微分方程组解法举例
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
微分方程的解
微分方程数值解
dy f ( x, y ) x [ a , b ] dx y ( a ) y0
ode23tb 刚性 刚性 分；精度中等 尝试使用 单步法；2 阶Rosebrock 算 当精度较低时，计算时 间比 ode15s 短 法；低精度 梯形算法；低精度 当精度较低时，计算时 间比ode15s短
注意: 1、在解n个未知函数的方程组时，y0和y均为n维向量， m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、如果需求解的问题是高阶常微分方程，则需将其化 为一阶常微分方程组，此时需用函数文件来定义该常微 分方程组. 3、odefun 为显式常微分方程，可以用命令inline 定义，或在函数文件中定义，然后通过函数句柄调用.
k k
几何意义
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
Euler 折线法举例
例6：用 Euler 法解初值问题 2x dy y 2 y x [0, 2 ] dx y(0) 1 解：取步长 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程
n
等距剖分： a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b 步长：h x k 1 x k ( b a ) / n , 差商代替微商
y ( x k 1 ) y ( x k ) dy y ( x k 1 ) y ( x k ) h y '( x k ) dx x h k y0 y ( x 0 ) k = 0, 1, 2, ..., n-1 得方程组： y k 1 y k h f ( x k , y k ) x x h y 是 y (x ) 的近似 k k 1
微分方程及其解法与计算
设计控制系统的控制器
06
微分方程的数值解法应用实例
欧拉方法的应用实例
描述：欧拉方法是一种常用的数值解法，用于求解微分方程 实例：行星运动轨道的计算 实例：电路中电流和电压的计算 实例：弹性力学中应力和变形的计算
龙格-库塔方法的应用实例
简介：龙格-库塔方法是一种常用 的数值解法，用于求解微分方程 的近似解。
变量代换法
定义：通过引入 新的变量来简化 微分方程的过程
适用范围：对于 某些复杂的微分 方程，通过代换 可以将方程化简 为更易于处理的 形式
方法步骤：选择 适当的代换变量， 将原方程中的未 知函数和其导数 表示为代换变量 的函数和其导数， 从而将原方程转 化为更简单的方 程
举例说明：例如， 对于形如 dy/dx=f(x,y) 的微分方程，可 以通过令y=tx 来代换，将其转 化为关于t和x的 方程
优缺点：简单易行，但精度较 低，稳定性较差
龙格-库塔方法
定义：一种数 值求解常微分
方程的方法
原理：基于泰 勒级数展开， 通过迭代逼近 微分方程的解
步骤：选择初 始值，迭代计 算，直到满足
精度要求
优点：精度高， 适用范围广
步长控制与误差估计
步长控制：选择合适的步长是数值计算的关键，太小会增加计算量，太大可能导致误差累积 误差估计：通过误差估计可以了解数值解的精度，有助于调整步长或算法参数 收敛性：数值解应随着步长的减小而逐渐接近精确解 稳定性：数值解在计算过程中应保持稳定，避免出现大的波动或发散
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微分方程及其解法与计算
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添加目录项标题 微分方程的基本概念
微分方程的求解方法例题
微分方程的求解方法例题1. 基础概念简介在数学中，微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
它是很多科学领域的基础理论，包括物理、工程、经济等。
求解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界的现象。
常见的微分方程类型包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程仅涉及一个未知函数的变量和它的导数，而偏微分方程涉及多个未知函数和它们的偏导数。
2. 常见的求解方法2.1 分离变量法分离变量法适用于一阶常微分方程。
它的基本思想是将未知函数和它的导数分离到等式的两边，然后对两边积分。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x/y，我们可以将其改写为y dy = x dx。
