向量共线的坐标表示
高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件
[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2
第二章 平面向量共线的坐标表示
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规 律 归 纳 涉及本节知识点的试题基本上以共线向量的坐标运算为 主， 另外还会与解析几何知识相结合， 以综合题的形式出现．
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4 (2010· 陕西高考)已知向量 a＝(2， －1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
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三点共线问题 → → → 【例 2】 向量PA＝(k,12)，PB＝(4,5)，PC＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
→ → 思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有BA∥CA.
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→ → → 解：BA＝PA－PB＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)． → → → CA＝PA－PC＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴BA∥CA， 即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0， 整理得 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 11， ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
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自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( A．共线且方向相同 C．是相反向量 B．共线且方向相反 D．不共线 )
2 2 解析：a＝－ b 且－ <0，∴a 和 b 共线且方向相反． 3 3
答案：B
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→ → → 2 已知向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
2.3.4平面向量共线的坐标表示课件人教新课标
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
x1 y2 x2 y1 0
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(－1，0)与 b＝(1，0)的夹角是 0°.( × ) (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则xx12＝yy21.( × ) (3)a＝(－2，3)，b＝(4，6)共线.( × )
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x, y)
若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理： a//
b
b
0
a
b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量 与非零向量 唯一一个实数 ,
b使平得 行(a共 线)当b且(仅b当有0)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
(完整版)向量共线的坐标表示
《平面向量共线的坐标表示》教案教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.教学重点和难点(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；(2)难点：定比分点的理解和应用。
教学过程一、新知导入（一）、复习回顾1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).λa =(λx 1,λy 1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（二）、问题引入已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝⎛⎭⎫12，1，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x AB --=则.,)0(//a b a a b λλ=⇔≠使存在唯一实数二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。
由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。
向量共线坐标表示
其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0
+ +
1
坐标是
时,a∥b.
2
2
,
1
2
2
.
) 1 +2 1 +2
a.
【做一做】
下列各组向量共线的是(
2.若 P1(x1,y1),P2(x2,y 2),且1 = 2 (≠-1),则
题型三
题型四
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经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b
平行时,-4(k-3)-10(2k+2)=0,
反思已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的坐标,
题型一
1
再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.
2
则 与共线,且有一个公共点 A,
故 A,B,C 三点共线.
题型三
题型四
题型一
题型二
反思证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之
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和等于第三条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其
题型三
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平面向量共线的坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、教学分析1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形严密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢"前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节那么进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比拟容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
2、过程与方法：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
3情感态度与价值观：学会用坐标进展向量的相关运算，理解数学容之间的在联系。
三、教学重点与难点教学重点：平面向量的坐标运算。
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确.四、教学设想〔一〕导入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系严密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所表达的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何表达？思路2.对于平面的任意向量a,过定点O作向量OA=a,那么点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形严密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？〔二〕推进新课、新知探究、提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),你能得出a +b ,a -b ,λa 的坐标表示吗"②如图1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1)的P 点吗"标出点P 后,你能总结出什么结论"活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进展两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a +b =(x 1ｉ+y 1j )+(x 2ｉ+y 2j )=(x 1+x 2)ｉ+(y 1+y 2)j ,即a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).同理a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).又λa =λ(x 1ｉ+y 1j )=λx 1ｉ+λy 1j .∴λa =(λx 1,λy 1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字表达分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB 平移,使得点A 与坐标原点O 重合,那么平移后的B 点位置就是P 点.向量AB 的坐标与以原点为始点,点P 为终点的向量坐标是一样的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量AB 的模与向量OP 的模是相等的.由此,我们可以得出平面两点间的距离公式:|AB |=|OP |=221221)()(y y x x -+-. 教师对总结完全的同学进展表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能.②AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题①如何用坐标表示两个共线向量"②假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件" 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x ba λ〔三〕应用例如思路1例1 a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进展向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.