球的性质-高中数学知识点讲解
高中数学1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修)
3 4 3 解析： V＝ Sh＝ πr h＝ πR ， R＝ 64× 27＝ 12. 3
2
答案：12
能力提升 7．(2009 年中山市学业水平测试)把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后 铸成一个铁球，则这个铁球的半径为 ( C ) 2 3 2 2 r h rh rh rh (A) (B) (C) (D) 2 4 4 2
球的截面问题 【例 1】 已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1， 求这个球的表面积和体积．
思路点拨：要求球的表面积和体积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面这个条件．
解：如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，圆心为 O1 ，以 r2 为半径的截面面积为 8π，圆心为 O2， O1 O2＝ 1，球的半径为 R，设 OO2＝ x，可得下列关系式： 2 2 2 2 2 2 r2 ＝ R － x ， πr2 ＝ π(R － x )＝ 8π， r1 2 ＝ R2－ (x＋ 1)2，πr1 2＝ π[R2－ (x＋ 1)2 ]＝ 5π， ∴ R2－ x2＝ 8， R2 －(x＋ 1)2＝ 5，解得 R＝ 3. 球的表面积为 S＝ 4πR2＝ 4π× 32＝ 36π， 4 3 4 3 球的体积为 V＝ πR ＝ π× 3 ＝ 36π. 3 3 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面当中圆的有 关问题解决，此题要注意分截面在球心的同侧和两侧讨论．
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则 这个球的表面积是 ( B ) (A)25π (B)50π (C)125π (D)以上都不对
解析：长方体的体对角线是球的直径，体对角线长 l＝ 32＋ 42＋ 52＝ 5 2，2R＝ 5 2，R 5 2 2 ＝ ， S＝ 4πR ＝ 50π. 2
高中数学必修二-球-
圆叫大圆；
3.当 d增大时，截面圆越来越小，
当 0 d 时 R，截面是小圆，
当 d时，R 截面圆缩为一个
点，这时截面与球相切．
O
Rd r O'
P
课堂练习
口答
1．A.B 为球面上相异两点，则通 过A.B两点可作球的D大圆有（ ）
A．一个 B．无穷多个
纬度—— P点的纬度，也是 或 POA 的度数，即:
某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的 角度．
球面距离
C D
A
B
两点间的球面距离
Q P
直观的发现：过P,Q的圆中，半径越大， 在P,Q之间的劣弧的长越小！
定义
球面距离
球面距离：球面上两点
A.B之间的最短距离，就
是经过A.B两点的大圆在
这两点间的一段劣弧AB
的长度，我们把这个弧长
叫做两点的球面距离
B
R
O RA
距离公式： l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1.求东经 57线上, 纬度分别为北纬 38 和 68
的两地A ，B的球面距离.(设地球半径为R).
N
解 EOB EOA
球心
球的性质
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心, 半径等于球半径；小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面.
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
A
有下面的关系:
高中数学立体几何证明定理及性质总结
高中数学立体几何证明定理及性质总结高中数学立体几何是数学的一个重要分支，主要研究与三维空间中的几何形体相关的性质和定理。
在学习过程中，我们会遇到许多重要的定理和性质，下面是对其中一些重要的定理和性质进行总结的文章，以便于我们更好地掌握该知识点。
一、三角形的五种中线定理：1.三角形的三条中线交于一点，并且该点离三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的重心。
2.三角形的三条中线外接圆半径为内接圆半径的两倍。
3.三角形的三条中线构成的小三角形，其面积之和等于三角形面积的三分之一4. 中线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条中线长分别为m_a = 0.5*sqrt(2*b^2+2*c^2-a^2)，m_b =0.5*sqrt(2*a^2+2*c^2-b^2)，m_c = 0.5*sqrt(2*a^2+2*b^2-c^2)。
5.中线垂直性质：三角形的三条中线互相垂直，且互相平分。
二、三角形的四种高定理：1.三角形的三条高交于一点，并且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的垂心。
2.高线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条高线长分别为h_a=2*S/a，h_b=2*S/b，h_c=2*S/c，其中S为三角形的面积。
3.垂心到顶点距离的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有AH/HD=BH/HE=CH/HF=2，其中H为垂心，E,F为垂足。
4.垂心角的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有∠BHC=2∠A，∠BHC=2∠A，∠CHB=2∠A。
三、三角形的欧拉定理：设O为三角形的外心，G为重心，H为垂心，则有OG=1/3GH。
四、圆的性质：1.垂径定理：直径AB垂直于弧CD，则弦CD的中点E与弦AB的中点F，以及圆心O在一条直线上，且OE=OF=1/2CD。
2.正接定理：一个直角三角形的斜边上的圆的直径与该斜边上的直角边成正切关系。
3.切线定理：从一个点外切于圆的切线恒垂直于该点至圆心的半径。
高中数学知识点精讲精析 球的表面积和体积
