《材料力学》第三章 扭转

Tmax = 1146( Nm )
可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同， 可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同， 轴所承受的最大扭矩也就不同。当然，前者较合理。 轴所承受的最大扭矩也就不同。当然，前者较合理。
§3.3 纯剪切
一、薄壁筒扭转 纯剪切、 二、纯剪切、切应力互等定理 切应变、 三、切应变、剪切胡克定律 四、剪切应变能
γρ应与该点所在圆周 的半径ρ成正比 成正比， 的半径 成正比，而且 在同一半径ρ的圆周上 的圆周上， 在同一半径 的圆周上， 各点处的剪应变相同 相同， 各点处的剪应变相同， 最外层薄壁筒（ 最外层薄壁筒（即ρ ＝R时）的剪应变达最 大值γ 大值γmax
(二) 物理关系
在圆轴的横截面上只存在与半径垂直的切应力。 根据剪切虎克定律，横截面上距圆心为ρ的任意 点处的切应力与该点处的剪应变成正比，即
运用截面法：
设δ为薄壁圆筒的厚度，r为平均半径。若外力偶 距为Me，由q-q截面左部分圆筒的平衡条件得：
∑M
x
=0
M e= 2πrδ ⋅ τ ⋅ r = 2πr 2 δτ
故求得：
Me τ = 2π r 2δ
微小六面体各对面上只作用有切应力的情形称为纯剪切。 微小六面体各对面上只作用有切应力的情形称为纯剪切。
1.变形几何关系 1.变形几何关系
组成微段轴的无数薄壁筒的筒长均为dx； 此段中各薄壁筒扭转角相同，均为dφ， 所不同者只是各筒半径不同。设其中任 一筒的半径为ρ，剪应变为γρ
γ ρ ＝ρ ⋅
dϕ = ρ ⋅ϕ′ dx (a)
dϕ = ϕ ′ 扭转角 沿轴线 扭转角φ沿轴线 dx
的变化率，称为单 的变化率，称为单 位长度扭转角。 位长度扭转角。
第十五章 扭转的强度与刚度计算
• • • • • §3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形
§3.1
扭转的概念和实例
受力特点： 受力特点：在杆的两端垂直于杆线 的平面内作用着两个力 其力偶矩相等， 偶，其力偶矩相等，转 向相反。 向相反。 变形特点： 变形特点：杆上各个横截面均绕杆 的轴线发生相对转动。 的轴线发生相对转动。 相对扭转角： 相对扭转角：任意两个横截面之间 相对转过的角度。 相对转过的角度。
在弹性范围内，扭转力偶矩Me所作的功W与变形能V 在弹性范围内，扭转力偶矩Me所作的功W与变形能V相等 Me所作的功
1 Vε = W = M eϕ 2
剪切应变能密度v 单位体积内的剪切变形能 剪切应变能密度 ε —单位体积内的剪切变形能
vε = Vε 1 M eϕ 1 M e rϕ = = ⋅ ⋅ ２ V 2 2πrδl 2 2πr δ l
4.切应力公式的适用范围 4.切应力公式的适用范围
(1)只有对横截面不变的圆轴，平面假设 才是正确的。因此，这些公式只适用于圆 轴(包括实心轴和空心轴)的扭转问题。 (2)导出公式时还应用了虎克定律，所以 只适用于弹性范围。
5.极惯性矩I 和抗扭截面模量Ｗ 5.极惯性矩Ip和抗扭截面模量Ｗt的计算 极惯性矩
电动机通过皮带轮以力偶矩Me作用于AB轴上的，若AB轴 的转速为每秒n转，则力偶矩Me在每秒内完成的功应为：
W＝2π × n × M e (N ⋅ m )
因为Me所完成的功也就是皮带轮给AB轴输入的功，故 以上两式应相等，这样得出。算外力偶矩Me的公式为： P M e = 159.2 ( N ⋅ m ) n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算 扭矩、 二、扭矩、扭矩图
一、外力偶矩的计算
给定轴所传递的功率和轴的转速,计算外力偶矩 给定轴所传递的功率和轴的转速,计算外力偶矩Me
功率P Kw， 功率P－Kw， 转速n 转速n－1／s 功率P Kw， 功率P－Kw， 转速n－1／min 转速n 功率P 马力， 功率P－马力， 转速n 转速n－1／min 马力Ps 735.5Nm／ Ps＝ 1马力Ps＝735.5Nm／s
从圆轴中取出相距为dx的一小段(图b)，由刚性平 面假设，考虑到不同截面的转角不同，2-2截面相 对于1-1截面转动了dφ角，半径OA转到OA’位置。 因此，如将圆轴看成无数薄壁圆筒组成，则在此 微段中，组成圆轴的所有薄壁筒的扭角dφ均相同， 这就是圆轴扭转变形特点。 圆轴扭转是超静定问题。必须应用“三关系法”。
τ max
TR = Ip
Wt = Ip R
τmax
τ max =
T Wt
横截面上最大切应力
为横截面对O点的极惯性矩，只与横截面的尺寸有关， Ｉp为横截面对O点的极惯性矩，只与横截面的尺寸有关， 其量纲为[长度] 其量纲为[长度]4。 称为抗扭截面模量， Ｗt称为抗扭截面模量，它也只与截面尺寸有 其量纲为[长度] 关，其量纲为[长度]3。
τ = Gγ
剪切虎克定律