假设表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1.(2007高考,4) 平面向量a =(1,1),b =(1,-1),那么向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 向量a =(-5,6),b =(6,5),那么a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A图2例2 如图2,ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,那么它们的坐标相等〞,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法那么求得向量OD 的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y).∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y ).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ∴⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法那么,可知BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜测A 、B 、C 三点共线.下面给出证明. ∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线. 点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,那么这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求y. 解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗"即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么"师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y),即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++)(2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么 图5OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP ) =321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,点A(3,7)、B(-2,5).假设线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)假设AC 的中点在y 轴上,那么BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5). (2)假设AC 的中点在x 轴上,那么BC 的中点在y 轴上,那么同理可得C 点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,OP =OA +t AB .假设点P 在第二象限,数t 的取值围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进展求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进展表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归〞思想的利用.不等式求变量取值围的根本观点是,将条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值围就是这个不等式(组)的解集.解:由AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).假设点P 在第二象限,那么3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值围.变式训练OA =(cosθ,sinθ),OB =(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB |的取值围.解:∵AB =OB -OA =(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ). ∴|AB |2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2=2+2(sinθ-cosθ)2=2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB |的取值围是［2,6］.〔四〕课堂小结1.先由学生回忆本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和开拓的精神,为将来的开展打下良好根底.〔五〕作业。
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。
平面向量共线的坐标表示29371
复习 平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复习
平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解；
1. 消去时能不能两式相除?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
3. 向量共线有哪两种形式?
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
特别地, i (1, 0),
j (0, 1), (0, 0).
a
j
Oi
x
平面向量的坐标运算
a a
a
b
(
x1
x2，y1
b ( x1 x2，y1
(x,y)
y2 y2
) )
两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的相应坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标； (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
平面向量共线的坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.已知下列几组向量： (1)a ＝(0,3)，b ＝(0,6)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(3，－12)； (4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1).思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？ 答 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？ 答 共线.思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？ 答 坐标不为0时成正比例.1.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb .2.如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.注意 对于2的形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一 运用向量共线求参数例1 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时， 存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b ). 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4).得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13＜0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.故k a ＋b 与a －3b 反向.反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解.跟踪训练1 在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0， 解得k ＝－13.类型二 向量共线解决三点共线例2 (1)已知四点坐标A (－1,1)，B (1,5)，C (－2，－1)，D (4,11)，请判断直线AB 与CD 是否平行？(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k ).当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？ 解 (1)因为AB →＝(2,4)，AD →＝(4,11)－(－1,1)＝(5,10)，AC →＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)， 所以AB →＝－2AC →，AD →＝－5AC →. 所以AB →∥AC →∥AD →.由于AB →与AC →，AD →有共同的起点A ， 所以A ，B ，C ，D 四点共线. 因此直线AB 与CD 重合. (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线.反思与感悟 1.三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点.2.若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练2 已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线. 证明 AB →＝⎝⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A .∴A ，B ，C 三点共线. 类型三 共线向量的应用例3 已知点A (3，－4)与点B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标. 解 设点P 坐标为(x ，y ).∵|AP →|＝2|PB →|，∴AP →＝2PB →或AP →＝－2PB →. 当AP →＝2PB →时，则(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫13，0. 