球的表面积和体积（1）将一个底面半径R 高为R 的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V ＝2/3πR^3 .因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的.圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，根据积分公式可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3（2）球的表面积公式，依照纬线把球分成许多个圆台，所有圆台侧面积之和即球的表面积：4πr2.例1.（04 年辽宁卷.10）设A .B .C .D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A B C D解析：由已知可得，A .B .C .D 在球的一个小圆上.∵ AB =BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质 R 2 = r 2 + h 2 ，体积和表面积公式.例2.推导球的表面积公式. 解析：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“ 小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高.因此，第i 个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“ 小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：π68π664π224π272323=r A.68)6(34346,)2()223(23222222所以选球的体积解得得由πππ===∴=+=+=R V R R R h r R ,,,,21i S S S ∆∆∆.21 +∆++∆+∆=i S S S S i S ∆i h i i i h V S 31∆⋅=（例2题图）点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”， 这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.例3. A.B.C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．（例3题图）解析：AB 2+BC 2=AC 2，ABC 为直角三角形， ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ， 因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2=（）2+152， R 2=300，S 球=4R 2=1200（cm 2）.∆∴∆∴2R ∴∴ππ。
高考数学关于球的知识点
高考数学关于球的知识点在高考数学中，涉及到球体的知识点是较为常见和重要的内容之一。
球体作为一种几何体，具有独特的性质和特点，对于高考来说是必须掌握和理解的知识。
本文将针对高考数学中关于球的知识点进行详细的阐述，希望能够给广大考生带来一些帮助。
一、球的基本概念球是由空间中一点到距离不超过该点到一定正实数为半径的所有点组成的集合。
在数学中，我们用O表示球心，用r表示球的半径。
球表面的所有点到球心的距离都等于半径r，这就是球体的特点。
二、球的性质和运算1. 球的面积和体积球的表面积S和体积V是球的重要性质。
我们可以根据球的半径r计算球的表面积和体积。
球的表面积公式为：S = 4πr²球的体积公式为：V = 4/3πr³2. 球的三视图绘制球的三视图是常见的考点之一。
我们可以通过将球投影到不同的平面上，得到球的正视图、侧视图和俯视图。
球的正视图是一个圆，从正方向看，我们可以看到球的全貌。
球的侧视图是一个点，从侧方向看，只能看到球心。
球的俯视图也是一个圆，从上方向看，可以看到球正上方的面。
3. 球与平面的相交当球与平面相交时，几何问题的解决方法和技巧就会不同。
根据球与平面的相交情况，可以分为以下几种情况：当球与平面相交于一个圆时，我们可以通过求圆的面积和周长等性质来解决问题。
当球与平面相交于两个点时，我们可以通过求两点的距离来解决问题。
当球与平面相切时，我们可以通过求切点的坐标和距离来解决问题。
当球与平面没有交点时，我们可以通过球心到平面的距离来解决问题。
4. 球的旋转体当球沿着某条轴线进行旋转时，我们可以得到球的旋转体。
通过对球的旋转体进行计算，可以求出球的体积和表面积等值。
三、球的应用问题球的知识点在高考数学中有着广泛的应用，不仅在几何题目中常常出现，也涉及到其他学科和领域的问题。
1. 球的容器问题在物理学和工程学中，常常遇到需要计算球的容器问题。
例如，如何选择球形容器的大小，能够完美地容纳某种物质体积，又或者是球形容器与其他形状容器的比较等等。
高中数学 球的概念
B
二、球的截面
R C A r
d D B
性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径 r 有下面关系： R 2 = r 2 + d 2； 3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。
三、球的大圆和小圆
d
o
大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆 叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的
2、已知球面上两点A与B的球面距离为5 cm，过这两点的 两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______. 18cm 3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径
的平面，所得的截面面积为____________. 27 cm2
4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱 长为____________. 5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2， 则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.
