整数规划问题的求解

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以上的求解过程可以 用一个树形图表示如 右：
＃
x2≤3
x2≥4
LP22 无可 行解 x1≥3 LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) ＝－15.5 ＃ ＃
x1≤2
LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) ＝－17.4
LP211 x1=2, x2=3 Z(211) ＝－17 ＃
整数规划问题的求解
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法
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匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
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1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0
LP
分支定界法
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8) 即Z 也是IP最小值的下限。 对于x1＝18/11≈1.64，
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 21 : x1 4，x 2 6 x1 , x 2 0
C o 3 4
x1
分支定界法
x2
A
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由 于Z 21 Z 1， 选 择 LP 21进 行 分 枝 ， 增 加 约 束 x1 4及x1 5， 得 线 性 规 划 LP 211 及LP 212 ：
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⑵ A
⑴ (18/11,40/11) C D E F
3
B
⑶
1
如对LP212继续分解，其最小值 也不会低于－15.5 ，问题探明, 剪枝。
1
3
x1
分支定界法
原整数规划问题的最 优解为:
x1=2, x2 =3, Z* =－17
x1≤1 LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝－16 LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) ＝－19.8 x1≥2 LP2 x1=2, x2=10/3 Z(2) ＝－18.5
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x1 x 2 2 x 1 x 2 2 5 x 6 x 30 2 5 x1 6 x 2 30 1 4 4 x1 x1 ( IP 21) ( IP 22) 2 2 x1 x1 x2 x2 4 3 x1 , x 2 0且 为 整 数 x1 , x 2 0且为整数
分别求出（LP211）和（LP212）的最优解
分支定界法
先求（LP211）,如图所示。此时 x2 在E点取得最优解。即 x1＝2, x2 =3, Z(211)＝－17 找到整数解，问题已探明，此枝 停止计算。 求（LP212），如图所示。此时 F在点取得最优解。即x1＝3, x2 =2.5, Z(212)＝－31/2≈－15.5 > Z(211)
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LP22 无可行解
小结
学习要点：
• 掌握一般整数规划问题概念及模型结构
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• 掌握分支定界法原理
• 能够用分支定界法求解一般整数规划问题
课后练习：
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⑵
x2
3 2 1
⑴ (18/11,40/11) ⑶
取值x1 ≤1， x1 ≥2
对于x2 =40/11 ≈3.64，取值x2 ≤3 ，x2 ≥4 先将（LP）划分为（LP1） 和（LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2
1
2
3
x1
分支定界法
分支：
min Z x1 5 x 2 min Z x1 5 x 2
用图解法得到最优解X＝(3.57,7.14),Z0=35.7,如下图所示。
分支定界法
x2 10 A
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1.2 x1 0.8 x 2 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
2 x1 2.5 x 2 25
C o 10 x1
分支定界法
x2
A
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增加 约束 x1 3及x1 4得到 两个 线性 规划
max Z 4 x1 3 x 2
10
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
B
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 1 : x1 3 x1 , x 2 0
10
A
x2 7不可行
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 22 : x1 4，x 2 7 x1 , x 2 0
B 6 LP1
LP21
LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33
⑶
求LP22，图所示。无可行解， 故不再分枝。
1 1
3
x1
分支定界法
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在（LP21）的基础上继续分枝。加入条件3≤x1≤2有下式： min Z x1 5 x 2 min Z x1 5 x 2
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 5 x1 6 x 2 30 x1 x1 4 4 ( IP 212) x1 2 ( IP 211) x1 2 x x 3 3 2 2 x1 3 x1 2 x1 , x 2 0且为整数 x1 , x 2 0且为整数
分别求出LP21和LP22的最优解
分支定界法
先求LP21,如图所示。此时D 在点取得最优解。 即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3, Z(21)＝-87/5≈-17.4 < Z(1)=-16 但x1＝12/5不是整数，可继续 分枝。即 3≤x1≤2。
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⑵ x2 3 B A
⑴ (18/11,40/11) C D
分支定界法
例4.4 用分枝定界法求解整数规划问题
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 IP 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0且 全 为 整 数
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解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划 问题的松驰问题)
x1＝2, x2 =10/3,
Z(2)＝－56/3≈－18.7 ∵Z(2)< Z(1)＝－16 ∴原问题有比－16更小的最优 解，但 x2 不是整数，故继续 分支。
1
1
3
x1
分支定界法
在IP2中分别再加入条件： x2≤3, x2≥4 得下式两支：
min Z x1 5 x 2 min Z x1 5 x 2
max Z 4 x1 3 x 2
10
LP211:X=(4,6), Z211=34
6
LP1
1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 211: x1 4，x 2 6，x1 4 x1 , x 2 0 LP212:X=(5,5) 即x1 4, 可 行 域 是 一 条 线 段 ,Z212=35
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 212 : x1 5，x 2 6 x1 , x 2 0
LP212
C
o
3
4 5
x1
分支定界法
上述分枝过程可用下图表示： LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7 x1≤3 LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8 x2≤6 LP21:X=(4.33,6) Z21=35.33 x1≤4 LP211:X=(4,6) Z211=34 x1≥5 LP212:X=(5,5) Z212=35 x1≥4 LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5 x2≥7
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 2 : x1 4 x1 , x 2 0
LP1 LP2 o C 3 4
①
②
分支定界法
x2
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选 择 目 标 值 最 大 的 分 LP 枝 2进 行 分 枝 ， 增 加 约 束 x 2 6及x 2 7， 显 然 x 2 7不 可 行 ， 得 到 线 性 规 划
分别求出（LP1）和（LP2）的最优解。
分支定界法
先求LP1,如图所示。此时在B 点取得最优解。 x1＝1, x2 =3, Z(1)＝－16 找到整数解，问题已探明，此 枝停止计算。 同理求LP2,如图所示。在C 点 取得最优解。即:
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⑵
x2
3 B
⑴ (18/11,40/11) A C ⑶
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x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 5 x1 6 x 2 30 ( IP 2) x1 4 ( IP 1) x1 4 x x 2 1 1 1 x1 , x 2 0且 为 整 数 x1 , x 2 0且 为 整 数
分支定界法
例4.5 用分枝定界法求解
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 x , x 0, 且 均 取 整 数 1 2
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解: 先求对应的松弛问题（记为LP0）
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 st 2 x1 2.5 x 2 25 x1 , x 2 0 ( LP 0 )