第十章-曲线曲面积分(习题及解答)

<
第十章 曲线曲面积分
§10．1对弧长的曲线积分
一、选择题
1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).
(A)
(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =-⎰⎰； (B)
(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =⎰
⎰
；
(C)(,)d (,)d 0AB
BA
f x y s f x y s +=⎰⎰
；
(D)(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =--⎰
⎰
． 答(B).
2. 设有物质曲线23
:,,(01),23
t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=它
的质量M =( ).
(A)10t ⎰; (B)10
t t ⎰
;
(C)
t ⎰
; (D)
t ⎰
. 答(A).
…
3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OM
I s
=⎰不相等的积分是( ).
(A)10
x ⎰; (B)
10
y ⎰;
(C)
d r r ⎰
; (D)10
e r ⎰
答(D).
4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d L
x y s -=⎰( ).
(A)
4
03d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭⎰;
(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝
⎰. 答
(D).
5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分
s =⎰
( ).
(A)
x ⎰
; (B)
y ⎰
;
}
(C)
10
x ⎰
; (D)
y ⎰
. 答(C).
6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分
()d L
x y s +=⎰
( ).
(A)
; (B)2; (C)(D)答
(D).
二、填空题
1. 设L 是圆周2
2
1x y +=,则31d L
I x s =
⎰
与52d L
I x s =
⎰
的大小关系是
.
答:12.I I =
2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d L
x y s +=
⎰.
&
.
3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n L
x y s +=
⎰. 答：212a a π+.
4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d L
x y s -=⎰
.
答：0.
5. 设L 是圆周2
2
1x y +=,则2d L
I x s =
=
⎰
.
答：π.
6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d L
x y s -=
⎰.
答2)e --.
7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段, ？
则L
s =
⎰.
答：3. 三、解答题
1.计算下列对弧长的曲线积分：
(1) d L
x s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.
答： 11)12
.
(2) 22
d x y L
e
s +⎰其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限
内所围成的扇形的整个边界.
答： 2 2.4a a e π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭
》
(3) 2d x yz s Γ
⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、
(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).
答：9.
(4) 2d L
y s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.
答： 34232.53
a ⋅⋅
(5) 22()d L x y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )
(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩
(02)t π≤≤.
答： 2322(12).a ππ+
§10．2对坐标的曲线积分
一、选择题
，
1. 设
AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则
sin d sin d AB
y x x y +=⎰
( ).
(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C). 2. 设C 表示椭圆22
221x y a b
+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=⎰
( ).
(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则
(3)d (2)d C
x y x y x y +++=⎰
( ).
(A)21
[(2)(23)]d x x x x x +++⎰
； (B)
21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰ (C)
2
1
[(73)2(51)]d x x x -+-⎰
; (D)
21
[(73)(51)]d x x x -+-⎰
. 答(C).
》
4. 设曲线C 的方程为x y =(0)2
t π
≤≤,
则22d d C
x y y y x x -=⎰( )
(A)20
[cos sin t π⎰
； (B)
2220
(cos sin )d t t t π
-⎰
(C)
22
0cos sin π
π
-⎰
⎰(D)201d 2t π
⎰.答(D).
5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).
(A)22()(d d )0L
f x y x x y y ++=⎰
；(B)22()(d d )0L
f x y x y y x ++=⎰ (C)
22()(d d )0L f x y x y y ++=⎰
; (D)
22()(d d )0L
f x y x x y ++=⎰
.答(A).
6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则
d d C
x y y x -=⎰
( )
】
(A)0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C).
二、填空题
1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d L
P x y x =
⎰.
答：0.
2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则
22()d L
x y x -=
⎰
.
答：5615
-
. 3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则
22()d L
x y y -=
⎰
.
答：403
-
. *
4．L 为圆弧y 上从原点到(2,2)A 的一段弧,则
d L
xy y =⎰
.
答：
43
. 5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d L
xy y =⎰
.
答：3
2
a π-
.
6．设(2)d (23)d 9L
x y x x y y -++=-⎰,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于
.
答：
32
. 三、解答题
1．计算()d ()d L
x y x y x y ++-⎰,其中L 为:
,
(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧; (2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;
(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1)
;(2)11;(3)14;(4)
.3
3
2．计算d d L
y x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到
2
π
的
一段弧.