圆叫做小圆。（0dR ）
（附：当d=R时，平面与球相切）
练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？
四、球面距离
P O Q
练习： 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。 （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。 （3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面 所在平面的距离为4。 （√ ） （4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√） ） × （ ） × （
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
高中内切球知识点总结
高中内切球知识点总结一、内切球概念及性质内切球通常指一个几何图形内部与该图形的每一条边或面都相切的球；或指一个凸多面体内与每个面都相切的球。
在高中数学中，我们通常研究的是平面图形的内切圆和立体图形的内切球。
1. 内切球的定义内切圆：对于一个给定的平面图形，如果存在一个圆，使得该圆恰好与这个图形的边界相切，那么我们称这个圆为这个图形的内切圆。
内切球：对于一个给定的凸多面体，如果存在一个球，使得该球恰好与这个多面体的每个面相切，那么我们称这个球为这个多面体的内切球。
2. 内切球的性质（1）内切球与多边形的关系内切圆与圆内接多边形的面积关系：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）内切球与圆锥体的关系：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h （r为内切球的半径，h为圆锥体的高）内切球与立体图形的关系：对于一个立体图形，其内切球的体积一般为4/3πr³，而其立体图形的体积为（4/3πr³） = 1/3 * 原立体图形的体积（2）内切球的作用在实际生活中，内切球有很多实际应用，比如在工程结构中，内切球可以用来计算空心圆柱体的体积；在建筑设计中，内切球可以用来计算建筑物内部的空间利用率等。
二、内切球相关定理和性质内切球相关定理和性质是指与内切球相关的一些数学定理和性质，这些定理和性质在解决内切球问题时起到了重要的作用，通常在高中数学中会涉及到下面这些内切球相关定理和性质：1. 内切球定理关于内切圆和多边形的定理：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）。
2. 内切球性质关于内切球和圆锥体的性质：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h（r为内切球的半径，h为圆锥体的高）。
高中数学球体的性质及相关题目解析
高中数学球体的性质及相关题目解析高中数学：球体的性质及相关题目解析球体是几何学中的一种重要的立体图形，具有许多独特的性质和特点。
在高中数学中，我们经常会遇到与球体相关的题目，掌握球体的性质和解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将详细介绍球体的性质，并通过具体题目的解析，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、球体的性质1. 球体的定义：球体是空间中所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
这个固定点称为球心，距离称为半径。
2. 球体的表面积：球体的表面积公式为S = 4πr²，其中S表示表面积，r表示半径。
3. 球体的体积：球体的体积公式为V = (4/3)πr³，其中V表示体积，r表示半径。
4. 球体的切割：通过球体的任意平面切割，所得的截面为圆。
5. 球体的投影：球体在平面上的投影为圆。
二、球体相关题目解析1. 题目：一个半径为5cm的球体，求其表面积和体积。
解析：根据球体的性质，可以直接利用公式计算。
表面积公式为S = 4πr²，将半径r = 5cm代入，得到S = 4π(5)² = 100π cm²。
体积公式为V = (4/3)πr³，将半径r= 5cm代入，得到V = (4/3)π(5)³ = 500π cm³。
这道题目考察了学生对球体表面积和体积的计算能力，同时也考察了对公式的熟练掌握程度。
2. 题目：一个球体的表面积为400π cm²，求其半径。
解析：根据球体的表面积公式S = 4πr²，可以得到方程4πr² = 400π。
化简后得到r² = 100，再开平方根得到r = 10。
这道题目考察了学生对于方程的解法和运算的掌握程度，同时也考察了对球体表面积公式的应用能力。
3. 题目：一个球体的体积为1000π cm³，求其半径。
解析：根据球体的体积公式V = (4/3)πr³，可以得到方程(4/3)πr³ = 1000π。
新教材高中数学第6章立体几何初步6简单几何体的再认识 球的表面积和体积课件北师大版必修第二册
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
球的表面积
例 1 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,试求球的表面积．
[分析] 求球的表面积或体积只需要求出球的半径,要求球的半径只 需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．
[解析] (1)当球心在两个截面同侧时,如右图,设OD＝x,由题意知 π·CA2＝49π,
(B)
4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
A．R
B．2R
(D)
C．3R
D．4R
[解析] 设圆柱的高为h，则πR2h＝3·43πR3，∴h＝4R.
4π 5．球的表面积为4πcm2,则其体积为______3_cm3.
[解析] 设球的半径为r，则4πr2＝4π，∴r＝1(cm)． ∴V＝43πr3＝43π(cm3)．
知识点2 球的表面积和体积公式 S球面＝__4_π_R__2 __,V球＝_____43_π_R_3.其中R为球的半径．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直．
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数．
2．球的体积是323π，则此球的表面积是
知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 4
3 ，底面周长
为3，那么这个球的体积为___3_π__.
[分析] 要求球的体积，关键是求出其半径R，而正六棱柱外接球的 直径恰好是正六棱柱的体对角线长．
[解析] ∵底面是正六边形， ∴边长为12.∴AD＝1． AD1为球直径，其长度为 3＋1＝2，∴R＝1． ∴V＝43πR3＝43π.