将两边同时积分得到：∫y dy = ∫x dx解这两个积分后得到：y^2/2 = x^2/2 + C其中C为常数。
2.2 变量替换法变量替换法适用于一阶或高阶常微分方程。
它的思想是通过引入新的变量替换原方程，使得新方程容易求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + y = 0，我们可以引入新变量 v = y'，得到一阶常微分方程 v' + y = 0。
我们可以用分离变量法解得v = -y + C1，再对 v = y' 进一步积分得到 y = -x + C2*e^x，其中 C1 和 C2 是常数。
2.3 特征方程法特征方程法适用于线性常系数常微分方程。
它的基本思想是将未知函数假设为指数函数形式，然后根据方程的特征求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + 3y' + 2y = 0，我们可以假设 y= e^(rx)，其中 r 是未知常数。
将这个假设带入原方程得到特征方程r^2 + 3r + 2 = 0。
解这个特征方程得到 r1 = -1 和 r2 = -2。
因此，通解可以表示为 y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是常数。
2.4 数值方法数值方法适用于无法用解析方法求解的微分方程。
常微分方程组解法
常微分方程组解法常微分方程组是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解决常微分方程组的问题是确定每个未知函数的表达式，以满足方程组中的所有方程。
常微分方程组的解法有许多种方法，本文将介绍其中几种常用的解法。
1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将常微分方程组中的每个未知函数分离成独立变量的形式的情况。
首先，将每个未知函数表示为单独的变量乘以一个函数的形式，然后将这些表达式代入方程组，最后将方程组化简为一系列独立的方程。
解决这些方程可以得到每个未知函数的解析解。
2. 线性组合法（Linear Combination）线性组合法适用于常微分方程组中的每个未知函数表达式可以通过其他未知函数的线性组合来表示的情况。
通过选择适当的线性组合系数，可以将方程组化简为一系列只含一个未知函数的方程。
然后，解决这些方程可以得到每个未知函数的解析解。
3. 齐次线性微分方程组的特征方程法（Characteristic Equation）齐次线性微分方程组的特征方程法适用于常微分方程组中的每个未知函数满足线性微分方程的情况。
首先，将未知函数表示为指数函数的形式，然后代入方程组，得到一个特征方程。
解这个特征方程可以得到每个未知函数的通解。
最后，通过添加特定的解（特解）来得到完整的解。
4. 变量替换法（Change of Variables）变量替换法适用于常微分方程组中的每个未知函数可以通过对原始变量进行适当的变换来表示的情况。
通过选择适当的变量替换，可以将方程组转化为具有更简洁形式的方程。
解决这些方程可以得到每个未知函数的解析解。
总结起来，常微分方程组的解法有分离变量法、线性组合法、特征方程法和变量替换法等。
根据具体的问题，我们可以选择适当的解法来求解常微分方程组，以得到满足方程组的每个未知函数的解析解。
这些解法在实际应用中具有广泛的适用性，为解决各种物理、工程和经济问题提供了有效的数学工具。
具重特征根的常系数线性齐次微分方程组的一种解法
具重特征根的常系数线性齐次微分方程组的一种解法
讲解高斯消元法
高斯消元法是用来求解常系数线性齐次微分方程组的一种解法，也称作高斯去
除或高斯消元。
它是利用矩阵乘法和加法进行计算的一种方法，按照消元的原则进行计算，使方程组化为严格看起来简单的形式，进而方程组有解。
在使用高斯消元法求解齐次微分方程组之前，首先要将齐次微分方程组以矩阵
的形式表示出来，这个矩阵的每一列代表微分方程组中的一个方程，剩下的空格则以0补齐。
然后用高斯消元法的方法依次消元，消元的过程是把法系数的第一行的三个数除以它自身的系数A1，然后会把A1乘以剩下的行，逐行进行消元，最后将
能消元掉的变量从左到右逐行消元掉，最后就得到一个简单易求解的齐次微分方程组，这时候得到了所有求解变量的值，我们就可以求解出最终的齐次微分方程组。
高斯消元法也用在其他种类的线性齐次方程组中，只需要将非齐次方程适当的
进行转换，就可以弄成齐次方程，然而使用高斯消元法的问题的难度一般较高，所以不一定适用于所有的情况，而且，高斯消元法仅仅适用于常系数线性齐次微分方程，而不适用于常系数非线性齐次方程组。
因此，高斯消元法是一种有效且可靠的求解常系数线性齐次微分方程组的方法，它可以有效的减少运算时间，而且可以能够求解出一般的齐次微分方程组，但要注意它只适用于常系数线性齐次方程组。