材料的剪切弹性模量， Pa或 G—材料的剪切弹性模量，单位为Pa或GPa。 材料的剪切弹性模量 单位为Pa GPa。 γ—无量纲 无量纲 材料的三个弹性常数E、G及μ中，只有两个独立。 材料的三个弹性常数E 只有两个独立。
E G= 2(1 + µ )
只适合各向同性的材料
四、剪切应变能
τ ρ＝Gγ ρ
将(b)式代入(a)式得：
dϕ τ ρ ＝ Gρ dx

（b） ）
(3.7)
横截面上任意点处的切应力τρ 与该点到圆心的距离ρ成正比。
3．静力关系
取微面dA,其内任一点到圆心 的距离皆为ρ，各点的切应力 均相等，且垂直于半径。 在微面积dA上的内力 τ dA
ρ
对x轴的矩为 所有内力之和即为扭矩：
T>0
例3.1
已知:PA=36kW，PB=PC=1lkW，PD=14kW， n=300r／min。
试画出轴的扭矩图。
解
(1)计算外力偶矩。 (1)计算外力偶矩。 计算外力偶矩
M eA = 9549 M eB M eD PA 36 = 9549 × = 1146(N ⋅ m ) n 300 P 11 = M eC = 9549 B = 9549 × = 350(N ⋅ m ) n 300 P 14 = 9549 D = 9549 × = 446(N ⋅ m ) 300 n
第三章
扭
转
基本要求: 基本要求: • （1）掌握圆轴扭转时的强度与刚度计算； • （2）了解圆轴扭转应力与变形计算公式的推导过程。 • （3）了解纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定律与 剪切 应变能。 重点: 重点: • 圆轴扭转时的强度与刚度计算。 。 难点： 难点： • 圆轴扭转应力与变形计算公式的推导过程。 课时： 课时： • 6学时（实验2学时）
T2 = －M eC－M eB = －700( Nm )
x
T3－M eD = 0
T3 = M eD = 446( Nm )
结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。 （3）画出扭矩图。 画出扭矩图。
同上题，若轴上各轮所传递的外力偶矩 不变，而调换各轮位置。
计算扭矩。分为三段BC CA、AD，用截面法。 BC、 (2) 计算扭矩。分为三段BC、CA、AD，用截面法。 BC段 BC段： CA段 CA段： AD段 AD段：
∑M
x
=0
T1 + M eB = 0
T1 = －M eB = －350(Nm )
∑M
∑M
x
= 0 T2 + M eC＋M eB = 0
=0
二、扭矩、扭矩图 扭矩、
用截面法。 用截面法。 保留左部分。由平衡条件
∑M
则
x
=0
T－ e= 0 M
m-m面上的扭矩 面上的扭矩 面上的
T＝M e
如果保留右段，可得到相同结果， 只是扭矩T方向相反。 符号规定：按右手螺旋法则把T 符号规定：按右手螺旋法则把T表示 为矢量， 为矢量，当矢量方向与截 面的外法线的方向一致时， 面的外法线的方向一致时， 为正；反之，为负。 T为正；反之，为负。 T<0
Pr1 P1 P2 Pr2 P2
P1
Pr1
Pr2
P1、P2 — 水平面内的弯曲， 水平面内的弯曲， Pr1、Pr2 — 竖直面内的弯曲， 竖直面内的弯曲， Me — 扭转 扭转变形为主要变形的受力构件称为轴。 扭转变形为主要变形的受力构件称为轴。工程上 轴的横截面多采用圆形截面，即为圆轴。 轴的横截面多采用圆形截面，即为圆轴。 本章主要研究等直圆轴扭转问题
T = ∫ ρτ ρ dA = ∫ ρGρ
A A
ρτ ρ dA
dϕ dϕ dA = G dx dx
∫
A
ρ 2 dA
A
dϕ τ ρ＝Gρ dx
τρ =
I p = ∫ ρ 2 dA
dϕ T = GI p dx Tρ
Ip
τρ =
Tρ Ip
计算圆轴扭转时横截面上 任一点切应力的公式。 任一点切应力的公式。 当ρ=R时，切应力最大 ρ=R
剪切应变能密度v 剪切应变能密度 ε
1 τ2 vε = τγ = 2 2G
拉伸和压缩时应变能密度为： 拉伸和压缩时应变能密度为：
1 σ2 vε = σε = 2 2E
比较
§3.4 圆轴扭转时的应力
一、横截面上切应力计算公式 二、强度计算
一、横截面上切应力计算公式
首先通过试验观察圆轴的变形，在圆轴表 面上画上纵向线和圆周线。两端施加力偶 矩Me，可以看到变化现象： （1）各圆周线的形状、尺寸和间距保持不 各圆周线的形状、 变，只是绕轴线相对地旋转了一个微小角度； 只是绕轴线相对地旋转了一个微小角度； 所有纵向线都倾斜同一角度。 （2）所有纵向线都倾斜同一角度。 根据上述观察到的现象，得出圆轴扭转时的基本假设： 根据上述观察到的现象，得出圆轴扭转时的基本假设： 圆轴扭转变形后，横截面仍保持平面， 圆轴扭转变形后，横截面仍保持平面，且其形状和大小及 两相邻横截面间的距离保持不变；半径仍保持为直线， 两相邻横截面间的距离保持不变；半径仍保持为直线，即 横截面刚性地绕轴线作相对转动。这就是圆轴扭转的刚性 横截面刚性地绕轴线作相对转动。这就是圆轴扭转的刚性 平面假设。 平面假设。