答：0. 3．计算22()d ()d L
x y x x y y x y
+--+⎰,其中L 为圆周222
x y a +=(方向按逆时针).
—
答：2π-.
4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ
+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直
线段.
答：13.
5. 计算22(2)d (2)d L
x xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点
(1,1)的一段弧.
答：1415
-
. §10．3 格林公式
一、选择题
1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d C
x y x xy y -+⎰
用
格林公式计算可化为( ).
|
(A)230
0d d R
r r πθ⎰
⎰； (B)
220
d d R
r r πθ⎰
⎰;
(C)
230
d 4sin cos d R r r πθθθ-⎰
⎰; (D)220
d d R
R r r πθ⎰
⎰. 答(A).
2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向, 则
3223()d ()d L
x x y x xy y y -+-⎰
= ( ).
(A)
323a π; (B)4a π-; (C); (D)42
a π
-. 答(D). 3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则
d d C
x y y x -=⎰
( )
(A)8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B). 4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则
d d L
P x Q y +⎰
在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).
<
(A)0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q P
x y
∂∂-=∂∂; (C)
0P Q x y ∂∂-=∂∂; (D)0P Q x y
∂∂+=∂∂. 答(B). 5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则
22d d 4L x y y x
x y -=+⎰( ).
(A)4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).
6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4L x y y x
I x y -=
=+⎰( ).
(A)因为
Q P x y ∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,
Q P
x y
∂∂∂∂不连续,所以I 不存在;
(C)2π; (D)因为
Q P
x y ∂∂≠
∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C).
【
7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条
件是( ).
(A)
P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x
∂∂=∂∂; (C)
P Q x y ∂∂=-∂∂; (D)P Q y x
∂∂=-∂∂. 答(D). 8. 已知
2
()d d ()x ay x y y
x y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).
(A)0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B). 9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段,
则(3)d (3)d L
x y x y x y +++=⎰( ).
(A)
23
1
1(3)d (6)d x x y y +++⎰⎰; (B)
21
[(6)(23)]d x x x x x +++⎰
;
，
(C)
23
1
1
1
(31)d (3)d 2
y x x y y ++++⋅
⎰
⎰; (D)21
[(31)(51)]d x x x -++⎰
.
答(A).
10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分
(,)43(0,0)
()tan d ()d I yf x x x f x y ππ
=-⎰
与路径无关,则()f x =( ).
(A)1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).
二、填空题
1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则
d d L
x y y x -=
⎰
.
：
答: 2σ.
2. 设(,)f x y 在2
2:14
x D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正
向,则(,)d [3(,)]d y x L
f x y y y f x y x -+=
⎰.
答: 6π.
3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针, 则
2(2)d (4)d L
xy y x x x y -+-=
⎰
.
答: 27π-.
4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数,
则
d d L ax y by x x y -+⎰=
.
【
答: 4()a b +.
5. 设ABCDA 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d L
x y
x y
++⎰=
.
答: 0.
6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则
2
d y L
e y =
⎰
.
答: 0. 7. (2,2)2(0,0)
2d (3)d xy x x y +-=
⎰
.
答: 2.
8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段,
）
则2
2
d 2d y y L
e x xye y +=
⎰.
答: 42e .
9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d L
P x y x Q x y y +⎰化为对弧长
的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.
答: 2
2d 14L P xQ
s x ++⎰
.
10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分
[()]sin d ()cos d x L
f x e y x f x y y --⎰
与路径无关,则()f x =
.
答: 2
x x
e e --.
三、解答题
~
1. 计算22d d 2()L y x x y x y -+⎰，其中L 为圆周22
(1)2x y -+=的正向.
答:π-. 2. 计算
(24)d (536)d L
x y x y x y -+++-⎰
，其中L 是顶点分别为(0,0)、
(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.
答:12. 3. 计算
3222(2cos )d (12sin 3)d L
xy y x x y x x y y -+-+⎰
,其中L 为抛物线
22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
的一段弧.
答:
2
4
π.
4. 计算
22()d (sin )d L
x y x x y y --+⎰
，其中L 是圆周y =上由
(0,0)到(1,1)的一段弧.
答:7sin 2
64
-+
. ）
5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)
()d ()d x y x x y y ++-⎰.
