫
∴=- ⎪ ⎪⎝⎭
为平面BCE 的一个法向量， 因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
， 由题意可得
sin cos ,AD DP AD DP AD DP
θ-⋅
=<>=
=
⋅
=
==
因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则
sin θ也为定值，
22339
x x ==，可得23y =，此时sin θ=，则cos θ=，sin tan cos 2
θθθ==
. 故选：B. 【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、127 【解析】 【分析】
已知条件化简可化为22112n n n n a a a a ++-=,等式两边同时除以2
n a ，则有2
1120n n n n a a a a ++⎛⎫-
-= ⎪⎝⎭
，通过求解方程可解得1
2n n
a a +=,即证得数列{}n a 为等比数列,根据已知即可解得所求. 【详解】
由2
2
22
1111112220n
n n n n n n n
n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++⎛⎫=⇒-=⇒--= ⎪-⎝⎭
. 1111712120222112712n n n n n n n n n n n a a a a S S a a a -+++⎛⎫⎛⎫-⇒+-=⇒=⇒=⇒==-⇒= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
.
故答案为:127. 【点睛】
本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易. 14、
1
2
【解析】
∵a →=（1，2），b
→=（x ，1），
则u →=a →+2b
→=（1，2）+2（x ，1）=（1+2x ，4）， v
→=2a
→﹣b
→=2（1，2）﹣（x ，1）=（2﹣x ，3），
∵//u v ∴3（1+2x ）﹣4（2﹣x ）=1，解得：x=
1
2
． 点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得u →，v →然后利用向量共线的坐标表示列式求解x 的值．若a →=（a 1，a 2），b →=（b 1，b 2），则a →⊥b →⇔a 1a 2+b 1b 2=1，a →∥b →⇔a 1b 2﹣a 2b 1=1．
15、 2 【解析】 【分析】
根据正弦定理直接求出AC ，利用三角形的边表示向量AP ,然后利用向量的数量积求解AP BC ⋅即可. 【详解】
ABC 中，2,,4
6
AB B C π
π
==
=
，
sin sin AC AB
B C
=∴
，
可得AC =因为点P 是边BC 的中点， 所以221111
()()()2222
AP BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=
+⋅=+⋅-=-
2211
2222
=⨯-⨯=
故答案为：；2. 【点睛】
本题主要考查了三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题.
16【解析】 【分析】
设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+，根据勾股定理得出3x d =，而由椭圆的定义得出2ABF 的周长为4a ，有3a d =，便可求出a 和c 的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】
解：由已知，2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，
设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+，
而290ABF ∠=︒，根据勾股定理有：()()2
2
22x x d x d ++=+， 解得：3x d =，
由椭圆定义知：2ABF 的周长为4a ，有3a d =，21BF a BF ==，
在直角21BF F 中，由勾股定理，2
2
24a c =，即：2212
c a =，
∴离心率22
2
2
c e a ==. 故答案为：
22
.
【点睛】
本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）①当22m ≥- ()f x 在()0,∞+单调递增,②当22m <-()f x 单调递增区间为
28m m ⎛--- ⎝⎭,28m m ⎫
-+-+∞⎪⎪⎝⎭,单调递减区间为2288m m m m ----+-⎝⎭
（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）先求解导函数，然后对参数m 分类讨论，分析出每种情况下函数()f x 的单调性即可；
（2）根据条件先求解出m 的值，然后构造函数1()()(2)(02)x f x f x x ϕ=--<<分析出12,x x 之间的关系，再构造函数2()()(4)(14)x f x f x x ϕ=--<<分析出23,x x 之间的关系，由此证明出132x x +>. 【详解】
（1）2()2ln 2x f x mx x =++，2222(2)()22x mx x f x x m m x x x
'++=++==++
①当m ≥-()0f x '≥恒成立，则()f x 在()0,∞+单调递增
②当m <-()0f x '=得220x mx ++=，
解得1x =
，2x =
又1212
20x x m x x +=->⎧⎨
=>⎩，∴120x x <<
∴当0,
2m x ⎛-∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增；
当x ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当x ⎫
∈+∞⎪⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增. （2）依题意得，()130f m '=+=，则3m =-
由（1）得，()f x 在()0,1单调递增，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴若方程()f x t =有三个实数解()123123,,x x x x x x <<， 则123012x x x <<<<< 法一：双偏移法
设1()()(2)(02)x f x f x x ϕ=--<<，则2
1
224(1)()402(2)
x x x x x x ϕ'
-=+
-=≥-- ∴()1x ϕ在()0,2上单调递增，∴(0,1)x ∀∈，11()(1)0x ϕϕ<= ∴()()()()111112001x f x f x x ϕ=--<<<，即()()112h x h x <-
∵()()12f x f x t ==，∴()()212f x f x <-，其中()21,2x ∈，()121,2x -∈ ∵()f x 在()1,2上单调递减，∴212x x >-，即122x x +>
设2()()(4)(14)x f x f x x ϕ=--<<，2
2
222(2)()204(4)
x x x x x x ϕ'
-=+
-=≥-- ∴()2x ϕ在()1,4上单调递增，∴()1,2x ∀∈，()()2220x ϕϕ<= ∴()()()()222224012x f x f x x ϕ=--<<<，即()()22 4f x f x <-
∵()()23f x f x t ==，∴()()324f x f x <-，其中()32,x ∈+∞，()242,3x -∈ ∵()f x 在()2,+∞上单调递增，∴324x x <-，即231242x x x x +<<++
