尺规作图与正多边形

正三， 四， 五， 六边形研究 教 师 提 问 那么正七边形我们也有办法尺规作图吗？ 正九边形哪？？？ 后，研究正七 边形符合人 们的思维规 律，同时也向 着本节课的 探究方向靠 近.
3. 观察特例提出猜想
教学过程 设计意图
1.仅用尺规作图不能做出正七边形的边长
这个问题可以转化为：能否做出一个 7 的角？ 解：设������ =
师 生 共 同 观 察 特 例
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从数学史的 角度出发，模 拟对正七边 形不能尺规 作图做出的 发现, 使学 生主动投入 数学发现过 程 , 发展创造 性思维能力 . 从旧知识引 出新知识，符 合从特殊到 一般的思维 过程.
，即：7������=2π ，因为 3������=2π -4������，故：cos3������=cos4������
我想在生活中我们更关心那些图形可以尺规作图做出来比如我们最 常见的圆内接多边形。 2. 提出问题，进行探究
教学过程 教 师 提 问 仅用尺规你可以做出正三角形、正方形、正五边形、正六边形吗？ 设计意图 教师主动提 问，营造主动 积极的探究 氛围，激发学 习兴趣.
1. 尺规作图做正三角形
先画个圆 O。半径为 R 在圆上取任意一点 P 为圆心 半径为 R 做弧。 与圆 O 相交与 A，B 两点。 AB 是正三角形的两个顶点 再以 A 为圆心，AB 的长为半径做弧。 与圆 P 有两个交点 其中一个为 B 点 另一个为 C 则三角形 ABC 为正三角形
3.简易做法
因为 360°/17≈21°10′ ,利用 sinA 21°6′=0.3600 可得近似角。 用该方法作正十七边形总误差为 17*4′=68′， 在不要求十分精确的 情况下还是可行的。 作法如下: （1）.先画一条直线，用圆规在上面截取 5 条相等线段，(尽量越 短越好),再截取之前四条线段的和，接续之前画的线段。这样，如果每 条小线段算作 0.1 的话，那么整条线段就是 1.8。 （2）.用圆规截取之前 5 条小线段的长，画 5 次，这样这条线段就 是 5。1.8/5=0.36。准备工作完毕! （3）.另作一条直线，作垂线，1.8 的线段作为对边，5 的线段作 为斜边，那个最小的锐角即是近似的 360°/17 的角。以其顶点为圆心，
三．教学重点与难点分析
1.教学重点是能自己通过尺规作图作出正三，四，五边形、解释
为什么做不出正七边形，正九边形以及理解、掌握、应用公式 n=2������ p1p2„„pk 2.教学难点是启发学生联想所学知识，运用几何法，推导出 定理 6.12 n=2������ p1p2„„pk
四．教学方法分析
在圆上连续截取等弧， 使弦 AB=BC=CD=DE=AN， 则五边形 ABCDE 即为正五边形。
4.尺规作图做正六边形
先画个圆 O。半径为 R 在圆上取任意一点 P 为圆心 半径为 R 做弧。 与圆 O 相交与 A，B 两点 连接 AP,延长交于圆 P 于点 C 连接 OP,延长交于圆 P 于点 D 连接 BP,延长交于圆 P 于点 E 依次连接 AOBCDE 则 AOBCDE 为一个正六边形
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空间由课堂 课 外 小 知 识
第 30 届国际数学奥林匹克(IMO)在高斯的故乡-----布伦瑞克举行,此次 会议的会徽是一个围绕高斯肖像的正十七边形，因为对于“数学王子” 高斯而言发现正十七边形的尺规作图是他一生成就的奠基石
延伸到课外。 课外数学名 人故事可以 激发学生的 兴趣， 活跃课 堂气氛。
《尺规作图与正多边形》教案设计
一.前期分析
1. 内容分析 《尺规作图与正多边形》 比较系统地研究了怎样的正多边形可 以尺规作图做出来这个课题。在课型上属于定理教学课，主要 内容是处理如何在圆里面做出相应的多边形边长来， 我们初中 就已经学习过一些简单的尺规作图， 在初高中也已经接触了很 多圆内接正多边形。启发学生联想所学知识，运用几何法，推 导出定理 6.12。了解这个定理就可以很快知道一个正多边形 能不能尺规作图做出来。 2.学情分析 （1）学生已经了解尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图 （2）学生已经掌握五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （3）学生已具备自学能力，能够独立建立直角坐标系来解决一 些简单问题。 （4） 学生或许建立模型的意识比较薄弱， 所以要达到独立从特
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设计意图 教师总结， 使 方向更明确， 并培养学生 的分类意识.