高中几何知识解析球的性质与判定
高中几何知识解析球的性质与判定几何学是数学的一个重要分支，而高中几何知识在数学学科中占据着重要的地位。
在高中几何学中，球是一个常见的几何体，它具有独特的性质和判定方法。
本文将对球的性质与判定进行解析和阐述。
一、球的性质球是一种特殊的立体，它具有以下几个重要的性质：1. 球面：球的外形是一个连续的、曲面称为球面。
球面上的任意两点到球心的距离相等，这被称为球面上的点到球心的距离是定值的性质。
球面上所有点的集合构成了球体。
2. 球心：球的球心是球面的中心点，也是整个球体的中心点。
球心到球面上的任意一点的距离都是定值。
3. 直径：直径是球的一个特殊线段，它通过球心且两端点位于球面上。
直径的长度是球的最大长度，它等于两点之间的距离。
4. 半径：半径是球心到球面上的任意一点的距离。
球的半径相等，这意味着球的半径是定值。
5. 表面积：球体表面的总面积称为球的表面积。
球的表面积的计算公式是4πr²，其中r是球的半径。
6. 体积：球体的总体积称为球的体积。
球的体积的计算公式是4/3πr³，其中r是球的半径。
以上是球的几个重要性质，了解了这些性质，我们可以更好地理解球的特点。
二、球的判定在几何学中，判定是一种重要的思维方式。
对于球，我们可以利用几何推理和几何知识进行判定。
1. 判定球体：给定一个几何体，我们可以用以下方法判断它是不是一个球体：- 判断是否有球心：如果一个几何体中存在一个点，且该点到几何体上的所有点的距离相等，那么该几何体就是一个球体。
- 判断是否有球面：如果一个几何体的外形是一个连续的、曲面，并且该曲面上的任意两点到一个确定的点的距离相等，那么该几何体就是一个球体。
2. 判定半径和直径：已知一个球体，我们可以用以下方法判断它的半径和直径：- 判断半径：选择球体上的两个不在同一直径上的点A和B，通过测量点A到球心的距离和点B到球心的距离，如果两个距离相等，那么该距离就是球的半径。
- 判断直径：选择球体上的两个点A和B，并且这两个点恰好在同一直径上，通过测量点A到点B的距离，该距离就是球的直径。
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。
外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。
2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。
r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。
4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。
2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。
其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。
几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。
练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。
本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。
对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。
补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。
而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。
对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。
对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。
高中数学球的性质一球的截面的性质
类比
2、垂直于弦的 直径平分弦
Rd
A
B
类比 2、球心与截面 圆心的连线垂直 于圆面
OO’ ⊥圆面O’
O
圆心与弦中点的
连线垂直于弦
O’
O
R
d
Mr
O’
d2r2R2
d2r2R2
在半径为5cm的球内有一个截面,球心到该截 面的距离为3cm,则该截面的面积为
O/ 4
35
O
例1
球的表面积是676 ，球内有两个 平行截面的面积分别是25、144, 求两截面距离
球的截面的性质
球的概念
以半圆的直径所在直 线为旋转轴,半圆面旋转 一周形成的几何体.
半径 O
球心
球面上的点到球心的距离等于半径
类比
1、一条直线与 圆相交，在圆内 的部分是
一条线段——弦
类比 1、用一个平面去 截球，截面是 ？圆面想一 NhomakorabeaA
B
想 ？
1、截面过球心——大圆 其半径等于球半径
2、截面不过球心——小圆
O
13
O1
13
12
A
5 O2 B
O1 12
A
O 13
13
5 O2 B
例2：在半径为13的球面上有A、B、C三点，其 中AB=6，BC=8，,AC=10，则经过这三点的截 面和球心的距离为
O
13
A6
O1 0 8
C
B
三棱锥P—ABC的四个顶点都在同一个球面上，三棱锥 的高等于球半径的 3 ，且AB=BC=CA=２cm，求球的
体积，表面积． 2
P
A
R r
O
1 2
R
高中数学-球专题讲义模型全解-学生版
目录专题一 墙角模型 2【方法总结】 2【例题选讲】 2【对点训练】 3专题二 对棱相等模型 7【方法总结】 7【例题选讲】 7【对点训练】 8专题三 汉堡模型 10【方法总结】 10【例题选讲】 10【对点训练】 11专题四 垂面模型 14【方法总结】 14【例题选讲】 14【对点训练】 15专题五 切瓜模型 19【方法总结】 19【例题选讲】 19【对点训练】 21专题六 斗笠模型 24【方法总结】 24【例题选讲】 24【对点训练】 25专题七 鳄鱼模型 28【方法总结】 28【例题选讲】 28【对点训练】 30专题八 已知球心或球半径模型 33【例题选讲】 33【对点训练】 34专题九 最值模型 38【方法总结】 38【例题选讲】 38【对点训练】 39专题十 内切球模型 44【方法总结】 44【例题选讲】 44【对点训练】 45专题一 墙角模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R= a2+b2+c2．)，秒杀公式：R2=a2+b2+c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】例1.[例] (1)已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π(2)若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( )．A.3B.6C.36D.9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( )．A.4πB.3πC.2πD.π(4)在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是________．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )．A.86πB.46πC.26πD.6π(6)已知二面角α-l-β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC=22，PA=23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD+∠DAB=π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．【对点训练】1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.72πD.714π32．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为( )A.5πB.203πC.10πD.34π3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于________.4．已知四面体P-ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=PB =2，则球O的表面积为________．5．三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )A.272πB.2732π C.273π D.27π6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，-1)，C(0，2，1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A.16πB.12πC.43πD.6π7．在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为( D )A.2πB.8πC.16πD.4π8．在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为________．10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A1D1E外接球的表面积为________．专题二 对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R=a2+b2+c2(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2=x2+y2+z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】例2.[例] (1)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．(2)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．(4)在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π(5)已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2．则AC=________．【对点训练】1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．2．表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π3．已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．4．三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC =BD=5，则a=________.6．正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π专题三 汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2，∴R 2=r 2+h 24．【例题选讲】例3.[例] (1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为( )．A.3172 B.210 C.132 D.310(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2D.37πa 2(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120°，则此球的表面积等于( )．A.10πB.20πC.30πD.40π(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π【对点训练】一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A.28π3B.22π3 C.43π3 D.7π2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________.3．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π5．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为( )A.6πB.5πC.4πD.3π6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC= 2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍8．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，二面角A1-BD-C1的大小为π3，则该正四棱柱外接球的表面积为( )A.12πB.14πC.16πD.18π9．