答:
52
. (2) (2,1)423(1,0)
(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰
.
答: 5.
6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .
(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.
#
(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-.
答: (1) 22
222
x y xy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +.
7. 用格林公式计算223()d (2)d L
x x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周
y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.
答:324
π-.
8. 用格林公式计算423(23)d (4)d L
xy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周
y (1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.
答:
62
π
-.
·
§10．4 对面积的曲面积分
一、选择题
1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰与
二重积分(,)d d xy
D f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).
(A)(,,0)d f x y S ∑
⎰⎰=(,)d d xy
D f x y x y ⎰⎰;(B)(,,0)d f x y S ∑
⎰⎰=(,)d d xy
D f x y x y -⎰⎰;
(C)
(,,0)d f x y S ∑
<⎰⎰(,)d d xy
D f x y x y ⎰⎰;(D)(,,0)d f x y S ∑
>⎰⎰(,)d d xy
D f x y x y ⎰⎰.
答(A).
2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).
…
(A)
(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰=22224
(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰
;
(B)
(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰=22224
(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰
;
(C)
(,,)d f x y z S ∑
=
⎰⎰
22224
(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰
;
(D)
(,,)d f x y z S ∑
=⎰⎰22224
(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰
. 答(D).
3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).
(A)1
d 4d x S x S ∑
∑=⎰⎰⎰⎰; (B)1
d 4d y S x S ∑
∑=⎰⎰⎰⎰;
(C)
1
d 4d z S z S ∑
∑=⎰⎰⎰⎰; (D)1
d 4d xyz S xyz S ∑
∑=⎰⎰⎰⎰. 答(C).
4. 设∑
是锥面1)z z =≤≤,则22()d x y S ∑
+=⎰⎰( ).
~
(A)
22()d x y S ∑
+=⎰⎰21
20
d d r r r πθ⋅⎰
⎰;
(B)22()d x y S ∑
+=⎰⎰1
20
0d d r r r πθ⋅⎰
⎰;
(C)2
2
()d x
y S ∑+=
⎰⎰21
200d d r r π
θ⎰;
(D)
22
()d x y S ∑
+=
⎰⎰
21
200d d r r r π
θ⋅⎰;. 答(D). 5. 设∑为平面
1234
x y z
++=在第一卦限内的部分, 则42d 3z x y S ∑⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭⎰⎰( ).
(A)4d d xy
D x y ⎰⎰;
(B)4d d xy
D x y ⎰⎰;
(C)23004d d x y ⎰;
(D)3
2004d d x y ⎰;. 答(B). [
6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则
d z S ∑
=⎰⎰( ).
(A)22220
d (2)d r r r r πθ--⋅⎰
⎰
;
(B)
22
20
d (2d r r r πθ-⎰
⎰;
(C)220
d )d r r r π
θ-⋅⎰
;
(D)
220
d d r r r πθ-⎰
⎰
. 答
(D).
7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).
(A)22
()d 0x y z S ∑
+=⎰⎰; (B)22()d 0y y z S ∑+=⎰⎰
;
(C)
22()d 0z x y S ∑
+=⎰⎰; (D)2
()d 0x y z S ∑
+=⎰⎰
. 答(C).
二、填空题
1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑
++=
⎰⎰.
…
答: 44a π.
2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则2
22d x
y z S ∑
=
⎰⎰.
答: 0.
3. 设∑
为上半球面z ,则d z S ∑
=
⎰⎰.
答: 3a π.
4. 设∑
为下半球面z =,则d z S ∑
=
⎰⎰.
答: 3a π.
5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑
=
⎰⎰.
^
答: 23a π.
6. 设∑
为上半球面z ,则d x S ∑
=
⎰⎰.
答: 0.
7. 设∑为平面
1232
x y z
++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑
⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰.
答
:
8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑
=
⎰⎰.
答
. 9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, #
则(522)d x y z S ∑
---=
⎰⎰.
答: 272
-
. 三、解答题
1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy
面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:
(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1) 13
6
π; (2) 14930π; (3) 11110π. 2. 计算
22()d x y S ∑
+⎰⎰,其中∑
是锥面z 1z =所围成的区域的整个边界曲面.
答
:
12
. ；
3. 计算22()d x y S ∑
+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所
截得的部分.
答: 9π.
