图形的相似(小结与复习5))(湘教版)

为
PB QB AB CB
,即PQ∥AC;另一种情况为
PB QB CB AB
如图：在三角形ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm ，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动 同时点Q从C 点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运 动，设运动的时间为t （1）当t 何值时，PQ‖BC？ （2）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，求S△BPQ：S△ABC （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长，若 不能，请说明理由。 B
P
A
Q
C
课堂抢答：
• １、D是△ABC的边AB上的点, 请你添加一个条 件，使△ACD与△ABC相似, 这个条件是 A （ ）
• ①∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ • ② ∠ＡＣＤ＝∠Ｂ
D
AD AC • ③ AC AB
C B
• ２、如果一个三角形三边长分别为5、12、13,与
其相似的三角形最大边是39，则该三角形最短的 边长为（ 15 ）
1.6
∴他的影子长为 3.6 m
做一做
2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的 同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根 长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树 的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图）， 经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测 得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一 起算一下，树高为多少？ 解：首先在图上标上字母， A 过点C作CE⊥AB，垂足为E 根据题意，可得： △AEC∽△FGH AE CE AE = 2.7 2.7m = E FG HG 1 0.9 C F 1.2m 1.2m 1m AE= 3 m D 2.7m B H 0.9 G ∴树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m
∠ BAD=∠C=700 ∠ DAC=∠BAC－∠BAD =800－700 =100
∴相似比=BC：AB=6：5
AB：BD=AC:AD=BC:AB 即5：BD=3:AD=6：5， 解得 BD=25/6, AD=5/2 DC=BC－BD=6－25/6=11/6
例2.(1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 3 _____对三角形相似. (2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=Rt∠ ,CD⊥ AB于 4 D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC 相似.
A
A D
B F E A
B
F
B D
自我
提高
1、如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A D B
3
如图(3)
1
E
2
C
加油
努力
2、如图2，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3， C EF = 4，则CD的长（ ） D C F E A． B．8 C．10 D．16
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p 14―x P
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
思考题：
A
D
M
C
小结：
通这一 节的复习之 • （1）掌握相似三角形的判定方法及性质； 后你有哪些 • （2）能灵活运用相似三角形的判定方法及 收获？ 性质进行计算或证明；
• （3）利用相似解决一些实际问题
相似三角形的应用：
１、利用三角形相似，可证明角相等； 线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不 能直接测量的物体的长度。如求河的 宽度、求建筑物的高度等。
相似三角形的复习
相似三角形的应用：
• １、利用三角形相似，可证明角相等； 线段成比例（或等积式）； • ２、利用三角形相似，求线段的长等 • ２、利用三角形相似，可以解决一些 不能直接测量的物体的长度。如求河 的宽度、求建筑物的高度等。
做一做
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点 P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部， 当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部 刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两 个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m。 （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？ 解： （1）由题得：
A
C D O B
课堂抢答：
• ５、如图，身高为1.6m的某同学想测量一棵大树的 高度，她沿树影BA由B向A走去，当走到C点时，她 的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m，则树高为（ C ） • A、4.8m B、6.4m解：依题意知：ＥＣ⊥ＡB，于点 Ｃ，ＤＢ⊥ＡB于点Ｂ， • C、8m D、10m ∴ＣＥ∥ＤＢ D
例3、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6
B
14
A C
4
D
6 x P 14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
