变化率与导数的概念

变化率与导数的概念

引入

问题1容器装水

向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）

问题2 高台跳水

高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.

一、平均变化率

1．概念：对于函数()y f x =，2121--()()f x f x x x 称为函数 f (x )从x 1到x 2的平均变化率.

注：

2.几何意义：

平均变化率y x ∆=∆2121

--()()f x f x x x 表示 过11(,

())P x f x 与22(,())Q x f x 直线的斜率. 练习：求2=y x 在0=x x 附近的平均变化率。

二、瞬时速度

h (t )= -4.9t 2+6.5t +10在65049

≤≤t 间的平均速度为 65049065049

-==-(

)()(/)h h v m s . 考察2t

=附近的情况：224913122-+∆==-∆--+∆()()..()

h h t v t t

结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的 一边趋近于2时， 平均速度都趋近于常数-13.1.

为了表述方便，我们用0(2)(2)lim

13.1t h t h t

∆→+∆-=-∆

三、导数的概念

函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()lim lim x x f x x f x y x

x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数

()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '

或0|x x y ='，即

注：

四、导函数 1.定义：()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，具体是指： 任给0(,)x a b ∈，总有00000()()lim lim ()x x f x x f x y f x x x

∆→∆→+∆-∆'==∆∆. 从而对开区间内(,)a b 的每一个0x ，都有一个数0()f x '与之对应， 所以在开区间(,)a b 内，()f x '就构成一个新函数，此新函数称为 函数()f x 的导函数，简称导数

2.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的 区别与联系。

例1．（1）求函数 2

()3f x x =在x =1处的导数.

（2）求函数f (x )=2-+x x 在1x =-附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数． 解析：

例2．求函数1y x

=在点3x =处的导数.

小结：