4. 计算42d 3z x y S ∑⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的
部分.
答
:
5. 计算()d x y z S ∑
++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)
z h h a ≥<<的部分.
答: 22()a a h π-.
§10．5 对坐标的曲面积分
一、选择题
`
1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确
的是( ).
(A) 2d d z x y ∑
=⎰⎰2
22()d d xy
D a
x y x y --⎰⎰;
(B)2d d z x y ∑
=⎰⎰2222
()d d xy
D a x y x y --⎰⎰; (C)
2
d d z x y ∑
=⎰⎰0; (D) (A)(B)(C)都不对. 答(C). 2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则
d d d d d d z x y x y z y x z ∑
++=⎰⎰( ).
(A) 3d d z x y ∑
⎰⎰; (B)3d d x y z ∑
⎰⎰;
(C)3d d y x z ∑
⎰⎰0; (D) d d d d x y z y x z ∑
+⎰⎰. 答(D).
3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑
++=⎰⎰( ).
·
(A)
30
3d y x ⎰⎰
;
(B)30
02d z y ⎰⎰
;
(C)
30
d z x ⎰
⎰
; (D)
3
d z x ⎰⎰
. 答(B).
4. 设2222:x y z a ∑++=
,1:z ∑=∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).
(A) 1
2222()d d d d x y z x y a x y ∑
∑++=⎰⎰⎰⎰; (B)1
2
222()d d 2d d x
y z x y a x y ∑
∑++=⎰⎰⎰⎰;
(C)
2
2
2
2
222
()d d 2d d x y a
x
y z x y a x y ∑
+≤++=⎰⎰⎰⎰
; (D) 0. 答(D).
5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑
=⎰⎰( ).
(A) 110
d (1)d x x x y y ----⎰⎰
; (B) 110
d (1)d x x x y y ---⎰⎰
;
\
(C) 110
d (1)d x y x y x ---⎰⎰
; (D) 110
d (1)d x y x y x ----⎰⎰
. 答(A).
6. 曲面积分2d d z x y ∑
⎰⎰在数值上等于( ).
(A)向量2z i 穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;
(C)向量2z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).
二、填空题
1. 设∑是xoy 平面上的闭区域01
01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
的上侧,
则()d d x y z y z ∑
++=
⎰⎰.
答: 0.
》
2. 设∑是xoy 平面上的闭区域01
01
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,
则()d d x y z x y ∑
++=
⎰⎰.
答: 1. 3.
设
∑为球面
2222
x y z a ++=取外侧, 则
2
22()d d x
y z x y ∑
++=⎰⎰..
答: 0.
4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑
=⎰⎰.
.
答: 343
a π.
5. 设∑为球面2222()()()x a y b z c R -+-+-=取外侧, 则曲面积分
d d z x y ∑
=⎰⎰.
.
-
答: 343
R π.
6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑
++=
⎰⎰.
答: 0. 三、解答题
1. 计算22d d x y z x y ∑
⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.
答:
77426422453753105
R R π
π⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑
++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及
3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.
答: 32
π.
】
3. 计算
d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑
++⎰⎰,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,
及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
答: 18
.
4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y
∑
++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:
(1) ∑
是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.
答
: (1) 32d 55P Q S ∑⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰
; (2) S ∑. §10．6 高斯公式
一、选择题
(
1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω
的体积V =( ).
(A)
1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++⎰⎰; (B)1
d d d d d d 3x y z y z x z x y ∑++⎰⎰; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++⎰⎰; (D) 1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑
++⎰⎰.答(B).
2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则
222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=⎰⎰( ).
(A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).
3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
(A) d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫
∂∂∂++=
⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑
++⎰⎰;
(B)
d d d d d d P y z Q z x R x y ∑
++=
⎰⎰d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫
∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰; 》
(C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=
⎰⎰d d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰; (D)
d d d d d d P y z Q z x R x y ∑
++=⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S
αβγ∑
++⎰⎰.答
(C).
4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).
(A) 2
d d (2)d d x y z z y x y ∑
++=⎰⎰(22)d d d x x y z Ω
+⎰⎰⎰;
(B)
3()d d 2d d d d x yz y z xy z x z x y ∑
--+=⎰⎰2
(321)d d d x x x y z Ω
-+⎰⎰⎰; (C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑
++=⎰⎰(21)d d d x x y z Ω
+⎰⎰⎰;
(D)
2
d d (2)d d x x y z y y z ∑
++=⎰⎰(22)d d d x x y z Ω
+⎰⎰⎰. 答(B).
