江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(强化班) 答案和解析

江苏省无锡市天一中学【最新】高一下学期期中数学试题（强
化班）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知公比大于0的等比数列{}n a 满足13a =，前三项和321S =，则234a a a ++=（ ） A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
2．直线a 与直线b 为两条异面直线，已知直线//l a ，那么直线l 与直线b 的位置关系为（ ） A ．平行
B ．异面
C ．相交
D ．异面或相交
3．圆1O ：()()2
2
121x y -+-=与圆2O ：()()2
2
212x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离
B ．相切
C ．相交
D ．内含
4．已知点()0,0O ，()0,A b ，()1,1B .若OAB ∆为直角三角形，则必有（ ） A ．1b =
B ．2b =
C ．()()12=0b b --
D ．120b b -+-=
5．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，则在平面11ADD A 内与平面1D EF 平行的直线( )
A ．不存在
B ．有1条
C ．有2条
D ．有无数条
6．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为An 和Bn ，且745
3
n n A n B n +=+，则使得
n
n
a b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3
C ．5
D ．4
7．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()2
2
321x y ++-=
相切，则反
射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-
或35
B ．32-
或23
- C ．54-
或4
5
- D ．43-
或3
4
- 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的*n N ∈都有2
1n n S S n ++=，若{}n a 为
单调递增的数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．11,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ B ．11,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C ．11,44⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ D ．11,43⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
二、填空题
9．1l ：()1360m x y +++=，2l ：()120x m y +-+=，若12//l l ，则m =_____. 10．给出下列三个命题：
①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行；
④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____.
11．过三个点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交直线340x y +=与M 、N 两点，则
MN =____.
12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则11S =_____.
13．已知一组平行线n l 0n y c ++=，*n N ∈，其中13c =，且点()1,n n c c +在直线21y x =-上，则100l 与101l 间的距离为_____.
14．点P 为圆A ：()2
244x y -+=上一动点，Q 为圆B ：()()22
641x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，则PO PQ PB ++的最小值为______.
三、解答题
15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413,,a a a 成等比数列，等差数列{}n b 前n 项为n S ，且416S =，636S =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求和1122
111n n n
T a b a b a b =
+++
. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、
N 、D 三点的平面交PC 于M .
求证：（1）//PD 平面ANC ； （2）M 是PC 中点.
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(),n n P n S 都在函数
()22f x x x =+的图象上，记n a 与1n a +的等差中项为n k .
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2n k
n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（Ⅲ）设集合{
}*
,n A x x k n N ==∈，{}*
2,n
B x x a n N ==∈，等差数列{}n
c 的任
意一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B 中的最小数，且10110115c <<，求{}n c 的通项
公式.
18．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心O 后转向ON 方向，已知tan 2MON ∠=-，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出口B ，假设高架道路L 在AB
部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km .
（1）若OA =，求两站点,A B 之间的距离；
（2）公路MO 段上距离市中心
O
30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区.因考虑未来道路AB 的扩建，则如何在古建
筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？ 19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，
N 两点，设直线l 的方程为
(0)y kx k =>．
（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．
（ⅰ）若AB ≤
k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为
1k ，2k ，3k ，
是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
20．若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*
,N p q ∈使得p q a a c ==（c 为常数）；
②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n
=+
； ②sin 2n n a π
=； ③()()35n a n n =--
（2）设501012,150
2
,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列
{}n a 的前n 项和n S ；
（3）设()9310n
n a kn ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，
求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
根据13a =，前三项和321S =，代入前n 项和公式，求出q ，即可. 【详解】
()()31231=21=
311a q S q q q
-=++-，即2
60q q +-=，
解得2q ，3q =-（舍），
所以234
322142.a a a qS ++==⨯=
故选：B . 【点睛】
本题考查等比数列基本量的求解，方程思想可求解，属于基础题. 2．D 【分析】
两条直线的位置关系是异面，相交，平行，用反证法假设平行，推出矛盾，说明假设不成立，故而是异面或相交. 【详解】 假设l b ，又l
a ，根据公理3可得a
b ∥，这与a 与b 是异面直线矛盾，故假设不成立，
所以l 与b 异面或相交. 故选：D . 【点睛】
本题考查空间中两直线位置关系，是概念辨析题，属于基础题. 3．A 【分析】
根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出两个圆的圆心距，分析可得1212O O r r >+，由圆与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】
根据题意，圆1O ：()()2
2
121x y -+-=的圆心为(1，)2，半径1=1r ，圆2O ：
()()
22
212x y -++=的圆心为(2，)1-，半径2r =
12O O ==121r r +=，则有1212O O r r >+，两圆外离；
故选A . 【点睛】
本题考查两圆位置关系，圆心距大于两圆半径之和为相离，属于基础题. 4．C 【分析】
根据题意即可得出OB AB ⊥或OA AB ⊥，而可求出()1,1OB =，()=1,1AB b -，
()0,OA b =，从而得出0OB AB ⋅=，0OA AB ⋅=，从而求出b 的值.