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
六种特殊的一阶微分方程解法
阶线 性 方 程 ： 努 利 方 程 ； 微 分 方 程 伯 全
例３求 方 ： ＋ 解 程 量Ｖ 戈 一． 一— ｊ
含 有 未 知 函数 的 导数 （ 微 分 ） 或 的方 程 称 为 微 分 方 程 ，
方 程 中未 知 函数 导数 的 最 高 阶 数 称 为该 方 程 的 阶 ． 文 仅 本 讨 论 一 阶 微 分 方 程 的 解 法 ， 体 归 纳 了 六 种 形 式 ： 量 可 具 变
［ Ｊ Ｑ） （
ｆ（＾ Ｐ）
＋ ・ Ｊ
ｏ Ｖ
］
例 ５ 求 方 程 （ Ｏ ＋ｓ ２ ） ，Ｉ０ ＣＸＹ ｉ ｙ） ＝ｌＹ ＝０的特 解 ｎ ， ＝
解 将方 程 改 写 为
Ｖ
ｌ ‘ 理 ｌ “譬， 一 为 【 ｕ ＝ Ⅱ 争整 ， ＋） 再 分 形 （ 一 ）＝譬， 积变 』 ｄ 』 得 — ｝
十 １ ，一
ｊ
故 通 解 为 ｃ ［ｓ （ ＋Ｙ 一ｃｔｘ＋ ） ＝１ ｘｃｃｘ ） ｏ（ Ｙ ］ ．
注 此例运 用变 量替换 将 问题转 换 成变量 可分 离的方 程．
二 、 次 方 程 齐
解因 一＝ 为 ２ ｌ
解程｛ ： ： ＝ｙ． 方组 ： 得 ： ，２
于 令 ＝＋） ＋，方 化 ＝等 ， 是 １＝ ２ 程 为 ， 将 ，
Ｂｘ
一 ＋２ ｘ＋６ ｃ ｙ＝ ．
ｃ ｌ ｘ
一厂
４形如 ： ． ＋尸 ｙ＝Ｑ（ ． ｄ （） ）
ｘ
解 令 “＝卫 ， ， ｙ＝ 则
ｘ ｎｘ
， 程 变 形 为 方
解法 觎
：
¨
詈：
即 ｃｘ 磐 ｌ
＝
，
代 式 ｅ 公
解常微分方程的方法及应用
解常微分方程的方法及应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是含有未知函数的导数的关系式。
在物理、化学、工程等领域中，常微分方程被广泛应用于建模和解决实际问题。
本文将介绍解常微分方程的几种常见方法，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、分离变量法分离变量法是解常微分方程中最基本的方法之一。
对于形如dy/dx= f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy和1/f(y)，然后两边同时积分，从而将原方程分离为两个变量的方程。
最后再对方程进行求解，得到的解即为原方程的解。
这种方法适用于许多一阶和高阶常微分方程的求解。
二、常系数齐次线性微分方程的求解常系数齐次线性微分方程是指形如dy/dx + ay = 0的方程，其中a为常数。
这类方程的解可以通过特征方程的求解得到。
我们可以首先假设解为y = e^(rx)，其中r为常数，代入方程中得到特征方程ar^2 + r = 0。
解特征方程后，可以得到两个不同的解r1和r2。
最后，将通解表示为y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数，即为原方程的解。
三、变量可分离的高阶微分方程的解法对于一些高阶微分方程，可以通过变量代换和变量分离的方法将其转化为一系列一阶变量可分离的方程。
首先，通过变量代换将高阶方程转化为一阶方程组，然后再利用分离变量法逐个求解一阶方程。
最后，将解代入原方程组，得到原方程的通解。
这种方法可以简化高阶微分方程的求解过程。
四、常微分方程在物理和工程中的应用常微分方程在物理和工程学中有着广泛的应用。
举例来说，经典力学中的牛顿第二定律可以用微分方程来描述：F = ma，其中F是物体所受的外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个方程可以通过求解微分方程来得到物体的位移函数。
另外，电路中的RC和RLC电路也可以通过微分方程来描述响应和稳定性。
此外，生物学中也常常使用微分方程模型来描述生物体的生长和变化过程。
常微分方程常见形式及解法
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：
常微分方程 毕文彬
7
一般通解
常微分方程 毕文彬
通解
9
历史ⅱ岳麓版第13课ห้องสมุดไป่ตู้通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中
华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进
程的里程碑。
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
常微分方程 毕文彬
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程 毕文彬
5
01一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
