3微分方程拉氏变换PPT课件
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例1 R-L-C 串连电路
d(it) ur(t)LdtR(ti)uc(t)
i(t) C duc(t) dt
Ld C 2 d uc2 (tt)Rd C d cu (tt)uc(t)
d2 d u c 2 (tt)R L dd c(u t)tL 1u C c(t)L 1u C r(t)
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例2 弹簧—阻尼器系统
A : B :
Fi K1(xi xm) Fm f (xm xo)
Fo K2x0
K 1 ( x i x m ) f( x m x o ) K 2 x o
K1 x m K1 x i K 2 x o
x m
x i
K2 K1
x o
K2 f
xo
x o
K1 K2 K1
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
§2.2 Laplace 变换基础
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数 sj
复函数 F(s)F x(s)F y(s)
例1 F (s) s 2 2 j
（2）模、相角
模 Fs Fx2Fy2 相角 FsarctaFny
Fx （3）复数的共轭 F(s)Fx jFy （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
§2.1 微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
andd nc(ntt)an1dd n1n ct(1t).. .a1dd(ct)ta0c(t) bmdd mrm (tt)bm1dd m1 m tr(1t).. .b1dd(rt)tb0r(t)
§2.1 微分方程
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
L[f(t)] eatesd t t esatdt
0
0
s 1 ae ( sa) 0ts 1 a(0 1 )s 1a
§2.2 Laplace 变换基础
0
t 0
（3）正弦函数 f(t)sinωt t0
Lf( t )sin te sd t t1ej t ej t e sd t t
反馈口： u u r u p
放大器： u K 1 u
电动机：
T
m
m
m
K
mu
减速器： 2 K 2 m
绳 轮： L K 3 2
电 桥： u p K 4 L
消去中间变量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得：
L T 1 m L K 1 K 2 K T m 3 K 4 K m L K 1 K 2 K T m 3 K 4 K m u r
§2.2 Laplace 变换基础
2 拉氏变换的定义
L [f(t) ]F (s)f(t)etd s t 0
F (s)
f
(t)
3 常见函数的拉氏变换
像函数 原函数
1 t 0 （1）阶跃函数 f (t) 0 t 0
L 1 t 01 e sd t t s1e st0 s10 1 1 s
（2）指数函数 f (t) eat
0
02j
1
e-(s-)jte(sj)tdt
0 2j
2 1 j s 1 j e( sj)t 0s 1 j e( sj)t 0
2 1 j s 1 js 1 j 2 1 js2 2 j 2s2 2
m m
消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：
T m m m K m u r T m m m K m u r
TmJmR/(R fmcecm)电机时间常数 Kmcm/(R fmcecm) 电机传递系数
例4 X-Y 记录仪
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例4 X-Y 记录仪
§2 控制系统的数学模型
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表 达式。 时域模型：微分方程 复域模型：传递函数
§2 控制系统的数学模型
建模方法：
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
取一次近似，且令
y(x)y(x)y(x0) E 0six n 0(xx0)
既有 yE 0six n 0 x
§2. 1. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例2）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程
dh 1
dt S
hSQr
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
解. 在 h 0 处泰勒展开，取一次近似
dh
1
hh 0dt|h 0 hh 02h0 h
代入原方程可得
d (h 0 d h t)S (h 0 21 h 0 h )S 1(Q r0 Q r)
在平衡点处系统满足
dh0
dt S
h0
Qr0 S
上两式相减可得线性化方程
x o
K2 f
xo
x i
x of(K K1 1K 2K2)xoK1K 1K2x i
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb — 克希霍夫
电枢反电势：Eb cem — 楞次定律
电磁力矩： 力矩平衡：
Mm cmi
— 安培定律
Jmm fmm Mm — 牛顿定律
dh
1
dt 2S
h0
hSQr
建立微分方程的步骤
1. (1) 确定输入量和输出量； 2. (2) 将系统分解为各环节，依次确定各环节的输
入量与输出量，根据各环节的物理规律写出相 应的微分方程； 3. (3) 消去中间变量，就可以求得系统的微分方程； 4. (4) 如果得到系统微分方程是非线性的，则在工 作点附近利用泰勒级数一次近似式将其线性化；
§2. 1. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y(x)E0cox(st)[]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y (x ) y (x 0 ) y (x 0 )x ( x 0 ) 2 1 !y (x 0 )x ( x 0 )2
自动控制原理
郑州大学西亚斯国际学院 樊永良
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型（第 3 讲）
§2.1 控制系统的时域数学模型 §2.2 Laplace 变换基础 §2.3 传递函数 §2.4 典型环节及传递函数 §2.5 动态结构图 §2.6 动态结构图的等效变换 §2.7 信号流图和梅逊公式 §2.8 自动控制系统的传递函数