【详解】
根据题意知，OB AB ⊥或OA AB ⊥；
()1,1OB =，()=1,1AB b -，()0,OA b =；
110OB AB b ⋅=+-=，或010OA AB b ⋅=+-=
2b ∴=，或1b =，则有(1)(2)0b b --=
故选：C . 【点睛】
本题考查向量垂直，转化成数量积为零，计算求解，属于基础题. 5．D 【分析】
根据已知可得平面11ADD A 与平面1D EF 相交，两平面必有唯一的交线l ，则在平面11ADD A 内与交线l 平行的直线都与平面1D EF 平行，即可得出结论. 【详解】
平面11ADD A 与平面1D EF 有公共点1D ，
由公理3知平面11ADD A 与平面1D EF 必有过1D 的交线l ， 在平面11ADD A 内与l 平行的直线有无数条，
且它们都不在平面1D EF 内，
由线面平行的判定定理可知它们都与平面1D EF 平行. 故选：D. 【点睛】
本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题. 6．C 【解析】
∵数列{a n }和{b n }均为等差数列，且其前n 项和An 和Bn 满足7453
n n A n B n +=+，则 12121121
21()
2143872n+2)+2424122=7=7+()222222212
n n n n n n n n n a a a a A n n b b b b B n n n n ----++=====++++++（.
所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，n
n
a b 为整数. 故选C.
7．D 【分析】
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-，设反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率k . 【详解】
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-， 设反射光线所在直线的斜率为k ，
则反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=， 又由反射光线与圆()()2
2
321x y ++-=
1=，
整理得21225120k k ++=，解得43
k =-或34k =-.
故选：D. 【点睛】
过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况. 8．C 【分析】
根据数列的递推关系求出22n n a a +-=，根据{}n a 为单调递增的数列，则只要满足
1234a a a a <<<，即可，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
对于任意的n *∈N 都有2
1n n S S n ++=，①
()2
121n n S S n ++∴+=+，②
②-①得
()2
212=121n n a a n n n ++++-=+，③
则当2n ≥时，121n n a a n ++=-，④
③-④得22n n a a +-=，也就是当2n ≥时，隔2项成等差数列，公差为2.
{}n a 为单调递增的数列
∴只要保证1234a a a a <<<可以保证整个数列单调递增.
当1n =时，1121a a a ++=，即2112a a =-，
当2n =时，121234a a a a a ++++=，即123224a a a ++=， 则31214222a a a a =--=+，421232a a a =+=-， 代入1234a a a a <<<，得1111122232a a a a <-<+<-，
即1111111212222232a a a a a a <-⎧⎪-<+⎨⎪+<-⎩，即11113
1414a a a ⎧<⎪⎪
⎪
>-⎨⎪
⎪
<⎪⎩
，即11144a -<<，
即1a 的取值范围为14⎛-
⎝
，14⎫
⎪⎭
故选：C 【点睛】
运用数列常用公式1(2)n n n a S S n -=-≥求解递推关系，判断数列性质，有一定难度. 9．-2. 【分析】
根据两直线平行的公式，即可求解参数值. 【详解】 依题意，1
2l l
()()11310m m ∴+--⨯=且()21160m +-⨯≠
解得：2m =- 故答案为：2- 【点睛】
本题考查解析几何中两直线平行公式，属于基础题. 10．1. 【分析】
根据空间中，直线与直线位置关系，逐一判断，即可求解. 【详解】
①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错；
②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错；
③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对 只有一个结论正确 故答案为：1 【点睛】
空间中直线与直线位置关系，与平面内直线与直线位置关系有所不同，需仔细辨析，本题属于中等难度.