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为________．10．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为____ ____．专题四 垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=h2，∴R2=r2+h24．【例题选讲】例4.[例] (1)已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π(2)三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π(3)在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π(4)在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π(5)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．【对点训练】1．三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π3．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π4．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8π D.12π5．在三棱锥A-BCD中，AC=CD=2，AB=AD=BD=BC=1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．6．如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π7．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.638．三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB= 1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα=________．；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为________．专题五 切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A-BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则R2=r2+m2，R2=d2+(h-m)2，解得R．可用秒杀公式：R2=r21+r22-l24(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)【例题选讲】例5.[例] (1)已知在三棱锥P-ABC中，V PABC=433，∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为________．(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60˚，∠C=90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．(3)已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π3(4)已知ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A-DECB的外接球的表面积为________．【对点训练】1．把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为( )A.32πB.27πC.18πD.9π2．在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．3．已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.36π4．在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔABC是边长为2的正三角形，若∠BDC=π4，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为( )．A.52π3B.3πC.4πD.28π35．已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB=AC=23，BD=4，CD=25，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A.24πB.48πC.64πD.96π6．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=22，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.8πD.12π7．在四棱锥A-BCDE中，ΔABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为( )A.2121πB.84πC.721πD.2821π8．已知空间四边形ABCD，∠BAC=2π3，AB=AC=23，BD=CD=6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为( )A.60πB.36πC.24πD.12π9．在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PB=PC=43，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．10．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP=25,AB=6,∠ACB=π3，且直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.13πB.52πC.52π3D.5213π3 10．答案 B 解析 如图，过点P作PE⊥AB于E，D为AB的中点，设ΔABC的外心是O1，半径是r，连接O1B，O1E，O1D，由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=43，则O1B=r=23，D为AB的中点，BD=AD=12AB=3，O1D⊥AB，所以O1D=O1B2-BD2=3，因为平面PAB⊥平面ABC，PE⊥AB于E，平面PAB∩平面ABC=AB，则PE⊥平面ABC，所以直线PA与平面ABC所成的角是∠PAE，则tan∠PAE=PEAE=2，即PE =2AE，因为AP=PE2+AE2=25，所以PE=2AE=4，则DE=1，故O1E=2，设三棱锥P-ABC外接球球心是O，连接OO1，OB，OP，过O作OH⊥PE于H，则OO1⊥平面ABC，于是OO1⎳PE，从而O1OHE是矩形，所以外接球半径R满足R2=OO21+O1B2=OH2+(PE-HE)2=O1E2+(PE-OO1)2，解得R=13．所以外接球的表面积为4πR2=52π．专题六 斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R=h2+r22h(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】例6.[例] (1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π(3)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=26,AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为________．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π4(5)如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF=22，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．(6)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3B.823πC.43πD.323π【对点训练】1．已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．2．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4πD.4π33．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =6，AC =AB =2，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.9π4．已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2B.2C.32D.345．已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3B.625π81C.500π81D.256π96．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB 的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是________．7．已知圆台O 1O 2上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为22，圆台的外接球的球心为O ，且球心在圆台的轴O 1O 2上，满足|O 1O |=3|OO 2|，则圆台O 1O 2的外接球的表面积为________．8．在六棱锥P -ABCDEF 中，底面是边长为2的正六边形，PA =2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．9．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =2，BC =10，∠APC =π2，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．10．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =92，AB =8，AC =6．顶点P 在平面ABC 内的射影为H ，若AH =λAB +μAC 且μ+2λ=1，则三棱锥P -ABC 的外接球的体积为________．专题七 鳄鱼模型【方法总结】鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2= m2+n2-2mn cosα+l24(其中l=|AB|)解决．sin2α【例题选讲】例7.[例] (1)在三棱锥A-BCD中，ΔABD和ΔCBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________．(2)在等腰直角ΔABC中，AB=2，∠BAC=90°，AD为斜边BC的高，将ΔABC沿AD折叠，使二面角B-AD-C为60°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________．(3)在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________．(3)在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.4πB.6πC.8πD.9π(4)已知三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=22，BC=3，PA=PB=32，且二面角P-AB-C的大小为150°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.100πB.108πC.110πD.111π(5)在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为-63，当三棱锥P-ABC的体积最大值为13时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________．(6)在体积为233的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，ΔPAB为等边三角形，二面角P-AB-C为锐角，则四棱锥P-ABCD外接球的半径为( )A.213B.2C.3D.32【对点训练】1．