2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件理

∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,
∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,∴|PF1||PF2|=2b2,
∴ S =PF 1F2 |P12 F1||PF2|= 12×2b2=b2=9.
∴b=3.
考点二 椭圆的几何性质
典例2 (1)已知椭圆 ax 22 +b y 22 =1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆
A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
长轴A1A2的长为⑦ 2a ;短轴B1B2的长为⑧ 2b |F1F2|=⑨ 2c
e= ac ,e∈ (0,1)
c2= a2-b2
3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
2
a2
4.设e是椭圆 x 2 + y 2 =1的离心率,且e=2 ,则实数k的值是
.
4k
3
答案 2 0 或 3 6
95
解析 当k>4时,有e= 1 =4 ,2 解得k= 3 6;当0<k<4时,有e= 1= k ,解2 得
k3
5
43
k= 2 0 .故实数k的值为 2 0 或3 6 .
9
95
上时,c=2,b=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为 x 2 +y2=1.当焦点在y轴上
5
时,b=2,c=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为 y 2 + x 2 =1.
54
(2)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8<16,∴动
圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,∴b2
(4) ax 22 +b y 22 =1(a>b>0)与ay 22 +bx 22 =1(a>b>0)的焦距相同. (√)
1.已知F1,F2是椭圆 1x 62 + y9 2 =1的两个焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两
点.在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
1
m
4
m
3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭
圆中心到l的距离为其短轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为 ( )
4
A. 1 B1 . 2C. 3 D.
3
2
3
4
答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=
a· b ,所以e=c 1 = .故选B.
答案 A 由题意及椭圆的定义知4a=4 ,3则a= ,又3 =c c= ,3∴c=
a 33
1,∴b2=2,∴C的方程为 x 2 + y 2 =1,选A.
32
1-2 (2014安徽,14,5分)设F1、F2分别是椭圆E:x2+ by 22 =1(0<b<1)的左、
右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程
x 2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
y 2 + x 2 =1(a>b>0)
a2 b2
性质 a、b、c间的关系
范围
对称性 顶点
轴 焦距 离心率
-a≤x≤a -b≤y≤b
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
5
45
D.以上答案都不对
(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相
内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
A. x 2 - y 2 =1
64 48
B.x 2 +y 2 =1
48 64
Cx .2 y -2 =1
48 64
1-1 已知椭圆C: ax 22 +b y 22 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率
为 3 ,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 3,则C的方程
3
为 ( )
A. x 3 2 + y2 2 =1
B.x 3 2 +y2=1
C1x.2 2 y+8 2 =1
D1x 22. y4 +2 =1
点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取
值范围.
解析 (1)设F(c,0),由 1 + =1 ,即3 e + 1 =1 ,可3 得c a2-c2=3c2,又
| O F | | O A | | F A | c a a(a c)
a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4,所以,椭圆的方程为 x 2 + y 2 =1.
心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为 ( )
A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0)
(2)(2016课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: ax 22 + by 22 =1
(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过
点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中 点,则C的离心率为 ( )
A. 1 B1 . 2C. 3 D.
3
2
3
4
答案 (1)D (2)A
解析 (1)∵圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,
∴圆心坐标为(3,0),∴c=3.又b=4,∴a= b=25. c2
∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的左顶点为(-5,0).
故椭圆的标准方程为 x 2 + y 2 =1.
43
a 2c 2,

b
2

3,
考点突破
考点一 椭圆的定义及标准方程
典例1 (1)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆
的标准方程为 ( )
A. x 2 +y2=1
5
B. x 2 +y 2 =1
45
C. x 2 +y2=1或x 2 +y 2 =1
Dx 2 . y +2 =1
64 48
(3)F1,F2是椭圆 x9 2 + y7 2 =1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则
△AF1F2的面积为 ( )
A.7 B. 7 C7. D7 . 5
4
2
2
答案 (1)C (2)D (3)C
解析 (1)直线与坐标轴的交点分别为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在x轴
2-1 (2016福建泉州质检)已知椭圆 x 2+ =y12的长轴在x轴上,焦距
m 2 10 m
为4,则m等于 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
答案 A ∵椭圆 x 2+ =y12的长轴在x轴上,
m 2 10 m
m 2 0 ,
∴

1
0

解m 得06, <m<10.
答案 A 根据椭圆的定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边 的长度为16-10=6.
2.椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于
()
A. 1 B.2 C.4 D1.
2
4
答案 D 由x2+ y 2 =1(m>0)及题意知,2 1 =2×2×1,解得m=1 ,故选D.
5.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率为 1 ,则椭圆的标准方程为
2
.
答案 解析
x 2 + y 2 =1
43
设椭圆的标准方程为 x 2 + y 2 =1(a>b>0),
a2 b2
c 1 ,
结合椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e= 12 ,得
c a

1 2
,解得
a 2 b 2 c 2 ,
=2
a
k ( a,所 c以) = 1 ,a即 ac =3c,所以e= .故1 选A.
c a
2 ac
3
方法技巧 求椭圆离心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.
=48,故所求的轨迹方程为 x 2 + y 2 =1.
64 48
(3)由题意得a=3,b= 7,c= , 2 ∴|F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2-4|AF1|+8,
∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
理数
课标版
第五节 椭圆
教材研读
1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做① 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ,两焦点间的距离 叫做椭圆的③ 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数. (1)若④ a>c ,则集合P表示椭圆; (2)若⑤ a=c ,则集合P表示线段; (3)若⑥ a<c ,则集合P为空集.
(2)由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=
k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设
ka
OE的中点为N,则N 0 , ,k2由a 于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,即
m 2 1 0 m ,
∵焦距为4,∴c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
2-2 已知F1,F2分别是椭圆C: ax 22 + by 22 =1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C
上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心率的
取值范围是 ( )
A. 23 , 1
25c2 9
b4 9b2
=1,又c2=1-b2,∴b2= 2 .故椭圆E的方程为x2+3 y2=1.
3
2
1-3 已知F1、F2是椭圆C: ax 22 +b y 22 =1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的
一点,且 P F ⊥1 P .F若2 △PF1F2的面积为9,则b=
.
答案 3
解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a, P F ⊥1 P ,F 2 ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
∴|AF1|= 7 .
2
∴ S =AF 1F2 ×12 72 ×2 ×2
=2 7.
22
方法技巧 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状 时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定 量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.如果 焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭 圆方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
圆E的方程为
.
答案 x2+ 3 y2=1
2
解析 不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).
又∵|AF1|=3|F1B|,∴由 A F =1 3 F 1得B B

,代53c入, x2b3+2 =1得 by +22
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔
x a
2 0 2
+y
b
2 0 2
<1;
(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔ x
a
2 0 2
Байду номын сангаас
+y
2 0
b2
=1;
(3)P(x0,y0)在椭圆外⇔ x
a
2 0 2
+y
2 0
b2
>1.
判断下面结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (×) (2)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. (√) (3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. (√)

B.

1 3
,
2 2
C .


1 3
D, 1.

0
,
1 3

答案 C 如图所示,
∵线段PF1的中垂线经过F2,
∴|PF2|=|F1F2|=2c,即椭圆上存在一点P,
使得|PF2|=2c.
∴a-c≤2c,∴ ac ≥13 ,又0<e<1,∴eac = ∈13 , 1 .
考点三 直线与椭圆的位置关系
典例3 (2016天津,19,14分)设椭圆 ax 22 + y3 2 =1(a> 3 )的右焦点为F,右顶 点为A.已知 1 + =1 ,其3 e中O为原点,e为椭圆的离心率.
|O F | |O A | |F A |
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于