11
．【分析】
根据题意，设圆的方程为
220x y Dx Ey F ++++=，代入三个点的坐标，求出D ，E ，F ，即可得圆的方程，分析
圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】
根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=，
圆过三个点(1A ，)3，(4B ，)2，(1C ，)7-，则有193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪
++++=⎨⎪++-+=⎩
，
解可得：2D =-，4E =，20F =-，即圆的方程为2
2
24200x y x y +-+-=， 变形可得：()()2
2
1225x y -++=， 其圆心为(1，)2-，半径为=5r ； 圆心到直线340x y +=的距离
1d =
=
，则2MN =
=，
故答案为：【点睛】
本题考查待定系数法确定圆的一般方程，考查了几何法求解直线与圆相交弦长问题，属于基础题. 12．1365 【分析】
推导出11222n n
n n a a -++=⨯=，
()()()()()112345678910111S a a a a a a a a a a =++++++++++，由此能求出结果.
【详解】
n S 是数列{}n a 的前n 项和，
11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列， 11222n n n n a a -+∴+=⨯=，
()()()()()246810111234567891011=1222221365
S a a a a a a a a a a a ++++++++++=+++++=
故答案为：1365. 【点睛】
本题考查并项求和，需仔细辨析项数，属于中等偏难题型. 13．992. 【分析】
由题意可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-，由等比数列的通项公式可得所求
12n n c =+，再由两平行直线的距离公式可得所求值.
【详解】
13c =，且点(n c ，)1n c +在直线21y x =-上，可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-， ∴数列{}1n c -为等比数列，公比为2
可得()1
1112
2n n n c c --=-⋅=，即12n n c =+，
可得直线120n n l y +++=，则100l 与101l 间的距离为992d ==.
故答案为：992. 【点睛】
本题考查数列求通项公式中的构造等比数列方法，和两平行直线距离公式，有一定难度. 14．9 【分析】
取点(3,0)C ，则2PO PC =，将PO PQ PB ++的最小值转化为BC 距离，即可得到所求. 【详解】
P 为圆A ：22(4)4x y -+=上一动点，Q 为圆B ：22
(6)(4)1x y -+-=上一动点，
O 为坐标原点，
取(3,0)C ，则
1
2
AC AP AP AO ==， ACP APO ∴
2PO PC ∴=
21PO PQ PB PO PB ∴++=+- 221219PC PB BC =+-≥-=
故答案为：9 【点睛】
本题考查距离最短问题，将距离转化，利用两点间线段最短，求解最短距离. 15．.（1）21n a n =+，21n b n =-；（2）21
n n
T n =+. 【分析】
（1）分别运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）由（1）得，
11111()(21)(21)22121
n n a b n n n n ==--+-+，运用裂项相消求和，化简可得所求和.
【详解】
（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413a a a ，，成等比数列，
可得24113a a a =，即2
(33)3(312)d d +=+，解得2d =，即21n a n =+；
等差数列{}n b 的公差设为m ，前n 项和为n S ，且416S =，636S =，
可得14616b m +=，161536b m +=，解得11
2b m ==， 则21n b n =-；
（2）由（1）结论，
11111
()(21)(21)22121
n n a b n n n n ==--+-+ 则1122111111111...(1...)23311(1)52112221
n n n T a b a b a b n n n =
+++=-+-+=--+++-21
n n =
+ 【点睛】
（1）考查等差数列基本量的求法，分别通过通项公式和前n 项和公式列方程，通过方程求解首项和公差，是等差数列常见方法；（2）裂项相消求和，通项公式可化简差的形式，适合裂项相消求和.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）作辅助线，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理，由线线平行证明线面平行； （2）先利用线面平行的判定定理证明BC ∥平面ADMN ,再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M 是PC 中点. 【详解】
证明：（1）连结,BD AC ，设AC
BD O =，连结NO ，
ABCD 是平行四边形，
O ∴是BD 的中点，在PBD ∆中，N 是PB 的中点，
//PD NO ∴，
又NO ⊂平面ANC ，PD ⊄平面ANC ，
//PD ∴平面ANC ，
（2）
底面ABCD 为平行四边形，
//AD BC ∴，
BC ⊄平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ， //BC ∴平面ADMN .
平面PBC
平面ADMN MN =，
//BC MN ∴，又N 是PB 的中点，
M ∴是PC 的中点.