x 1.6 = 2x+12 9.6 解得：x = 3 m
9.6
A x
1.6 P 12
Q x
B
∴两个路灯之间的距离是18 m
做一做
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
9.6
？ A B x 18 解： 设他的影子长为 x m，则由题得： x 1.6 = 18+x 9.6
解得 x = 3.6 m
知识 讨论发言 应用
例1：如图,已知△ABC与△DBA相似， ∠BAC＝80°，∠C＝70°，AB＝5cm，AC＝3cm， BC＝6cm。求： (1)∠BDA,∠BAD,∠DAC; (2)相似比及BD，AD，DC的长。 解：∵△ABC∽△DBA ∵△ABC∽△DBA
B A
D
C
∴∠BDA=∠BAC=800
E
A
C
B
∴△ＡCE∽△ＡBD ∴ＡC：ＡB＝CE：BD ∵AC=0.8m，BC=3.2m ∴AB=AC+CB=4m CE=1.6m ∴0.8：4=1.6：BD 解得：ＢD=8（m） ∴树高BD为8m。
竞赛角
1、如图（1），CD是⊙O的弦， AB是直径，CD⊥AB于点P， 求证：PC2=PA· PB
A
B
3、已知，如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD 4：25 相交于点O，AD：BC＝2：5，则S△AOD：S△COB＝________， 5：2 5：2 OB：OD＝_________，S△BOC：S△OCD＝________。
A O B C D
4、如图,测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的
D
E
A
C
B
∴ＣＥ∥ＤＢ ∴△ＡCE∽△ＡBD ∴ＡC：ＡB＝CE：BD ∵AC=0.8m，BC=3.2m ∴AB=AC+CB=4m CE=1.6m ∴0.8：4=1.6：BD 解得：ＢD=8（m） ∴树高BD为8m。
例4 .某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、 下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木 （如图）他们想在△AMD和△BMC地带种植单 价为10元 ／米2的太阳花，当△AMD地带种满花 后，已经花了500元，请你算一下，若继续在 △BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？ 并说明理由。
A O
C
P
B
D 图（1） A E
2、如图（2）△ABD∽ △ACE 求证： △ABC ∽ △ADE B
D 图（2）
C
•
某社区拟筹资金2000元， 计划在一块上、下底分别是 10米、20米的梯形空地上种 植花木（如图）他们想在 △AMD和△BMC地带种植 单价为10元 ／米2的太阳花， 当△AMD地带种满花后，已 经花了500元，请你算一下， 若继续在△BMC地带种植同 B 样的太阳花，资金是否够用？ 并说明理由。
长为10cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口 DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么 小玻璃管口径DE是多大?
答案：20/3cm
5、如图，在△ABC的外接圆O中，D是弧BC的中点，AD交BC 于点E，连结BD． （1）列出图中所有相似三角形； （2）连结ＤＣ，若在弧ＢＡＣ上任取一点K（点A、B、C除 外），连结ＣＫ，ＤＫ，ＤＫ交ＢＣ于点Ｆ，DC2=DF· DK是否 成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．
巩固提高： 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A 开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始 沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、 B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
B
4cm/秒
Q
8
2cm/秒
A
P
16
C
分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以 若∆PBQ与∆ABC相似，则有两种可能一种情况
K
A
A
O E B D
C
O E B D C
请同学们谈谈本节课的收获。
A A D E D
C B F C
如图(1)
E如图(2)B来自(3).如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和 △ABC相似,则需添加一个条件 ∠ACP=∠B; AB 或∠APC=∠ACB; 或AP:AC=AC:AB 即AC2=AP·
A
。
P B C
加油
努力
例3、如图，身高为1.6m的某同学想测量一棵大树的 高度，她沿树影BA由B向A走去，当走到C点时， 她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m，则树高为（ C ） A、4.8m B、6.4m 解：依题意知：ＥＣ⊥ＡB，于点 C、8m D、10m Ｃ，ＤＢ⊥ＡB于点Ｂ，
课堂抢答：
• ３、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ是Ａ Ｂ延长线上的一点，ＤＥ交ＢＣ于点Ｆ，ＢＥ： ＡＢ＝２：３，则△ＢＥＦ与△ＣＤＦ的周长 比为（ ２：３ ）；若△ＢＥＦ的面积为８平方 厘米，则△ＣＤＦ的面积为（ １８平方厘米 ）
Ｄ Ｃ Ｆ Ａ Ｂ
Ｅ
课堂抢答：
• ４、如图，铁道口的栏杆的短臂长1.25米， 长臂长16.5米，当短臂端点下降0.85米时， 长臂端点升高（ 11.22米 ）（杆的宽度忽略 不计）
解：设在△BMC地带种植
A
D
M
同样的太阳花需x元。
∵ AD∥BC ∴ △AMD ∽ △BMC ∴X/10:500/10=(20:10)2 解得 x=2000
B
C
∵剩余资金为1500元＜2000元
∴ 不够用。
勇往
直前
例5、如图, 等边⊿ABC，点D、E分别在BC、AC上,且BD AD与BE相交于点F. (1)试说明⊿ABD≌⊿BCE. (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由. (3)BD2=AD· DF吗?请说明理由.