在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，二面角S-BC-A的大小为60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )A.14π3B.16π3C.40π9D.52π92．已知三棱锥A-BCD，BC=6，且ΔABC、ΔBCD均为等边三角形，二面角A-BC-D的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是________．3．已知边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=120°，沿对角线AC折成二面角B-AC-D的大小为θ的四面体且cosθ=13，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．4．在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面ABC 的投影G 是ΔABC 的外心，PB =BC =2，且面PBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．5．直角三角形ABC ，∠ABC =π2，AC +BC =2，将ΔABC 绕AB 边旋转至ΔABC 位置，若二面角C -AB -C 的大小为2π3，则四面体C -ABC 的外接球的表面积的最小值为( )A.6π B.3π C.32π D.2π6．已知空间四边形ABCD 中，AB =BD =AD =2，BC =1，CD =3，若二面角A -BD -C 的取值范围为π4，2π3 ，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．7．在三棱锥S -ABC 中，底面ΔABC 是边长为3的等边三角形，SA =3，SB =23，二面角S -AB -C 的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．8．在四面体ABCD中，BC=CD=BD=AB=2，∠ABC=90°，二面角A-BC-D的平面角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为( )A.313πB.1243πC.31πD.124π9．在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=7，BD=23，二面角A-BD-C是钝角．若三棱锥A -BCD的体积为2．则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是( )A.12πB.373πC.13πD.534π10．在平面五边形ABCDE中，∠A=60°，AB=AE=63，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC=DE=6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是________．专题八 已知球心或球半径模型【例题选讲】例8.[例] (1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．(2)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，BC= 3，BD=3，∠CBD=90˚，则球O的体积为________．(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．(5)三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为( )A.2+3B.2-3C.3D.2【对点训练】1．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=22，∠ACB=90°，PA为球O 的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为( )A.2B.22C.3D.232．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=23，且四棱锥O-ABCD 的体积为83，则R等于( )A.4B.23C.479D.133．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π34．已知三棱锥A-SBC的体积为233，各顶点均在以PA为直径球面上，AB=AC=2,BC=2，则这个球的表面积为_____________．5．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．6．(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π7．(2020·全国Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )A.3B.32C.1D.328．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A.R2B.2R3C.4R3D.R9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( )A.4πB.πC.2πD.π210．在三棱锥A-BCD中，底面为Rt△，且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为________．专题九 最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】例9.[例] (1)已知三棱锥P-ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．(2)在四面体ABCD中，AB=1，BC=CD=3，AC=2，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为( )A.2πB.3πC.6πD.8π(3)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+163，则球O的体积等于( )A.42π3 B.162π3 C.322π3 D.642π3(4)三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为( )A.43B.83C.163D.323(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_ _______．【对点训练】1．三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A.4B.6C.8D.102．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π3．已知点A，B，C，D均在球O上，AB=BC=6，AC=23．若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．4．在三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，CD=AC=3，当三棱锥A-BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．5．已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为( )A.8πB.9πC.25π3D.121π96．三棱锥A-BCD的一条棱长为a，其余棱长均为2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A.21π4B.20π3C.5π4D.5π37．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为( )A.32B.233C.23D.138．(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.123B.183C.243D.5439．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30˚，则棱锥S-ABC的体积最大为( )A.2B.83C.3D.2310．四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )A.8B.83C.16D.16311．(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC =8，AA1=3，则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π312．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为___．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1-CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1-CDE外接球的体积为82π3，则a=( )A.2B.2C.22D.414．已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA⊥平面ABC，SA=4，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为________．专题十 内切球模型【方法总结】以三棱锥P -ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P -ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ·r +13S △PAB ·r +13S △PAC ·r +13S △PBC ·r =13(S △ABC +S △PAB +S △PAC +S △PBC )·r ；第三步：解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3V S 表．秒杀公式(万能公式)：r =3V S 表【例题选讲】例10.[例] (1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为( )。
高中数学球面解题技巧
高中数学球面解题技巧在高中数学中，球面几何是一个重要的内容，涉及到球面的性质、定理和解题方法。
掌握球面解题技巧，不仅可以解决与球面相关的问题，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将通过具体的题目举例，分析解题思路和考点，帮助学生和家长更好地理解和掌握高中数学球面解题技巧。
一、球面的性质和定理在解题过程中，首先要了解球面的性质和定理。
例如，球面上的任意两点可以确定一条弦，球心到弦的垂直距离等于弦长的一半；球面上的任意两弦可以确定一个球冠，球冠的侧面积等于球面积的一半。
这些性质和定理是解决球面问题的基础，需要熟练掌握和灵活运用。
举例一：已知球面上一点A与球心O的距离为r，点B是球面上一动点，且OB = 2r，求球冠OAB的侧面积。
解题思路：根据球冠的侧面积等于球面积的一半的性质，可以得出球冠OAB的侧面积等于球面积的一半。
而球面积等于4πr²，所以球冠OAB的侧面积等于2πr²。
考点分析：这道题考察了球冠的侧面积的计算方法，以及对球面性质的理解和应用。
二、球面的投影问题在解决球面的投影问题时，需要了解球面上的投影性质和定理。
例如，球面上的任意一条弦的中点到球心的连线垂直于弦；球面上的任意一条直径的两个端点和球心构成的三角形是直角三角形。
这些性质和定理可以帮助我们解决球面的投影问题。
举例二：已知球面上一点A与球心O的距离为r，点B是球面上一动点，且OB = 2r，求点B在球面上的投影点P的坐标。
解题思路：由题意可知，点B在球面上的投影点P的坐标为(OP, BP)。
根据球面上的任意一条弦的中点到球心的连线垂直于弦的性质，可以得出OP垂直于BP。
又因为OB是直径，所以OB与OP构成的三角形是直角三角形。
根据勾股定理，可以求得OP和BP的值。
考点分析：这道题考察了球面上的投影性质和定理的应用，以及对直角三角形的处理方法。
三、球面的切线问题在解决球面的切线问题时，需要了解球面上切线的性质和定理。
人教版高中数学必修二：球的概念和性质
定义2：到一个定点的距离小于或等于定长的点 的集合是一个球体（简称“球”）。
用旋转的观点定义： 半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面 叫做球面。 半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几 何体叫做球体。(球是旋转体 )
A
. .
