BS期权定价公式

Black-Scholes 期权定价模型

一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件

Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：

1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。S 遵循几何布朗运动，即dz dt S

dS σμ+=。 其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。μ和σ都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。

6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。

7．所有无风险套利机会均被消除。

二、Black-Scholes 期权定价模型

（一）B-S 期权定价公式

在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：

rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂2

22221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。

通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=

其中，

t T d t

T t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln()

)(2/()/ln(

c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。

（二）Black-Scholes 期权定价公式的理解

1. 1()SN d 可看作证券或无价值看涨期权的多头；()2()r T t Ke N d --可看作K 份现金或无价值看涨期权的多头。

可以证明，1/()f S N d ∂∂=。为构造一份欧式看涨期权，需持有1()N d 份证券多头，以及卖空数量为2 ()rT K e N d -的现金。

Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。 注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。

2.风险中性定价原理

风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。C(S, t)与 S 、r 、t 、T 、σ以及 K 有关，而与股票的期望收益率μ无关。这说明欧式Call 的价格与投资者的风险偏好无关。

在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）。

为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。

为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和∆单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11∆－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9∆元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的∆值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11∆－0.5=9∆，我们解得：∆=0.25

因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。

在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：元19.225.225.01.0=⨯-e

由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：

元31.019

.225.010==-⨯f f

这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。

Black-Scholes 期权定价公式的计算：一个例子

为了使读者进一步理解Black-Scholes 期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明这一模型的计算过程。

假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。

在本题中，可以将相关参数表达如下：S ＝50，X ＝50，r=0.12,σ=0.1,T=1, 算出1d 和2d ：

121 1.250.1 1.15

d d d ===-=

计算()1N d 和()2N d ：

()()()()12 1.250.8944

1.150.8749N d N N d N ====

将上述结果及已知条件代入公式，这样，欧式看涨期权价格为：

0.121500.8944500.8749 5.92c e -⨯=⨯-⨯=美元

由-(-)()21()() r T t r T t P C Ke S Ke N d SN d --=+-=---可以算出欧式看跌期权价格：()()0.1215010.87495010.89440.27p e -⨯=⨯--⨯-=美元

四、影响欧式看涨期权价格的因素

从B-S 公式我们可以简单得出以下的结论：

(1)当期股价 S 越高，期权价格越高；

(2)到期执行价格 K 越高，期权价格越低；

(3)距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高；

(4)股价波动率σ越大，期权价格越高；

(5)无风险利率 r 越高，期权价格越高。