常微分方程 毕文彬
推导微分方程的基本概念与解法
推导微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、生物学、经济学等。
本文将介绍微分方程的基本概念与解法，帮助读者对此有一个清晰的认识。
一、微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式可表示为：dy/dx = f(x)。
其中，y表示未知函数，x表示自变量，dy/dx是y对x的导数，f(x)是已知函数。
微分方程根据未知函数的阶数进行分类，分为一阶微分方程和高阶微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是x和y的已知函数。
解一阶微分方程的基本方法有分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
- 分离变量法：将方程两边的变量分离，形成dy/y = f(x)dx的形式，再对两边分别积分求解。
- 齐次方程法：对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的方程，若f(x, y)和g(x, y)具有相同的次数，且g(x, y)不为0，则可通过变量代换将其转化为分离变量法解。
- 线性方程法：对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的方程，可使用积分因子法将其转化为可分离变量的形式，然后通过分离变量法解。
2. 高阶微分方程高阶微分方程是包含高阶导数的方程。
解高阶微分方程的常见方法有常系数线性齐次微分方程的解法、常系数非齐次微分方程的解法等。
- 常系数线性齐次微分方程的解法：对于形如a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = 0的方程，其中a_i为常数，可通过猜测法得出通解。
- 常系数非齐次微分方程的解法：对于形如a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)的方程，其中f(x)为已知函数，可通过求齐次方程和特解的和作为通解。
二、微分方程的解法举例下面通过具体的例子来说明微分方程的解法。
数学复习常微分方程的解法
数学复习常微分方程的解法数学复习：常微分方程的解法一、引言在数学中，微分方程是描述自然界中许多物理现象的重要工具之一。
常微分方程是一类只涉及一个自变量的微分方程，求解常微分方程是数学学习中的重要内容。
本文将介绍几种常见的常微分方程的解法。
二、一阶常微分方程的解法1. 可分离变量法如果常微分方程可以化为dy/dx=f(x)g(y)的形式，那么可以通过分离变量法求解。
具体的步骤如下：- 将f(x)g(y)的形式转换为dy/g(y)=f(x)dx。
- 两边同时积分，得到∫1/g(y)dy=∫f(x)dx。
- 对两边分别求积分，得到F(y)=∫1/g(y)dy和F(x)=∫f(x)dx，其中F(x)和F(y)分别为积分常数。
- 最后将F(y)=F(x)+C整理为y的显式表达式。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx=f(y/x)的齐次方程，可以通过以下步骤求解：- 令u=y/x，即y=ux。
- 将dy/dx=f(y/x)化为dy/du=xf(u)。
- 通过分离变量法求解上述方程，得到∫1/f(u)du=∫xdx。
- 对两边求积分，再整理为u(x)的显式表达式，即u(x)=∫1/f(u)du+C。
- 最后将u=y/x代回，得到y(x)=xu(x)。
3. 线性方程法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性常微分方程，可以通过以下步骤求解：- 将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
- 通过积分因子mu(x)=exp(∫p(x)dx)将方程转化为(mu(x)y)'=mu(x)q(x)。
- 对等式两边同时求积分，得到mu(x)y=∫mu(x)q(x)dx。
- 将上式整理为y的显式表达式。
三、高阶常微分方程的解法对于高于一阶的常微分方程，通常需要进行一定的变换或者使用递推方法进行求解。
以下介绍一些常见的高阶常微分方程的解法。
1. 特征方程法对于形如yⁿ+a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+a⁽²⁾y''+a₁y'+a₀y=0的n阶常微分方程，可以通过解特征方程来获得通解。
微积分：二阶微分方程
二、二阶常系数线性微分方程
一般形式 y+by+cy=f(x)
当f（x）=0时，称为齐次的， 当f（x） 0时，称为非齐次的。