O
绕直径旋转一周
.
O
B
二、球的画法及组成元素
1、球心：半圆的圆心；如 O；记作：球O。 2、球的半径：连接球心 和球面上任意一点的线段； 3、球的直径：连接球面 B 上两点并且经过球心的 线段； 4、球面
一、情景设置
1、圆的定义
平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹 叫做圆。 圆只是一条曲线，而不是一个“ 圆面”。 圆面：平面内到一个定点的距离小于或等于 定长的点的轨迹叫做圆面。
问题1：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？ 定义1：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 是一个球面。定点——球心，定长——球半径
• 球面被经过球心的平面 截得的圆叫做大圆 • 如灰色圆面、绿色圆面
• 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做 小圆 • 如蓝色圆面、红色圆面
4、球的性质：
1°用一个平面去截球，截面是圆面， 用一个平面去截球面，截线是圆 。
2°球心和不过球心的截面圆心的连线 垂直于截面 3°球心到截面的距离d与球的半径R及 截面圆的半径r，有下面的关系：
球面距离
• 在球面上两点 之间的最短距离 就是经过这两点 的大圆在这两点 间的劣弧的长度 ——这个弧长叫 两点的球面距离。
P O
Q
口
答
1．A、B 为球面上相异两点，则通过A、 B两点可作球的大圆有（ ） A．一个 C．零个 B．无穷多个 D．一个或无穷多个
圆的知识点归纳总结高中
圆的知识点归纳总结高中高中数学中，圆是一个重要的几何图形，也是一个基础的知识点。
下面，我们来归纳总结高中中圆的相关知识点。
1. 圆的定义和性质圆是由平面上距离某个固定点（圆心）相等的所有点组成的图形。
圆的性质包括：（1）圆心到圆上任意一点的距离相等；（2）直径是圆上最长的线段，且直径的两端点在圆上；（3）半径是从圆心到圆上任意一点的线段，且所有半径的长度相等；（4）弧是圆上两点间的一段曲线，弧长是指圆上两点间的弧长所对应的圆心角的大小；（5）圆周角是指圆上的一段弧所对应的圆心角的大小。
2. 圆的方程圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
通过圆的标准方程，我们可以求得圆的各种性质，如圆心坐标、半径长度等。
3. 圆与直线的位置关系（1）切线：如果一条直线与圆相切，那么此直线与圆的切点处的切线是垂直于半径的。
（2）割线和弦：如果一条直线与圆相交，那么此直线与圆的交点处的切线与此直线的夹角等于相应的圆周角，此直线被称为圆的割线。
圆的两个相交点之间的线段被称为圆的弦。
4. 圆的面积和周长圆的周长是指圆周的长度，公式为C=2πr，其中r为圆的半径，π是一个常数，约等于3.14。
圆的面积是指圆所包含的平面面积，公式为S=πr²。
5. 圆锥、圆柱和球体的体积和表面积在三维空间中，圆也有其特殊的应用。
例如，圆锥的体积为V=1/3πr²h，圆柱的体积为V=πr²h，球体的体积为V=4/3πr³，圆锥的表面积为S=πr(r+√(r²+h²))，圆柱的表面积为S=2πrh+2πr²，球体的表面积为S=4πr²。
通过对圆的定义、方程、位置关系、面积和周长以及在三维空间中的应用进行总结，我们可以更好地掌握圆这一重要的几何图形的知识点，从而更好地应对高中数学中的相关考试和学习。
立体几何多面体与球体的性质
立体几何多面体与球体的性质立体几何多面体与球体的性质是高中数学课程中的重要内容。
在本文中，将介绍多面体和球体的基本概念，以及它们的特性和性质。
一、多面体的性质多面体是由多个平面多边形所组成的立体图形。
根据多边形的形状和特点不同，多面体可以分为正多面体和非正多面体。
1. 正多面体正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且相邻面的交线都通过一个点。
常见的正多面体有四面体、八面体和二十面体。
- 四面体：四面体是最简单的正多面体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。
四面体的特点是任意两个面都有共边线，且相邻的三个面的交点在同一直线上。
- 八面体：八面体是由六个四边形面和八个顶点组成的正多面体。
八面体的特点是每个面都是正方形，且每个顶点都与其他四个面相交。
- 二十面体：二十面体是由十二个五边形面和二十个顶点组成的正多面体。
二十面体的特点是每个面都是正五边形，且每个顶点都与其他五个面相交。
2. 非正多面体非正多面体是除正多面体以外的所有多面体。
非正多面体的面可以是任意的多边形，相邻面的交线也可以是任意的曲线。
二、球体的性质球体是由一个平面上的圆绕着直径旋转一周形成的。
球体是一种特殊的立体图形，具有许多独特的性质。
1. 半径与直径球体的半径是从球心到球面上的任意一点的距离，而直径是球面上通过球心的任意两点间的距离。
球体的半径和直径具有以下关系：直径等于半径的二倍。
2. 表面积和体积球体的表面积和体积是球体的两个重要性质。
- 表面积：球体的表面积是指球体表面所包围的所有面积的总和。
球体的表面积公式为：4πr²，其中r是球体的半径。