当AP →＝－2PB →时，则(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8.∴点P 坐标为(－5,8).综上所述，点P 坐标为⎝⎛⎭⎫13，0或(－5,8).反思与感悟 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.跟踪训练3 已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，求点B 的坐标. 解 设AB →＝(x ，y )，AB →与a 同向， ∴AB →＝λa (λ>0)，即(x ，y )＝λ(2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ，y ＝3λ，又|AB →|＝213， ∴x 2＋y 2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2 (λ>0).即AB →＝(4,6).∴点B 的坐标为(5,4).1.设a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A.30° B.60° C.75° D.45° 答案 D解析 ∵32×13＝sin αcos α，∴sin 2α＝1,2α＝90°，∴α＝45°.2.若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A.a ＝3，b ＝－5 B.a －b ＋1＝0 C.2a －b ＝3D.a －2b ＝0答案 C解析 AB →＝(1，a －3)，AC →＝(2，b －3)，AB →∥AC →⇒b －3＝2a －6,2a －b ＝3. 3.与a ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫1213，－513B.⎝⎛⎭⎫－1213，－513 C.⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513D.⎝⎛⎭⎫±1213，±513 答案 C解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1213，y ＝513，或⎩⎨⎧x ＝－1213，y ＝－513.4.已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为______.答案 6解析 AB →＝(2,4)－(1,2)＝(1,2). AC →＝(3，m )－(1,2)＝(2，m －2).∵A ，B ，C 三点共线，即向量AB →，AC →共线， ∴存在实数λ使得AB →＝λAC →， 即(1,2)＝λ(2，m －2)＝(2λ，λm －2λ). ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm －2λ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝6.即m ＝6时，A ，B ，C 三点共线.5.已知A (3,5)，B (6,9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标. 解 设点M 的坐标为(x ，y ).由|AM →|＝3|MB →|，得AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →. 由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y ). 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝152，y ＝11.故点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11.1.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.2.向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.一、选择题1.设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是()A.b＝(k，k)B.c＝(－k，－k)C.d＝(k2＋1，k2＋1)D.e＝(k2－1，k2－1)答案 C解析由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c与a平行；当k＝±1时，向量e与a 平行.对任意k∈R，1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行.2.已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A.(－5，－10)B.(－4，－8)C.(－3，－6)D.(－2，－4)答案 B解析由a∥b得m＋2×2＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4).∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8).3.在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B.e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)答案 B解析由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.4.若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为()A. 2B.－ 2C.2D.－2答案 A解析 由a ∥b 得－x 2＋2＝0， 得x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反.5.若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( ) A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4 答案 B解析 由题意知，AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y ). ∵AB →∥DC →，∴4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足. 故选B.6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A.－1 B.－12C.12D.1答案 B解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )， v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )A.－12B.12 C.－2 D.2答案 A解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1).由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选A.8.已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( ) ①存在实数x ，使a ∥b ； ②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b . A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b 二、填空题9.已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________. 答案 32解析 由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6). 又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，得λ＝32.10.已知向量OA →＝(k,6)，OB →＝(4,5)，OC →＝(1－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 答案176解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－1)， BC →＝OC →－OB →＝(－3－k,5). ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，即(4－k )×5＋(－3－k )＝0， k ＝176.11.设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________. 答案 {m |m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形. ∴AB →，AC →不共线.又AB →＝OB →－OA →＝(1,1)， AC →＝(m －2,4)， ∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6. 三、解答题12.已知向量AB →＝(6,1)，CD →＝(－2，－3)，BC →＝(x ，y )且|BC →|＝5，BC →∥DA →，求x ，y 的值. 解 由题意得DA →＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →)＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)]＝(－x －4，－y ＋2)， BC →＝(x ，y ).又∵BC →∥DA →， ∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0. 化简得x ＋2y ＝0.即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0. ① 又∵|BC →|＝5，即x 2＋y 2＝5.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.13.经过点M (－2,3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AM →|，求点A ，B 的坐标. 解 由题设知，A ，B ，M 三点共线，且|AB →|＝3|AM →|，设A (x,0)，B (0，y )， ①点M 在A ，B 之间，则有AB →＝3AM →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x,3)， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3,0)，(0,9).②点M 不在A ，B 之间，则有AB →＝－3AM →，同理， 可求得点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，(0，－9). 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或⎝⎛⎭⎫－32，0，(0，－9).。
课件8：2.3.4 平面向量共线的坐标表示
又∵θ 为锐角，∴sinθ＝ 22，θ＝45°，故选 A.
