高中数学向量的表示和共线

O

2

P

Q

B

a

b

向量

一．基础知识回顾 1．平面向量基本定理

对于任意a ，若以不共线的向量e 1，e 2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a ＝λe 1＋μe 2.

2．共线向量定理

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λ·a .如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1或者x 1y 2－x 2y 1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x 2x 1＝y 2

y 1

，即对应坐标的比值相等．

如果OA →＝xOB →＋yOC →

，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1. 3．向量的坐标运算

a ＝(x 1，y 1)，

b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．

二．例题分析

1．向量的表示与基本定理

例1.如图，平面内有三个向量OA u u u r 、OB 、OC ,其中与OA u u u r 与OB 的夹角为120°，OA u u u r 与OC

的夹角为30°,且|OA u u u r |＝|OB |＝1，|OC | ＝32，若OC ＝λOA u u u r +μOB

（λ，μ∈R ）,

则λ+μ的值为 .

例2．在▱ABCD 中，A B →＝a ，A D →＝b ，A N →＝3N C →，M 为BC 的中点，则M N →

＝________. 例3．(2013年绍兴模拟)如图，点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →－MC →

等于( )

A ．0

B ．4ME →

C ．4MF →

D ．4MD →

例4：如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA u u u r

＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝ ，

OQ u u u r

＝ (用a 、b 表示)

F

C

B

A

E M D

例5．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →

，则λ＋μ＝________.

例6．(2013年菏泽质检)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 等分AB ，已知AB →＝a ，AC →

＝b ，则AD →

等于( )

A ．a －1

2b

B.1

2a －b C ．a ＋1

2

b

D.1

2

a ＋

b 例7. 中，边上的高为，若，则( )

A

． B ． C ． D

．

例8．(2013年苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →

＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →

＝________(用向量a 和b 表示)．

例9.（2013广东卷文10）设r a 是已知的平面向量且≠0r r a ，关于向量r

a 的分解，有如下四个

命题：①给定向量r b ，总存在向量r c ，使=+r r r

a b c ；

②给定向量r b 和r c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+r r r

a b c ；

③给定单位向量r b 和正数μ，总存在单位向量r c 和实数λ，使λμ=+r r r

a b c ；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量r b 和单位向量r c ，使λμ=+r r r

a b c ；

上述命题中的向量r b ，r c 和r

a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

ABC ∆AB CD ,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===u u u r r u u u r r r r r r AD =

u u u r

1133a b -r r 2233a b -r r 3355a b -r r 4455

a b -r r