2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式

二 一般形式的柯西不等式

一、选择题

1．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2

n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25 D ．－25

3．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20， 则a ＋b ＋c x ＋y ＋z

等于( ) A.14 B.13 C.12 D.34

4．已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( ) A ．3 B ．32 C ．18 D ．9

5．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B.3 C ．3 D ．9

6．已知x ，y 是实数，则x 2＋y 2＋(1－x －y )2的最小值是( ) A.16 B.1

3 C ．6 D ．3 二、填空题

7．设a ，b ，c ∈R ＋，若(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋k c ≥25恒成立，则正数k 的最小值是________．

8．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值是________．

9．已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________．

10．设x ，y ，z ∈R,2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________．

三、解答题

11．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a ，又正数p ，q ，r 满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.

12．设a 1＞a 2＞…＞a n ＞a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1

a n ＋1－a 1＞0.

四、探究与拓展

13．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1

a ＋

1b ＋1

c ，则s 与t 的大小关系是________．

14．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1.

(1)若2x 2＋3y 2＋6z 2＝1，则x ，y ，z 的值分别为__________；

(2)若2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，则正数t 的取值范围为__________________．

二 一般形式的柯西不等式

一、选择题

1．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2

n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 A

解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，

当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n

a n ＝1时取等号．

∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.

2．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25 D ．－25 答案 B

解析 (ab ＋bc ＋cd ＋da )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25， 当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±5

2时，等号成立．

∴ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为－5.

3．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则

a ＋

b ＋c

x ＋y ＋z 等于( )

A.14

B.13

C.12

D.34 答案 C

解析 由柯西不等式，得(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400， 当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝1

2时取等号，

因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12

.

4．已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( )

A ．3

B ．32

C ．18

D ．9 答案 B

解析 由柯西不等式，得(

3a ＋1＋

3b ＋1＋

3c ＋1)2

≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]． ∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋

3b ＋1＋

3c ＋1)2≤3×6＝18，

∴

3a ＋1＋

3b ＋1＋3c ＋1≤32，

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3

时等号成立．

5．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B.3 C ．3 D ．9 答案 B

6．已知x ，y 是实数，则x 2＋y 2＋(1－x －y )2的最小值是( ) A.16 B.1

3 C ．6 D ．3 答案 B

解析 ∵(12＋12＋12)[x 2＋y 2＋(1－x －y )2]≥[x ＋y ＋(1－x －y )]2＝1， ∴x 2＋y 2＋(1－x －y )2≥13， 当且仅当x ＝y ＝1

3时等号成立．

二、填空题

7．设a ，b ，c ∈R ＋，若(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫

1a ＋1b ＋k c ≥25恒成立，则正数k 的最小值是________． 答案 9

解析 因为(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋k c ≥(1＋1＋k )2＝(2＋k )2，当且仅当a ＝b ＝c

k

时，等号成立，所以(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋k c 的最小值是(2＋k )2.由(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭

⎫1a ＋1b ＋k c ≥25恒成立，得(2＋