复经验正交函数分解CEOF

Hermite矩阵和酉矩阵
若复数矩阵满足:
(U ) U
* '
或
U U
_
则称U为Hermite矩阵;”*”表示复数共轭, ”’”表示转置，”-”表示转置共轭;
_
_
若 UU I
且
UU I
则称U为酉矩阵或正交矩阵. Hermite矩阵的特征值为实数,存在一酉矩阵B,使
1 0 0 0 0 _ 2 BUB 0 0 m
应用实例[7.3]
选取1850-1991年我国东部25站旱涝百分 率资料做CEOF.用滤波变换的方法建立复数矩阵 进行分解,滤波器长度取7.计算出空间振幅函数, 空间位相函数,时间振幅函数,时间位相函数.
前3个复特征向量解释总方差的68%,普通 EOF前3个特征向量只解释36%的方差.
参考文献
（2）傅立叶变换.
u j (t ) a j ()cos t b j ()sin t

a j ( )
1 T

T
0
u j (t ) cos tdt
b j ( )
1 T

T
0
u j (t ) sin tdt
u j (t ) [a j ()cos(t 90 ) b j ()sin(t 90 )] [b j ()cos t a j ()sin t]
（7）计算特征向量的方差贡献和累积方差贡献.
CEOF结果分析
对CEOF的结果进行分析,要具备很强的天气, 气候学知识,并根据所要解决的问题进行合理的分 析. （1）通过空间振幅函数，分析气候变量场的空间分 布结构.根据空间相位函数分析波的传播方向;
（2）时间振幅函数反映空间结构随时间变化,由时 间相位函数分析波的传播速度.

^
CEOF计算步骤
（1）用滤波法或傅立叶变换法对一实数矩阵构造Hermite复矩阵; （2）计算Hermite复矩阵的协方差矩阵S;
（3）根据Hermite矩阵分解原理,分解复数矩阵:
U BP
（4）计算复时间系数矩阵:
P BU
（5）计算时间振幅函数和时间位相函数:
_
Sk ( x) [ Bk ( x) Bk* ( x)]1/2
复数和共轭复数
复数(虚数)的单位是i, 满足下列关系式:
每个复数可以表示为实数与虚数之和:
i 2 (i ) 2 1 i 1 i 1
b Im(C )
C a ib
C a ib * C a ib
a Re(C )
两个有相同实数部分和相反虚数部分的复数称为共轭复数:
魏凤英.《现代气候统计诊断与预测技 术》，气象出版社，2007.
Im Bk ( x) Qk ( x) arctan Re Bk ( x)
（6）计算空间振幅函数和空间位相函数:
Sk (t ) Pk (t ) P (t )
* k
1/ 2
Im P k ( x) Qk (t ) arctan k (t ) Re P
复经验正交函数(Complex Empirical Orthogonal Function, CEOF)
• CEOF主要针对气象变量场的特点设计的计算格式;
• 传统的EOF分离出的仅是空间驻波振动分布结构； • CEOF分析气候变量场空间尺度行波分布结构及位 相变化; • CEOF过程就是将一个标量场通过变换,构造出同时 含有实部和虚部的Hermite矩阵来分解.
则B为 Hermite矩阵的特征向量
构造Hermite矩阵的方法（1）滤波 生成一个与实数序列相正交的序列:
u j (t )
^
l L
u (t l )h(l )
j
L
2 2 l l 0 sin ( ) h(l ) l 2 0 l 0
L为滤波器长度, 取7-25