行列式的计算技巧总结

行列式的若干计算技巧与方法

目录

摘要 (1)

关键字 (1)

1.行列式的概念及性质 (2)

1.1 n阶行列式的定义 (2)

1.2 行列式的性质 (2)

2.行列式计算的几种常见技巧和方法 (4)

2.1 定义法 (4)

2.2 利用行列式的性质 (5)

2.3 降阶法 (7)

2.4 升阶法（加边法） (9)

2.5 数学归纳法 (11)

2.6 递推法 (12)

3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (14)

3.1 拆行（列）法 (14)

3.2 构造法 (17)

3.3 特征值法 (18)

4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)

4.1 三角形行列式 (19)

4.2 “爪”字型行列式 (19)

4.3 “么”字型行列式 (21)

4.4 “两线”型行列式 (22)

4.5 “三对角”型行列式 (23)

4.6 范德蒙德行列式 (25)

5. 行列式的计算方法的综合运用 (26)

5.1 降阶法和递推法 (27)

5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 (27)

5.3 构造法和套用范德蒙德行列式 (28)

小结 (29)

参考文献 (30)

学习体会与建议 (31)

摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．

关键词：行列式 计算方法

1．行列式的概念及性质

1.1 n 阶行列式的定义

我们知道，二、三阶行列式的定义如下：

22

21

1211a a a a =21122211a a a a -，

=33

32

31

232221131211a a a a a a a a a .

312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++

从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义． 设有2n 个数，排成n 行n 列的数表

nn

n n n

n a a a a a a a a a

2122221

11211，

即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积

n 21nj j 2j 1a a a ⑴ 的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号． 即

nn

n n n

n

a a a a a a a a a

2

1

2222111211

=

()

()n 21n 21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-， 这里

∑

n

21j j j 表示对所有n 级排列求和.

1.2 行列式的性质

性质1 行列互换，行列式不变．即

nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a n

2n

1n2

2212n12111nn

n2n1

2n 22211n 1211= .

性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即

=nn

n2n1in i2i1n 11211

k k k a a a a a a a a a

k nn

a a a a a a a a a

n2

n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列

式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即

111211112111121112212121

2

1

2

1

2

.n n n n n n n n n nn

n n nn

n n nn

a a a a a a a a a

b

c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即

k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in

i i n =

2

1

212111211nn

n n in i i in

i i n a a a a a a a a a a a a 2

1

2121

11211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

=+++nn n n kn k k kn in k i k i n

a a a a a a ca a ca a ca a a a a

2

1

212

21

111211nn

n n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 2

1

2121

11211

. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即