二、填空题
，
1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑
=
⎰⎰.
答: 343
a π. 2.
设
∑是
球面
2222
x y z a ++=外侧, 则
3
3
3
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=
⎰⎰.
答: 525
a π.
3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=
⎰⎰.
答: 3abc .
4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则
222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=
⎰⎰.
答: ()a b c abc ++.
、
5. 向量A yzi zxj xyk =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向
外侧的通量Φ=
.
答: 0.
6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++穿过球面
222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=
.
答: 108π. 三、解答题
1. 计算
222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及
x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.
【
答: 43a . 2. 计算
333d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰,其中∑为球面2
222x
y z a ++=外侧.
答: 525
a π.
3. 计算
2232d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑
+-++⎰⎰,其中∑为上半球体
222x y a +≤,0z ≤.
答: 525
a π.
4. 计算
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱
体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.
5. 计算
2
4d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑
-+⎰⎰,其中∑是平面0x =,0y =,0
z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧.
(
答:
32
. 6. 计算
22d d (2)d d d d 2
z
x y z z xy z x x y ∑
+-+⎰⎰
,其中∑为曲面22z x y =+与
平面1z =所围成的立体的表面外侧. 答:
4
π. 7. 计算曲面积分
33
33d d (2)d d ()d d x y z y
z x z x x y ∑
+++-⎰⎰,其中∑为曲面
z =z .
答: 32
6(1cos2)5
π⋅
⋅-. 8. 计算曲面积分
222
d d d d (1)d d xy y z z z x z x
x y ∑
++-⎰⎰,其中∑为由曲面
z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.
答: 322161625335
πππ⋅
⋅-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2
()d d d d z x y z z x y ∑
+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面2
21()2
z x y =
+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 答: 8π.
§10．7 斯托克斯公式
一、选择题
1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
(A) d d d P x Q y R z Γ++=⎰d d d d d d y z z x x y x y z P Q R ∑
∂∂∂
∂∂∂⎰⎰; (B) d d d P x Q y R z Γ++=⎰cos cos cos d S x y z P
Q R
αβγ∑
∂
∂∂
∂∂∂⎰⎰; (C)
d d d P x Q y R z Γ
++=
⎰
{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q R
αβγ∑
∂∂∂
⋅∂∂∂⎰⎰
; (D)
d d d P x Q y R z Γ
++=
⎰
{}d ,d ,d i j k x y z x y z P
Q
R
∑
∂∂∂
⋅∂∂∂⎰⎰
. 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(0a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ
-+-+-=⎰( ).
(A) 23a ; (B)26a ; (C)22a ; (D) 2a . 答(A).
3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.则
22d 3d d y x x y z z Γ
+-=⎰
( ).
(A) π; (B)6π; 9π; (D) 0. 答(C).
二、填空题
1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.22d 2d d y x x y z z Γ
+-=
⎰.
答: 0.
2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =
.
答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++
(2) div(grad )u = .
答: 0.
(3) rot(grad )u = . 答: 0.
3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k =-+-+-,则rot A =.
答: 246i j k ++.
4. 设向量场22sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++, 则rot A =
.
答: 222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+-. 三、解答题
1. 计算
d d d y x z y x z Γ
++⎰
,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,
若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.
答: 2a .
2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ
+-+-⎰,其中Γ为椭圆222x y a +=,
1(0,0)x y
a b a b
+=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.
答: π 3. 计算
23d d d y x xz y yz z Γ
-+⎰
,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴
正向看去, Γ为逆时针方向.
答: 20π-. 4. 计算
22d 3d d y x x y z z Γ
+-⎰
,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z
轴正向看去, Γ为逆时针方向.
答: 9π.
5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑
⋅⎰⎰化为曲线积分,并计算积
分值,其中A 、∑及n 分别如下:
(1) 2A y i xyj xzk =++,∑为上半球面z , n 是∑的单位法向量.
(2) ()A y z i yzj xzk =-+-,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n 是∑的单位法向量.
答: (1) 0. (2) 4-.。