2.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3，1)，B(－1，3)，若点 C
满足O→C＝αO→A＋βO→B，其中 α、β∈R，且 α＋β＝1，则点 C 的轨迹形状
是________．
解析：∵α＋β＝1，∴β＝1－α.∴O→C＝αO→A＋(1－α)O→B. ∴O→C－O→B＝α(O→A－O→B)．∴B→C＝αB→A.
的意义不同，前者不允许
x2
和
y2
为零，
而后者允许，所以当向量 a、b 之一为零向量或向量 a、b 与坐标轴平行时，该
方法便行不通了．
题型探究
题型一 向量共线的判断 例1 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？ 平行时，它们是同向还是反向？
【解】 由已知得，ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， ∵ka＋b 与 a－3b 平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
λ＝－71， y＝37.源自随堂练习1.已知 a＝(－2，1－cosθ)，b＝1＋cosθ，－41，且 a∥b，则锐角 θ 等于( )
A．45°
B．30°
C．60°
D．15°
解析：选 A.由 a∥b 得(－2)×－14－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0
即12＝1－cos2θ＝sin2θ，∴sinθ＝± 22，
代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，整理得 x2＋y2＝1. ∴所求的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
课堂小结
1.用向量的坐标判定两向量的共线，当坐标不为0时，看其坐标是否成比例． 2.三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反， 两个向量共线与两个向量平行是一致的．
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.3.4平面向量共线的坐标表示
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
→ 2 → → → → → 2 → ②当P1P＝ P1P2时，OP＝OP1＋P1P＝OP1＋ P1P2 3 3
→ 2 → → 本 ＝OP1＋ (OP2－OP1) 3
课 时 栏 1→ 2→ 目 ＝ OP1＋ OP2 3 3 开 关
2.3.4
2.3.4
【学习要求】
平面向量共线的坐标表示
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
本 课 3．掌握三点共线的判断方法． 时 【学法指导】 栏 目 1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点 开 在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且 关
答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
本 课 时 栏 目 开 关
∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0. ∵a∥b，∴存在实数 λ，使 a＝λb，
x1＝λx2， 即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，∴ y1＝λy2，
x1 ∵x2≠0.∴λ＝x . 2 x1 x1y2 将 λ＝x 代入 y1＝λy2 得 y1＝ x ，即 x1y2－x2y1＝0. 2 2
x1 x1 ∴(x1，y1)＝x1，x y2＝x (x2，y2) 2 2
x1 令 λ＝x ，则 a＝λb.所以 a∥b. 2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
探究点二
共线向量与中点坐标公式
问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段 P1P2 的中点 P 的坐标．
∵G 为△ABC 的重心， ∴D 为 BC 的中点，
2.2.3用平面向量坐标表示共线条件
>>
ka 2b与2a 4b平行 （ 4 k 6） 14(2k 4) 0 解得k 1.
5、已知A（2，3），B（4，3），a ( x 3, x 3 x 4), -1 与AB相等, 则x ____
2
△ABC的三条边的中点分别为(2, 1)和(－3, 2 4 ( , ) 4),(－1,－1)，则△ABC的重心坐标为 _______ 3 3
用平面向量坐标
表示向量共线条件
学习目标研读
1．课堂目标
理解并掌握用坐标表示平面向量共线的条件． 2．重点难点 重点：用坐标表示平面向量共线的条件． 难点：向量共线的坐标表示的应用．
创设情境
1.
向量的坐标表示,并且向量之间可以进行的坐标
B x 2 , y2
运算
y
A x1 , y1
例3、 在 直 角 坐 标 系 xoy中, 已 知A 2,3, B0,1
解题思路： （思想）
证点共线
向量共线
有公共端点
（几何）
（向量）
点共线 （几何）
变式1：已知OA k ,12 , OB 4,5 , OC 10, k O为坐标原点,问k为何值时, A, B, C三点共线 ? 2或11
存在 R，使得ka 2b （2a 4b） ka 2b k (1, 2) 2(3, 2) (k 6, 2k 4). 即 k-2 a 4 2 b 2a 4b 2(1, 2) 4(3, 2) (14, 4). a与b不共线 k 2 0 4 2 0 k -1
C 2,5, 求 证 : A, B, C三 点 共 线 .
