三年级数列、数表规律

数列、数表规律

知识框架

一、数列的定义

按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。

根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。

研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。

【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。

2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；

3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。 【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题．

二、等差数列的定义

⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法

定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．

譬如：2、5、8、11、14、17、20、

从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列

100、95、90、85、80、

从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示

末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．

三、等差数列的相关公式

(1)三个重要的公式

① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+

-⨯（）

递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =-

-⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个

有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）

② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1

由通项公式可以得到：11n n a a d =

-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、

、40、43、46 ，

分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、

、(46、47、48)，注意等差

是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有

484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．

③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100+++

+++

11002993985051=

++++++++共50个101

（）（）（）（）101505050=⨯=

(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101

++++

+++=+++++++=++++

+++和=1+和倍和即，和

(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=

(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

譬如：① 48123236436922091800+++

++=+⨯÷=⨯=（），

题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089+++

+++=+⨯÷=⨯=（），

题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．

注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！

例题精讲

【例 1】 从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。 【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2005年，第3届，希望杯，4年级，1试 【解析】 略 【答案】199

【巩固】观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律，推知a =________ 。 【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试 【解析】 19+18=37，37+18=55，所以a =55+18=73 【答案】73

【例 2】 2、4、6、8、10、12、

是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小

的一个．

【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 方法一：利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数

的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320564÷=，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．

方法二：5个连续偶数求和，我们不妨可以把这5个数用字母表示记作：4x -、2x -、x 、2x +、

4x +．

那么这5个数的和是5320x =，64x =，进而可得这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．请教师引导学生体会把中间数表示为x 的便利，如果我们把最大或最小的数看成x ，那么会怎样呢？

【答案】60

【巩固】 1、3、5、7、9、11、

是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最

大的数是多少？

【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 我们可以找中间的两个数其中一个为y ，那么这8个数为：6y -，4y -，2y -，y ，2y +，4y +，

6y +，8y +，根据题意可得：88256y +=，所以31y =，最大的奇数是839y +=．

【答案】39

【例 3】 在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994． 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 每个数比前一个数大7，根据求通项1(1)n a a n d =+-的公式得1()1n n a a d =-÷+，列式得：

(19946)7284-÷=

2841285+=

即第285个数是1994．

【答案】285