- 体积：球体的体积是指球体所包围的空间的大小。
球体的体积公式为：(4/3)πr³，其中r是球体的半径。
3. 球面上的点与圆的关系球面上的任意一点与球心之间的距离等于球心附近的一个圆的半径。
这个关系被称为球面上的点与圆的关系。
4. 球切割与球切线球体可以被一个平面切割成两部分或多部分。
第六章6.3球的表面积和体积-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件2
方式,他本希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误,虽
然最终并没有实现,但是这个发现有着重要的意义.二百多年后,中
国伟大数学家袓冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的想法,利用了
“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题.“牟合方盖”的提出,
充分体现了古人丰富的想象能力,以及为解决问题建立模型的智慧.
2
2
4π
-4π
= 48π,
(2)设两个球的半径分别为 R,r(R>r),则由题意得
+ = 6,
( + )(-) = 12,
即
+ = 6,
= 4,
整理,得 - = 2, 解得
故两球的体积之差的绝对值为
= 2.
+ = 6,
4
3
4
4
3
3
π×43- π × 23 =
答案B
微练习2
把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
(
)
A.R
B.2R C.3R D.4R
4
2
解析设圆柱的高为h,则πR h=3×3 πR3,得h=4R.
答案D
课堂篇探究学习
探究一
探究二
当堂检测
球的表面积与体积
例1(1)已知球的表面积是16π,则该球的体积为
.
(2)一个正方体的外接球、此正方体及正方体的内切球的表面积之
4
4
所以球的体积为3πR =3π.
4π
答案 3
3
课堂篇探究学习
探究一
探究二
当堂检测
4.若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的
高一数学：球的概念和性质说课稿
高一数学：球的概念和性质说课稿
摘要：为大家整理了高一数学：球的概念和性质说课稿，希望对大家有帮助。
教材分析
1,教材的地位与作用
球是高中数学第二册(下)第九章的内容,是学生在已经掌握了棱柱,棱锥之后探究的又一种重要的几何体.将球安排在此,和平面几何相对应,体现了欧氏几何三维和二维之间的对应关系,本节课也是解决有关球的实际问题和之后学习球的体积和表面积的知识基础,因此本节课的内容是对知识体系的完善,为后续知识提供了进一步研究的对象和方法.本节课的教学对于进一步发展学生的逻辑推理能力和空间想象能力,以及应用这些知识去分析问题,解决问题的能力
有很重要的作用.
2,教学目标及理论依据
依据教学大纲的要求,以及新教材的知识特点和学生的已有的认识结构现状, 我制定了如下教育教学目标:
知识目标:通过对球的概念和性质研究,使学生理解,掌握球的概念和性质.
能力目标:通过对球的基本性质的探究和应用,帮助学生通过问题解决获得数学知识;在交流过程中,养成表述,抽象,类比,概括,总结的思维习惯.
德育目标:培养学生对待知识的科学态度,勇于探索和敢于创新的精神.
情感目标:在平等的教学氛围中,通过学生之间,师生之间的交流,合作,拉近学生之间,师生之间的情感距离.
3,教学重点,难点及关键
重点:球的概念和性质;。
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球的性质
1．球的性质
【知识点的知识】
1、球的定义：
（1）球的旋转定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体．（2）球的集合定义：空间中，与定点（球心）的距离等于或小于定长（半径）的点的集合叫做球体，简称球．2、球的相关概念：
（1）球心：半圆的圆心叫做球心．
（2）连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．
（3）连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径．
（4）球的体积：V 球=4
3πR3．
（5）球的表面积：4πR2．
3、球的截面及其性质：
（1）截面的定义：用一个平面去截一个球，截面是圆面．
（2）球的截面的性质：
①球心和截面圆心的连线垂直于该截面；
②球心到截面的距离d 与球的半径R，小圆半径r 有下面的关系：d =푅2―푟2．
（3）大圆和小圆：
①球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．
②球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
4、两点间的球面距离：
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度．即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度．
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