【点睛】
（1）利用三角形中位线平行于底边证明线线平行，再证线面平行是证明线线平行的常见方法；（2）考查线面平行的性质定理；有一定难度，属于中等题型. 17．（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）26116
499
n n n T ++=⋅-；（Ⅲ）126n c n =-. 【分析】
（Ⅰ）根据点(,)n n P n S 都在函数2
()2f x x x =+的图像上，可得22()n S n n n N *=+∈，再
写出1n S -，两式相减，即可求得数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求数列的和； （Ⅲ）先确定A
B B =,再确定{}n c 是公差为4的倍数的等差数列，利用10110115c <<，
可得10114c =，由此可得{}n c 的通项公式.
【详解】 （Ⅰ）
点(),n n P n S 都在函数()2
2f x x x =+的图象上，
()2*2n S n n n N ∴=+∈，
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+. 当1n =时，113a S ==满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （Ⅱ）n k 为n a 与1n a +的等差中项
12n n n a a k ++∴=
=()21211
222
n n n ++++=+ 2n k n n b a ∴==()4214n n ⋅+⋅.
12434454n T ∴=⨯⨯+⨯⨯+()34744214n n ⨯⨯+
+⨯+⨯①
由①4⨯，得23
4434454n T =⨯⨯+⨯⨯+()4
14744214n n +⨯⨯+
+⨯+⨯②
①-②得：(
)()2
3
134342444214n n n T n +⎡⎤-=⨯+⨯++
+-+⨯⎣⎦
()()211414434221414n n n -+⎡⎤-⎢⎥=⨯+⨯-+⨯-⎢⎥⎣⎦
26116499
n n n T ++∴=⋅-
（Ⅲ）{
}*
,n A x x k n N
==∈，{}*
2,n
B x x a n N ==∈
A B B ∴=
n c A B ∈⋂，1c 是A B 中的最小数，16c ∴=.
{}n c 是公差为4的倍数的等差数列，()*1046c m m N ∴=+∈.
又10110115c <<，*
11046115
m m N <+<⎧∴⎨∈⎩
，解得27m =. 所以10114c =，
设等差数列的公差为d ，则101101c c d -=
=-1146
129
-=，
()6112n c n ∴=+-⨯126n =-，
126n c n ∴=-.
【点睛】
本题考查：（Ⅰ）已知前n 项和公式求通项公式，11n n
n S a S S -⎧=⎨-⎩ 1
2n n =≥；（Ⅱ）数列求和方
法：错位相减法；（Ⅲ）结合集合中交集运算，判断等差数列；本题考查知识比较全面，属于难题. 18．（1
）)
20
1；（2）设计出入口A 离市中心O
的距离在到20km 之间时，
才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 【分析】
（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=， 则34EOB πα∠=
-，（42ππα<<），可得10tan AE α=，310tan 4BE πα⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，可求310sin
43cos cos 4AB π
παα=⎛⎫⋅- ⎪
⎝⎭
，又3cos cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝
⎭1sin 2244πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合4
2
π
π
α<<
，可得max
32cos cos 44παα⎛⎫
⋅-=
⎪⎝⎭，即可求解两出入口之间距离的最小值.
（2）设切点为F ，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设直线AB 的方程为(0)y kx t k =+>，可求20t k =，或60t k =（舍去），可求(20,0)A -，此时20OA =，又由（1）可知当//AB ON
时，OA =，综上即可求解. 【详解】
（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=， 则34
EOB πα∠=
-，（42ππ
α<<），
故10tan AE α=，310tan 4BE πα⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，
310tan 10tan 4AB παα⎛⎫
=+- ⎪
⎝⎭
3sin sin 4103cos cos 4πααπαα⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
310sin 43cos cos 4ππαα=⎛⎫
⋅- ⎪⎝⎭，
又3cos cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝
⎭cos cos sin 22ααα⎛⎫=⋅-+ ⎪ ⎪⎝
⎭1sin 2244πα⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭， 由
4
2
π
π
α<<
，得32,444π
ππα⎛⎫
-
∈ ⎪⎝⎭
，
故max
32cos cos 44παα⎛⎫
⋅-=
⎪⎝⎭，当且仅当242ππα-=，38πα=时取等号.
此时，AB
有最小值为)
20
1.
即两出入口之间距离的最小值为)
20
1.
（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，
根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F 此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线.