证明 :由已知条件得 AB 0,1 2, 3 2, 4 AC 2,5 2, 3 4,8 28 4 4 0 AB // AC 又因为有公共端点A. 因此A,B,C三点共线.
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.。
6.2平面向量共线定理的坐标表示
授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。
向量坐标共线的公式
向量坐标共线的公式在数学中，向量是一个有方向和大小的量，可以用坐标表示。
当两个向量的坐标共线时，它们在同一条直线上，这意味着它们的方向相同或相反。
在本文中，我们将讨论向量坐标共线的公式。
向量坐标向量可以用坐标表示，通常用小写字母加箭头表示，例如a→。
向量的坐标表示为(x,y)，其中x和y是向量在x轴和y轴上的分量。
例如，向量a→的坐标为(a1,a2)。
共线向量当两个向量在同一条直线上时，它们被称为共线向量。
共线向量的坐标可以表示为比例关系。
例如，如果向量a→和向量b→共线，则它们的坐标可以表示为：a1/b1 = a2/b2这个比例关系可以用来判断两个向量是否共线。
共线向量的公式当两个向量共线时，它们的坐标可以表示为比例关系。
假设有两个向量a→和b→，它们的坐标分别为(a1,a2)和(b1,b2)。
如果它们共线，则它们的坐标可以表示为：a1/b1 = a2/b2 = k其中k是一个常数。
这个常数k表示了两个向量在同一条直线上的比例关系。
如果k为正数，则两个向量的方向相同；如果k为负数，则两个向量的方向相反。
例如，如果向量a→的坐标为(2,4)，向量b→的坐标为(4,8)，则它们的坐标可以表示为：2/4 = 4/8 = 0.5因此，向量a→和向量b→共线，它们的比例关系为0.5。
结论向量坐标共线的公式是一个简单而有用的工具，可以用来判断两个向量是否共线。
当两个向量的坐标可以表示为比例关系时，它们在同一条直线上，这意味着它们的方向相同或相反。
这个公式可以应用于各种数学和物理问题中，例如力学、几何学和电磁学等。
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《平面向量共线的坐标表示》教案
教学目标
(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；
(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.
教学重点和难点
(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；
(2)难点：定比分点的理解和应用。
教学过程
一、新知导入
（一）、复习回顾
1、向量共线充要条件:
2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则
a +
b =(x 1+x 2,y 1+y 2).
a -
b =(x 1-x 2,y 1-y 2).
λa =(λx 1,λy 1).
（2）.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
（二）、问题引入
已知下列几组向量：
(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；
(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；
(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；
(4)a ＝⎝⎛⎭⎫12，1，b ＝⎝⎛⎭
⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？
问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？
),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则.
,)(//λλ=⇔≠使存在唯一实数
二、新知探究
思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？
设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ。
由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒21
21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
探究：（1）消去λ时能不能两式相除？
（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）
（2）能不能写成2
211x y x y = ？ （不能。
∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.
01221y x y x b a λ
三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用）
1．向量共线问题： 例1. 已知(4,2)a =r ，(6,)b y =r ，且//a b r r ，求y ．
变式练习1：
2．证明三点共线问题：
例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。
变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．
r r r r 已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.
3．共线向量与线段分点坐标问题：
例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；
（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.
独立探究：(1)中P1P ：PP2＝? (2)中P1P ：PP2＝?
迁移问题：当21PP P P λ=时,点P 的坐标是什么？
四、课堂小结
（1）平面向量共线的坐标表示；
（2）会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线；
（3）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
五、课后作业
必做题P101习题A组5、6 、7 ，选做题P101习题B组1、2。