交 流 研 讨 辨 析
有了这个定理，关于仅用尺规作图等分圆周或作正多边形的可能性问题 得 到 圆 满 的 解 决， 比 如： 圆 周 等 分 数在 100 以内 的 仅 24 个， 即 3,4,5,6,810,12,15,16,17,20,26,30,32,34,40,48,51,60,64,68,80,85,96.其 76 个 均不能。 N ≤ 300 时 ， 满 足 条 件 的 有 37 个 ： 3,4,5,6,810,12,15,16,17,20,26,30,32,34,40,48,51,60,64,68,80,85,96,102,120, 128,136,160,170,192,204,240,255,256,257,272 N≥300 时，如何作出以及判断22 +1 型的数是素数，仍然很困难，并未 能得到完全的解决
师 生 共 同 总 结
我们早已知道如何具体作图做出正三边形、正五边形，还知道了它们为 什么能用尺规作图，因为 3 和 5 都是费马素数，对于很久以来未找到办 法来作出的正七边形，乃至于正 11 边形、正 13 边形，现在我们能有把 握地说，它们不可能由尺规作图，因为 7、11、13 都不是费马素数；对 于正 257 边形、正 65 537 边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论 上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边 形可尺规作图呢？因为 4＝22，因为 6= 2· 3
重复作角直至闭合。画一大圆，连接其与 17 条射线的交点，即可。
提 出 猜 想
（互动）师生共同猜测！ 猜想：一个具有素数条边的正多边形可以尺规作图的充要条件是其边数 形如 N=22 +1 的素数
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4.证明猜想得出定理
教学过程 由上面的例子可知，正三、四、五、六和十七边形是可以用尺规作图的方法 师 生 总 结 做出来的，在此基础上通过连续地二等分角，就可以用尺规作出具有 2������ ， 3∗ 2 ，5*2 ，17*2 边的正多边形。 正 N 边形可尺规作图的充要条件是： N 可分解为 2 的幂和不同的费马素数 （即 形如（2 +1）的素数）的乘积，即 N=������ p1p2„pk
以学生自学为主，教师引导为辅。要求学生独立思考并且结合同 学之间的讨论，将生生合作与师生合作相结合，实现教学目标。 在本节课引导学生发现，理解定理 n=2������ p1p2„„pk
五．教学过程
1．复习导入 首先我会问大家， 同学们上几节课我们证明了三个尺规作图不能 解决的问题即： 1.立方倍积即求作一立方体的边， 使该立方体的体积为给定立方 体的两倍。 2.化圆为方 3.三等分角 即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 即分一个给定的任意角为三个相等的部分。
让学生回顾 以前学过的 知识，在原有 学 生 自 主 探 讨
2．尺规作图做正方形
先做两个圆，圆心分别是 O,P 半径为 R，交点为 A,B 连接 O,P 连接 A,B 可见 OP 与 AB 垂直，且交于 Q 以 Q 为圆心。QP 为半径作圆 与 AB 交于 M,N 两点 依次连接 P,M,O,N 则 PMON 为正方形
殊案例一般化推广到抽象数学问题的解决比较困难。
二．教学目标
1.知识目标：通过对本节课的学习，掌握以下内容： (1)能自己通过尺规作图作出正三，四，五边形 (2)解释为什么做不出正七边形，正九边形 (3)理解、掌握、应用公式 n=2������ p1p2„„pk 2.能力目标： (1)培养学生动手操作的能力，以及数形结合的思想。 (2)培养学生从特殊到一般化的推广，学生观察、分析问 题、应用所学知识解 觉问题的能力。 (3)通过在正多边形与费马素数之间建立起关系，在解决 问题的过程中培养学生的联想能力、 综合应用知识的 能力 3.情感目标： (1)培养学生的探究意识，激发学生学习兴趣，活跃学习 氛围。 (2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题 (3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强 相互评价与自我反思
据：三角恒等式，有： 8（cos������） -4（cos������)3 -8(cos������)2 +3 cos������ + 1 = 0 令 x=2 cos������, 化简得： （x-2)(������ 3 +������ 2 -2x-1)=0 当 x=2 时不符合题意，而方程������ 3 +������ 2 -2x-1=0 没有有理解 回答：仅用尺规作图不能做出正七边形的边长
引导启发学 生利用已有 的知识解决 新的问题. 学生在合作 交流、与人分 享的探讨的 氛围中倾听、 思考、表述， 体验成功的 喜悦；学会合 作，并在合作 中懂得欣赏 他人；提高分 析能力.
Fra Baidu bibliotek
y1+y2=(-1-√17)/4 最后，由 cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求 cosa 之表达式, 它是有理数的加减乘除平方根的组合, 故正 17 边形可用尺规 作出
知识和学习 目标之间搭 建平台 . 通过 师生互动、生 生互动的教 学活动过程， 体现教师的 主导作用，形 成学生的体 验性认识.
3.尺规作图做正五边形
作一个圆，圆心为 O 作圆的两条互相垂直的直径 AZ 和 XY； 作 OY 的中点 M； 以点 M 为圆心，MA 为半径作圆， 交 OX 于点 N； 以点 A 为圆心，AN 为半径，
2. 怎么在圆里画一个正十七边形
给一圆 O，作两垂直的半径 OA、OB， 在 OB 上作 C 点使 OC=1/4OB， 在 OA 上作 D 点使∠OCD=1/4∠OCA 作 AO 延长线上 E 点使得∠DCE=45 度。作 AE 中点 M，并以 M 为圆心作一圆过 A 点， 此圆交 OB 于 F 点，再以 D 为圆心，作一圆 过 F 点，此圆交直线 OA 于 G4 和 G6 两点 过 G4 作 OA 垂直线交圆 O 于 P4， 过 G6 作 OA 垂直线交圆 O 于 P6， 则以圆 O 为基准圆， A 为正十七边形之第一顶点 P4 为第四顶点， P6 为第六顶点。 以 1/2 弧 P4P6 为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
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2. 仅用尺规作图不能做出正九边形的边长
教师给学生几分钟时间，让学生自己探索，然后教师可以请 1-2 名 同学上黑板书写
1. 证明正十七边形可以尺规做出
师 生 共 同 探 讨 正 十 七 边 形 尺 规 作 图 的 方 法
先计算或作出 cos(360°/17) 设正 17 边形中心角为 a，则 17a=360°,即 16a=360°-a 故 sin16a=-sina，而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos 4acos8a 因 sina 不等于 0，两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由 2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函数积化和差公式)等 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(诱导公式)等，有 2(cosa+cos2a+„+cos8a)=-1 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有:x+y=-1/2 又 xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+„+cos14a+cos15a) 经计算知 xy=-1 因而:x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有 x1+x2=(-1+√17)/4