1、解的结构 引进微分算子：L[y] y+b y+cy 则方程分别记为
L[y]=f(x)， L[y]=0 性质1
L[cy]=cL[y]，c为常数。
性质2
L[y1+y2]= L[y1]+ L[y2]。
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
r1 r2 3 故通解 y (C1 C2 x)e3x .
若有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
比较系数
2b0 3,2b0 b1 1.
b0
3, 2
b1
4.
y* x( 3 x 4)e x
2
通解
y
C1e x
C2e2x
x(
3 2
x
4)e x .
例3 求y 3x 1的一个特解。
解 r 2 0 0是重根，
设 y* x 2 (b0 x b1 )e0x 将y *、y *、y * 代入微分方程,
C2 x)e x
]
则，方程组的解为
z (C1 C2 x)e x
y
1 2
(2C1
C2
2C2 x)e x .
例2 解方程组
3
dx
dt dx
dy
dt dy
x y
0 et
(1) (2)
dt dt
微分方程组的应用：
例3 捕食 — 被捕食模型
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常微分方程的解法
常微分方程的解法常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，它研究的是包含未知函数及其导数的方程。
在科学和工程领域中，常微分方程被广泛应用于描述自然现象和系统行为的数学模型。
解常微分方程是研究ODE的核心问题，本文将介绍几种常见的常微分方程解法。
一、分离变量法对于某些可分离变量的常微分方程，我们可以通过将未知函数和变量分离来求解方程。
具体步骤如下：1. 将方程变形，将所有含有未知函数及其导数的项移到等式的一侧；2. 将含有未知函数的项移到一侧，含有变量的项移到另一侧；3. 对两边同时积分，得到解的形式。
例如，考虑求解以下常微分方程：$$\frac{{dy}}{{dx}} = x^2$$将方程分离变量并进行积分，得到：$$\int{1}\ dy = \int{x^2}\ dx$$积分后得到：$$y = \frac{{x^3}}{{3}} + C$$其中C为积分常数，代表无穷多个可能的解。
二、线性线性常微分方程是指方程中的未知函数及其导数项构成一个线性组合的方程。
对于形如$${{d^n y}\over{dx^n}} + a_{n-1}{{d^{n-1} y}\over{dx^{n-1}}} + \ldots + a_1{{dy}\over{dx}} + a_0y = f(x)$$的线性常微分方程，其中$f(x)$为已知函数，我们可以使用特征方程来求解。
1. 求解特征方程$${{d^n r}\over{dr^n}} + a_{n-1}{{d^{n-1}r}\over{dr^{n-1}}} + \ldots + a_1{{dr}\over{dr}} + a_0r = 0.$$特征方程的解为$r_1, r_2, \ldots, r_n$；2. 如果特征方程的解都是实数，则对应的齐次解为$$y_c(x) =C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \ldots + C_ne^{r_nx}$$其中$C_1, C_2,\ldots, C_n$为常数；3. 如果特征方程的解包含复数，则对应的齐次解为$$y_c(x) =e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$$其中$\alpha$和$\beta$是复数，$C_1$和$C_2$是常数；4. 采用常数变易法，设待求的解可以表示为$$y_p(x) =u_1(x)e^{r_1x} + u_2(x)e^{r_2x} + \ldots + u_n(x)e^{r_nx}$$将$u_1(x),u_2(x), \ldots, u_n(x)$代入原方程得到未知常数的方程组，并解此方程组得到$u_1(x), u_2(x), \ldots, u_n(x)$；5. 根据待定系数法，将所有齐次解$y_c(x)$和特解$y_p(x)$相加，得到原方程的通解$y(x) = y_c(x) + y_p(x)$。
高等数学第十一章第十二节常系数线性微分方程组解法举例课件.ppt
第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ;
第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;
第三步 把求出的函数代入原方程组 ,
注意: 一阶线性方程组的通解中,
任意常数的个数 = 未知函数个数
一般通过求导
得其它未知函数 .