d(it) ur(t)LdtR(ti)uc(t)
i(t) C duc(t) dt
Ld C 2 d uc2 (tt)Rd C d cu (tt)uc(t)
d2 d u c 2 (tt)R L dd c(u t)tL 1u C c(t)L 1u C r(t)
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例2 弹簧—阻尼器系统
A : B :
Fi K1(xi xm) Fm f (xm xo)
Fo K2x0
K 1 ( x i x m ) f( x m x o ) K 2 x o
K1 x m K1 x i K 2 x o
x m
x i
K2 K1
x o
K2 f
xo
x o
K1 K2 K1
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
§2.2 Laplace 变换基础
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数 sj
复函数 F(s)F x(s)F y(s)
例1 F (s) s 2 2 j
（2）模、相角
模 Fs Fx2Fy2 相角 FsarctaFny
Fx （3）复数的共轭 F(s)Fx jFy （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
§2.1 微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
andd nc(ntt)an1dd n1n ct(1t).. .a1dd(ct)ta0c(t) bmdd mrm (tt)bm1dd m1 m tr(1t).. .b1dd(rt)tb0r(t)
§2.1 微分方程
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
L[f(t)] eatesd t t esatdt
0
0
s 1 ae ( sa) 0ts 1 a(0 1 )s 1a
§2.2 Laplace 变换基础
0
t 0
（3）正弦函数 f(t)sinωt t0
Lf( t )sin te sd t t1ej t ej t e sd t t
反馈口： u u r u p
放大器： u K 1 u
电动机：
T
m
m
m
K
mu
减速器： 2 K 2 m
绳 轮： L K 3 2
电 桥： u p K 4 L
消去中间变量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得：
L T 1 m L K 1 K 2 K T m 3 K 4 K m L K 1 K 2 K T m 3 K 4 K m u r
§2.2 Laplace 变换基础
2 拉氏变换的定义
L [f(t) ]F (s)f(t)etd s t 0
F (s)
f
(t)
3 常见函数的拉氏变换
像函数 原函数
1 t 0 （1）阶跃函数 f (t) 0 t 0
L 1 t 01 e sd t t s1e st0 s10 1 1 s
（2）指数函数 f (t) eat
0
02j
1
e-(s-)jte(sj)tdt
0 2j
2 1 j s 1 j e( sj)t 0s 1 j e( sj)t 0
2 1 j s 1 js 1 j 2 1 js2 2 j 2s2 2
m m
消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：
T m m m K m u r T m m m K m u r
TmJmR/(R fmcecm)电机时间常数 Kmcm/(R fmcecm) 电机传递系数
例4 X-Y 记录仪
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例4 X-Y 记录仪
§2 控制系统的数学模型
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表 达式。 时域模型：微分方程 复域模型：传递函数
§2 控制系统的数学模型
建模方法：
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
取一次近似，且令
y(x)y(x)y(x0) E 0six n 0(xx0)
既有 yE 0six n 0 x
§2. 1. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例2）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程
dh 1
dt S
hSQr
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
解. 在 h 0 处泰勒展开，取一次近似
dh
1
hh 0dt|h 0 hh 02h0 h
代入原方程可得
d (h 0 d h t)S (h 0 21 h 0 h )S 1(Q r0 Q r)
在平衡点处系统满足
dh0
dt S
h0
Qr0 S
上两式相减可得线性化方程
x o
K2 f
xo
x i
x of(K K1 1K 2K2)xoK1K 1K2x i
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb — 克希霍夫
电枢反电势：Eb cem — 楞次定律
电磁力矩： 力矩平衡：
Mm cmi
— 安培定律
Jmm fmm Mm — 牛顿定律
dh
1
dt 2S
h0
hSQr
建立微分方程的步骤
1. (1) 确定输入量和输出量； 2. (2) 将系统分解为各环节，依次确定各环节的输
入量与输出量，根据各环节的物理规律写出相 应的微分方程； 3. (3) 消去中间变量，就可以求得系统的微分方程； 4. (4) 如果得到系统微分方程是非线性的，则在工 作点附近利用泰勒级数一次近似式将其线性化；
§2. 1. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y(x)E0cox(st)[]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y (x ) y (x 0 ) y (x 0 )x ( x 0 ) 2 1 !y (x 0 )x ( x 0 )2
自动控制原理
郑州大学西亚斯国际学院 樊永良
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型（第 3 讲）
§2.1 控制系统的时域数学模型 §2.2 Laplace 变换基础 §2.3 传递函数 §2.4 典型环节及传递函数 §2.5 动态结构图 §2.6 动态结构图的等效变换 §2.7 信号流图和梅逊公式 §2.8 自动控制系统的传递函数