热传导方程及其定解问题的导出

第一章 热传导方程

本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会

遇到这类方程.

§1 热传导方程及其定解问题的导出

热传导方程的导出

物理模型

在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化.

以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律

物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和.

在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律.

设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3

), q ρ

是

热流密度(焦耳/秒·米2

),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒).

注意到在dt 时段内通过D 的边界D ∂上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ρρ⋅-(n ρ

是

D ∂的外法向),从而由能量守恒律,我们有

,)||(21

21

120⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+⋅-=-∂==t t D

t t D

D

t t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρρ

ρ （） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比

,u k q ∇-=ρ

（梯度⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂∂∂==∇z u y u x u gradu u ,,） （） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数.

,n

u k n u k n q ρρρρ∂∂-=⋅∇-=⋅

从而式可改写为

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∂∂=-∂==21

21120)||(t t D

t t D D t t t t dxdydz f dt dS n u

k dt dxdydz u u c ρρρ 假设(,,,)u x y z t 在柱体(0,)Ω⨯+∞内具有连续微商222222,,,z

u

y u x u t u ∂∂∂∂∂∂∂∂.则应用散度定

理(或高斯公式)立得:

[]2

21

1

0()t t t t D

D

u

dt c dxdydz dt k u f dxdydz t ρ

ρ∂=∇∇+∂⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,

由于被积函数在(0,)Ω⨯+∞内连续,以及],[21t t ,D 的任意性,又由于物体均匀,各向同性, k c ,,ρ都是常数,立得:

,)(0f u k t

u

c ρρ

+∇∇=∂∂ ,)(0c

f u c k

t u +∇∇=∂∂ρ ,,,,,)(222222u z

u

y u x u z u z y u y x u x z u y u x u z y x u ∆∂∂+∂∂+∂∂=⎪

⎭⎫

⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇⋅∇记为

令,,02

c

f f c k

a ==

ρ∆是三维Laplace 算子,则 ,2f u a t

u

+∆=∂∂ （） 称为热传导方程.

当0≥f 时表示热源,当0≤f 时表示热汇.

为了具体确定物体内部的温度分布,我们还需要知道物体的初始温度分布以及通过物体的边界受周围介质的影响. 初始条件

Ω∂⋃Ω=Ω∈=),,(),

,,()0,,,(z y x z y x z y x u ϕ

边界条件有三类: 1.已知边界上的温度分布

),,,,(t z y x g u =∑

这里[0,)∑=∂Ω⨯∞.

特别当≡g 常数时,称物体的边界保持恒温. 2.已知通过边界Ω∂的热量

),,,,(t z y x g n

u k

=∂∂∑

(n 为Ω∂上的单位外法向量),0≥g 表示流入,0≤g 表示流出,特别当0≡g 表示物体绝热. 3已知通过边界Ω∂与周围介质有热交换.

(),00∑∑

-=∂∂u g n

u k

α或),,,,(t z y x g u n u =⎪⎭

⎫

⎝⎛+∂∂∑α

这里0g 表示周围介质温度,00

>=k

αα表示热交换系数.

定解问题

为了具体确定物体的温度场,我们需要求解热传导方程的某一特定的定解问题. 设Ω是空间3R 中的有界开区域.

第一初边值问题

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=Ω

∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g u z y x z y x z y x u t z y x f u a t u ϕ 第二初边值问题

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=∂∂Ω

∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2

t z y x g n

u z y x z y x z y x u t z y x f u a t u ϕ 第三初边值问题

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑)

,,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2

t z y x g u n

u

z y x z y x z y x u t z y x f u a t u αϕ 初值问题(或称Cauchy 问题)