如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数
的关系.
例1.
解微分方程组
①
②
解:
由②得
③
代入①, 化简得
特征方程:
通解:
④
将④代入③, 得
⑤
原方程通解:
注意:
1) 不能由①式求 y,
因为那将引入新的任意常数,
(它们受②式制约).
3) 若求方程组满足初始条件
的特解,
只需代入通解确定
即可.
2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,
例2.
解微分方程组
解:
则方程组可表为
⑥
⑦
用代数方法 消元自作
根据解线性方程组的克莱姆法则, 有
即
其特征方程:
特征根:
记
记
⑧
代入⑧可得 A＝1,
故得⑧的通解:
⑨
求 x :
⑦×D－⑥得
⑩
⑨,2) 1 (3),(6); 2 (2), (4)
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任意常数的个数 = 未知函数个数 如果通过积分求其他未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系.
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d y 3y 2z ①
例1. 解微分方程组
dx dz 2y z
②
dx
解: 由②得 y 1 d z z
D x (D2 1) y 0 ⑦
根据解线性方程组的克莱姆法则, 有
D21 D D D21
y
D2 1 et D0
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即
(D4 D2 1) y et
⑧
其特征方程: r 4 r 2 1 0
特征根: r1,2
1 5 2
记
r3,4 i
第十节
第七章
常系数线性微分方程组
解法举例
解微分方程组
消元 代入法 算子法
高阶微分方程求解
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常系数线性微分方程组解法步骤:
第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ;
第二步 求出此高阶方程的未知函数 ; 第三步 把求出的函数代入原方程组 , 一般通过求导
1 2
(2C1
C2
2C2
x)
e
x
1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数,
而它们与C1,C2是不独立的 (它们受②式制约).
2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,
因此 y的表达式中 , 2C1 C2不能用另一任意常数
dCy3代 替3 y,系2数z
1 2
也不能去掉.
5 1 2
记i
令 y Aet , 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解:
⑨
求 x : D× ⑦－⑥ 得
x D3 y et
x D3 y et
(D2 1)x D y et ⑥
⑩
⑨D,⑩x联立(D即2 为1)原y 方 0程的通⑦解.
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①
3)
若ddd的xzx求特方解2 y程, 只组z需满代足入初②通始解条确件定yCx1,0C2
y0 , z
即可.
x0
z0
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例2. 解微分方程组
ห้องสมุดไป่ตู้
d2 dt
x
2
d d
y t
x
et
d2 dt
y
2
dx dt
y
0
解: 记 D d , 则方程组可表为
dt
(D2 1)x D y et ⑥
③
2 dx
代入①, 化简得
d2 z d x2
2
d d
z x
z
0
特征方程: r 2 2r 1 0
通解: z (C1 C2x) ex
④
将④代入③, 得
y
1 2
(2C1
C2
2C2
x)
e
x
⑤
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原方程通解: 注意:
z (C1 C2x) ex
y