∴132x x +>. 法二：直接证明法
∵122x +>，32x >，()f x 在()2,+∞上单调递增， ∴要证132x x +>，即证()()()1312f x f x t f x +>==
设()(2)()(0)x f x f x x ϕ=+->，则22 ()22x x x ϕ'=-+=
+
∴()x ϕ在()
1上单调递减，在
)
1,+∞上单调递增
∴1(0,1)x ∀∈，()11)1)1)2[ln(23]0x f f ϕϕ≥=-=> ∴()()()11120x f x f x ϕ=+->，即()()()1132f x f x f x +>=
（注意：若ln(230>没有证明，扣3分）
关于ln(230+>的证明：
（1）0x ∀>且1
x e
≠
时，ln 2x ex <-（需要证明），其中 2.721e <<+
∴ln(2(221)(223e <--<--=
∴ln(2ln
ln(23
==->
∴ln(230+>
（21 2.73e >>，∴ln(42ln(12ln 2e +=+>=
∴ln 2ln(22++>，即ln(22ln 2+>-
∵1021024=，772.71046e >>，∴1072e <，则10ln 27ln 20.7<⇒<
∴ln(22ln 220.7 1.33>->-=>-【点睛】
本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.（1）对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分类讨论函数单调性；（2）利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到证明不等式的目的.
18、（1）2214x y +=（2）122y x =+
或122
y x =+ 【解析】 【分析】
（1）根据椭圆定义求得,a b ，得椭圆方程；
（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222
148440k x kmx m +++-=，应用韦达定理得1212,x x x x +，代入已知条件2
PQ
OP OQ k k k =⋅可得1
2
k =，再由椭圆中弦长公式求得弦长PQ ，原点O 到直线PQ 的距离d ，得三角形面积，从而可求得m ，得直线方程． 【详解】
解：（1）据题意设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>
则22224
a c c a
b =⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
22,1a b ∴==
椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=.
（2）据22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222
148440k x kmx m +++-= ()()222264414440k m k m ∴-+->
2241m k ∴<+
设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222
844
,1414km m x x x x k k -+=-=
++ 2
PQ OP OQ k k k =⋅
212
12
y y k x x ∴=
⋅ ()()21212kx m kx m k x x ∴++= ()2120mk x x m ∴++=
2222
8014k m m k
-∴+=+ 又
0,0k m >>
12
k ∴=
PQ ∴==
原点O 到直线
PQ 的距离d =
)102OPQ
S PQ d m ∆∴=⨯⨯===>
解得
m =
或=
m ∴
所求直线PQ 的方程为12y x =
+或12y x =+
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为
()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入题
中条件求得参数，用它求弦长等等，从而解决问题． 19、（1）见解析，没有（2）见解析，17
6
【解析】 【分析】
（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）先判断出ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】 （1）
2
2
120(42183030)0.208 3.84172487248
K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯
所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生中喜欢古典文学的人数为n ，则m n ξ=+.
且2,3,4ξ=
1211222132
431
(2)(1,1)3
C C C C P P m n C C ξ======； 2111122
22212223232
43431
(3)(2,1)(1,2)2
C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=； 22
22232
4131
(4)(2,2)6
C C C P P m n C C ξ======. 所以ξ的分布列为
则11117
()2343266
E ξ=⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.
20、（1）123442S S S S θ+++=+，最大值52.198公顷；（2）17、25、5、5. 【解析】 【分析】
（1）由余弦定理求出三角形ABC 的边长BC ，进而可以求出1S ，2S ，由面积公式求出 3
S ，4S ，即可
求出()S θ，
并求出最值；（2）由（1）知，1242S S +=，34S S =，即可求出3S 、4S
，再算出sin ,cos θθ，代入（1）中表达式求出1S ，2S。

【详解】
（1）由余弦定理得，2BC 138221
θθ
=+-
=-， 所以，121S θ=-
，同理可得221)=21S πθθ=--+（
又341
2
S S θθ==
= ， 所以1234()==42S S
S S S θθ++++，
故()S θ在区间(0,)π上的最大值为42+52.198。

（2）由（1）知，1242S S +=，34S S = ，所以34=5S S =，进而sin θ=
由
12S S <知，cos 0θ>，cos θ∴=
12S =21417,21425S -==+= 故1S 、2S 、3S 、4S 的值分别是17、25、5、5。

【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。

21、（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2
. 【解析】 【分析】
（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴. （2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2
. 【详解】
（1）设切点(
)
2
11,A x x ，(
)
2
22,B x x ，'
2y x =，
∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()2
1112y x x x x -=-，
设(),2M t t -，则有()2
11122t x x t x --=-，化简得2
11220x tx t -+-=，
同理可的2
22220x tx t -+-=.
∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，
12
2
N M x x x t x +=
==，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()222
2121212112222
N y x x x x x x t t =
+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+. ∵22
1212122AB
x x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2
y t x -=-， ∴直线AB 过定点1
(,2)2
. 【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22、()1()1232sin tan f θπθθθ=-
+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.
【解析】 【分析】
()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1
tan tan CD BE BD θθ==
=，1sin sin CD BC θθ
==，130sin AB AC BC θ=-=-
≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 则()1232sin tan f
θπθθθ=-
+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θ
θθπθ-=-
++求导得()()2
cos 2cos 1sin f θθθθ
--'=，利用增减性算出()min 533
f π
θ=
+，进而求θ得取值. 【详解】
解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1
tan tan CD BE BD θθ==
=，1sin sin CD BC θθ
==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，
则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-
≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 所以，()1232sin tan f
θπθθθ=-
+++，0,2πθθ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-
++，0,2πθθ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
()()
2
cos 2cos 1sin f θθθθ--'=
故3
θ=
时，()min 33
f θ=
+
所以当3
π
θ=时，栈道总长度最短.
【点睛】
本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.
2020-2021高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =
B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =
C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠
D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠
2．已知函数2,0
()2,0
x x
x f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范
围是（ ） A ．2
(0,
)3e
B ．2(,0)3e
-
C
．( D
．
3．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最小值为（ ）
A ．2
B ．24
C ．16
D ．14
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．
114
B ．
112
C ．
328
D ．以上都不对
5．设函数
'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1
'()ln ()<-
f x x f x x
，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(1,0)
(0,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)(1,
)
D ．(,1)(0,1)-∞-
6．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平
面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）
A ．m n =
B ．2m n =+
C ．m n <
D ．8m n +<
7．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2-
B ．1-
C ．3-
D ．2
8．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
9．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足
1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．
5
2
C ．
53
D ．5
10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3
n n
b a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）
A ．3-
B ．13
- C ．1
D ．3
11．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若
AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）
A ．
54
B ．2
C ．3
D ．
72
12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax
f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )
A．3-B．3 C．
1
3
-D
．
1
3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.
14．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：
满意度评分分组[)
50,60[)
60,70[)
70,80[)
80,90[)
90,100合计
高一 1 3 6 6 4 20
高二 2 6 5 5 2 20
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分评分<70分70≤评分<90 评分≥90分
满意度等级不满意满意非常满意
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生的概率为__________.
15．若
5
(3)n
x
x
-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____
16．已知函数()
2
31,0
2ln6,0
a
x x
f x x
x x x
⎧
++<
⎪
=⎨
⎪->
⎩
，若关于x的方程()()0
f x f x
+-=恰有四个不同的解，则实
数a的取值范围是______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥底面ABCD，AD AB
⊥，//
AB DC，2
AD DC AP
===，1
AB=，点E为棱PC的中点.
（1）证明：BE DC ⊥：
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（3）若F 为棱PC 上一点， 满足BF AC ⊥， 求二面角F AB P --的余弦值. 18．（12分）已知函数()|3||1|f x x x =-+-．
（1）若不等式()f x x m ≤+有解，求实数m 的取值范围；
（2）函数()f x 的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a b c n ++=，证明：48ab bc ac abc ++≥．
19．（12分）已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a
+=相交于,A B 两点.
（I ）求k 与m 的关系式；
（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当1
2
k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率. 20．（12分）已知在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin sin sin sin a A c C
b B C
-=-．
（1）求角A 的值； （2）若3a =
B θ=，AB
C 周长为y ，求()y f θ=的最大值．
21．（12分）设实数,x y 满足3x y +=. （1）若32x x y +<-，求x 的取值范围；
（2）若0x >，0y >，求证：
11
11x y
+≥+. 22．（10分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由； （2）根据统计数据建立一个22⨯列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 20()P K k ≥
0.10 0.05 0.010 0.005
0k
2.706
3.841
6.635
7.879
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】 【分析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】
A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；
B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；
C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；
D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确.
故选：C 【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题. 2、D 【解析】 【分析】
将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1
()2
y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的
图象，易知直线1
()2y k x =+过定点1(,0)2
-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在
0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.
【详解】
由图知()y f x =与1
()2
y k x =+有4个公共点即可，
即()
0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，
则0
00011()2x x x k e x k x e -⎧
=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩
2k e
∴∈.
故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 3、D 【解析】 【分析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】
做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的可行域，如下图阴影部分，
根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，
由42x x y =⎧⎨
-=⎩，解得4
2
x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，
所以23z x y =+的最小值为14. 故选：
D.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 4、A 【解析】 【分析】
首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】
不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，
从这8个素数中任选2个，有2
828C =种可能；
其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814
P ==． 故选：A . 【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5、D。