因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，
建立平面直角坐标系xOy 由5CF =，10OE =，
因为圆O 的方程为2
2
100x y +=，圆C 的方程为()2
23025x y ++=，
设直线AB 的方程为()0y kx t k =+>，
则105
==所以，两式相除，得
230t k t =-+， 所以20t k =或60t k =，
所以此时()20,0A -或()60,0A -（舍去），此时20OA =， 又由（1）知当//AB ON
时，OA =
综上，()
20OA ∈.
即设计出入口A 离市中心O
的距离在到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 【点睛】
（1）实际应用问题中，三角函数的应用，可利用三角函数的有界性取得最小值； （2）由实际问题建立平面直角坐标系，运用直线与圆的位置关系，确定参数范围. 19．（1
）y x =；（2
）14k ≤<
3）见解析 【解析】
试题分析：（1）由题意0k >，圆心C 到直线l
的距离d =
由直线l 与圆C
相切得
15
k =
，由此能求出直线l 的方程；（2）（i
）由题意得：017AB <=≤
， d =
k 的取值范围；(ii)()1
:3AM l y k x =-与圆C ()22:41x y -+=联立，得：()()()
22
1131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣
⎦，由韦达定理求出,A B 的坐标，从而得到
()()()22
1131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，
由此能证明存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立． 试题解析：（1）解：由题意，0k >， ∴圆心C 到直线l
的距离d =
∵直线l 与圆C
相切，∴1d =
=，
∴15k =
，∴直线:15
l y x =． （2
）解：由题意得：017AB <=≤
，∴117
d ≤<， 由（1
）可知：d =
1≤<，
∴
14k ≤<
． （3）证明：()1:3AM l y k x =-，与圆C ()2
2:41x y -+=联立，得：
()()()22
1131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，
∴3M x =，212135
1A k x k +=+，∴2112211352,11k k A k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫
+- ⎪
++⎝⎭， ∵OA OB k k =， ∴1222
122
21222
122211355311k k k k k k k k -++=++++，即()()12121350k k k k ++=， ∵121k k ≠-，∴213
5
k k =-
， 设()00,P x y ， ∴()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴120
1212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=
⎪-⎩
， ∴12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫
⎪⎝⎭，
∴1
313141554
k k k ==，∴12132
25k k k k +==，
∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立．
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求直线方程、直线与圆的位置关系以及解析几何中的
存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.
20．(1) ①③是双底数列，②不是双底数列(2) 1m =- 249100,150
22548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩
（3）
存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列 【解析】
试题分析：（1）根据双底数列的定义可判定①③是双底数列，②不是双底数列；（2）由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，
()
29910121002
n n n S n n +-=
=-，当50n >时，
()()
()
22501005050212121n n S -=⨯-+-+-+
+-，从而可得结果；（3）
()119931010n
n n a a k kn +⎛⎫
-=-- ⎪⎝⎭
， 若数列{}n a 是双底数列，
则93k kn -=有解（否则不是双底数列），即 3
9n k
-
=，该方程共有四组解，分别验证是否为双底数列即可得结果. 试题解析：（1）①③是双底数列，②不是双底数列； （2）数列{}n a 当150n ≤≤时递减，当50n >时递增， 由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，()
29910121002
n n n S n n +-=
=-，
当50n >时，()()
()
2
2
501005*********n n S -=⨯-+-+-+
+- 4922548n n -=-+，
综上，249
100,150
2
2548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩. （3）()()1
199331010n n
n n a a kn k kn ++⎛⎫⎛⎫
-=++-+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，
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答案第17页，总17页 ()()93931010n kn k kn ⎛⎫++⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()19931010n k kn ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列），
即 39n k
-=， 得16k n =⎧⎨=⎩或38k n =⎧⎨=⎩或112k n =-⎧⎨=⎩或310k n =-⎧⎨=⎩
故当1k =时，()13961010n n n a a n +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 当15n ≤≤时，1n n a a +>；当6n =时，1n n a a +=；当7n ≥时，1n n a a +<；
从而 12345678
a a a a a a a a <<<= ，数列{}n a 不是双底数列； 同理可得：
当3k =
时，12
891011a a a a a a = ，数列{}n a 不是双底数列； 当1k =-时，1212131415a a a a a a >>
>=<<< ，数列{}n a 是双底数列； 当3k =-时，1210111213a a a a a a >>>=<<<
，数列{}n a 是双底数列； 综上，存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列.
【方法点睛】本题考查数列的通项公式及求和公式、新定义问题的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义双底数列达到考查数列性质的目的.。