线性变换及其矩阵表示
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4 7 1
定理
设线性变换T 在基e1, e2, …, en下的矩阵是A，
向量β在基e1, e2, …, en下的坐标是( x1, x2, …,
xn)，则T (β)在基e1, e2, …, en下的坐标( y1,
y2, …, yn) 可以按下式计算
y1 x1
y2
A
x2
M M
yn
正交变换的定义
欧氏空间V的线性变换T 称为正交变换， 如果它保持中V任何两个向量的内积不变，即对V
中的任意向量α,β，恒有
(Tα, Tβ)=(α, β)
定理
设T是欧氏空间V的 线性变换，则T是正交变换的
充分必要条件是下列条件之一成立：
(1)T保持向量的长度不变，即对V中的任意向量β， 都有|T(β)|= |β|； (2)T把一个标准正交基映射为一个标准正交基； (3)T在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。
上面的几个例子表明：同一个线性变 换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些 矩阵之间有什么关系呢？
定理 设线性空间 Vn中取定两个基
1,2 , ,n; 1, 2 , , n , 由基 1,2 , ,n 到基 1, 2 , , n 的过渡矩
阵为P，Vn 中的线性变换 T在这两个基下的 矩阵依次为A和B，那么
T (kx) A(kx) kAx kT (x)
。 线性变换T (x) Ax也称为矩阵变换。
A称为线性变换T的标准矩阵(Standard matrix)。
二、线性变换的性质
1 T 0 0, T T ;
2 若1 , 2 , , m线性相关,则T1 ,T 2 , , T m亦线性相关.
判断一个系统是否为线性系统的判据 如果系统的输入为线性表达式
y k1u1 k2u2 k p u p ，则当系统的输
出也满足相同的线性关系 T ( y) k1T (u1) k2T (u2 ) L k pT (up ) 时 ， 该 系 统为线性系统。否则，为非线性系统。
例1
判断下面两个从R3到R2变换的类型（线性或非线性）
一确定.
在V n中取定一个基后,由线性变换T可 唯一地确定一个矩阵A,由一个矩阵A也可 唯一地确定一个线性变换T .
在给定一个基的条件下,线性变换与矩 阵是一一对应的.
例6 设是 R3的一个变换,对任意
a1
a2 R3,
a3
定义
(
)
a1 a2
a1 a2,
a3 0
这是 R3的一个线性变换.其几何意义是将向量
则有 1, 2 Vn ,
从而 1 2 T1 T2 T 1 2 T Vn ,
因1 2 Vn ; k1 kT1 T k1 T Vn , 因k1 Vn ,
由于 T Vn Vn, 由此知它对Vn中的线性运算
封闭，故它是Vn 的子空间。
5 使T 0的的全体ST Vn , T 0
T (k1α k2 β) k1T (α) k2T ( β)
更一般地，若 u1, u2 , up V n ，反 复使用上面公式可得
T (k1u1 k2u2 L kpup )
k1T (u1) k2T (u2 ) L kpT (up )
此公式在工程和物理中被称为 叠加原理。如果 u1, u2 , up 分别是某个 系统或过程的输入信号向量，则 T (u1),T (u2 ),L T (up ) 可 分 别 视 为 该 系 统 或过程的输出信号向量。
投影到XOY平面上.因此也称这个线性变换为
投影变换.
若取 R3的标准基
1
0
0
1 0, 2 1, 3 0,
0
0
1
则有
1 1
0 0
( 1) 0 0, ( 2) 1 1,
0 0
0 0
0 0
( 3) 0 0,
1 0
因此, R3的投影变换在标准基下的矩阵为
T1
(x)
x1 x12
x2 x22
,
x x1
x2
x3 T
T2
(
x)
x1 x2
x2 x3
,
x x1
x2
x3 T
例2 定义在闭区间上的全体连续函数组成
实数域上的一源自文库线性空间V，在这个空间中变换
T
f
x
x
a
f
t dt
是一个线性变换.
证明 设 f xV , gxV .
则有
T
f
x
g x
x
线性变换的定义
设 Vn 到 Vm 的变换 T 称为线性的，如果对 任意数 k 及 Vn 中任意向量 , ，恒有
T ( ) T T, T (k) kT.
记 T V m ，则称 为 在 T 下的像， 称为 的原像。
特别，当 T 是 Vn 到自身的一个线性变换， 则称 T 是 Vn 的线性变换。
是Vn 的子空间, ST 称为线性变换T的核.
证明 若 1,2 ST , T1 0, T2 0,
则 T 1 2 T1 T2 0 1 2 ST ;
若 1 ST , k R, 则
T k1 kT1 k0 0 k1 ST .
因此ST 对线性运算封闭, 又 ST Vn , 故ST 是Vn的子空间.
3 若 k11 k22 kmm , 则
T k1T1 k2T2 kmTm .
4 线性变换T的象集 T Vn 是一个线性空间，
称为线性变换T的象空间。
4 线性变换T的象集 T（Vn）是一个线性空间，称为 线性变换T的象空间。
证明 设 1, 2 T Vn ,
使 T1 1, T2 2 ,
V V {(x, y) : x, y V}
变换到实数域 R上的线性变换。
例6 给定 A F mn ，定义 Vn 到 V m 的变换 T 为 x F n y Ax F m , Amn
易证T是线性变换.
T (x1 x2 ) A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 T (x1) T (x2 )
三、线性变换在给定基下的矩阵
定义 设T是线性空间 Vn中的线性变换，
在Vn 中取定一个基 1,2 , ,n ，如果这个基
在变换T下的象为
T 1 a111 a21 2 an1 n ,
T
2
a121
a22
2 an2
n
,
T n a1n1 a2n 2 ann n ,
0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例8 已知3维线性空间V的线性变换在
基1, 2 , 3下的矩阵为
1 2 3 A 4 5 6
7 8 9
求在基 2 , 3 ,1下的矩阵.
解 由条件知
1 2 3
( 1, 2 , 3) ( 1, 2 , 3) 4 5 6
xn
定理 线性变换的矩阵表示式
Rn中任何线性变换T ,都可用关系式
T ( x) Ax ( x Rn)
表示,其中 A (T(e1),T(e2), ,T(en))
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
,
ann
e1,e2 , ,en为单位坐标向量.
四、线性变换在不同基下的矩阵
1 0 0 A 0 1 0
0 0 0
而对于 R3的另一组基
1
1
1
1 1, 2 1, 3 0,
有
1
0
0
1
1
1
(1) 1, ( 2) 1, ( 3) 0,
0
0
0
故在基1, 2 , 3下的矩阵为
1 1 1 A 1 1 0
0 0 0
例7 在线性空间R[ x]n中,定义变换
所以恒等变换是线性变换。
例4 线性空间V中的零变换o 0
是线性变换。
证明 设 , V , 则有
o 0 0 0 o o
ok 0 k0 ko .
所以零变换是线性变换。
例5 证明实内积空间
n
(x, y) xT y xi yi , x, y V i1
是一种将笛卡儿积
记T 1,2, ,n T 1 ,T 2 , ,T n ,
上式可表示为
T 1,2 , ,n 1,2 , ,n A
a11 a12
其中
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
.
ann
那末，A就称为线性变换T在基 1 ,2 , ,n下的
矩阵。
显然,矩阵A由基的象T (1), ,T ( n)唯
T1,2, ,n P
1,2 , ,n AP 1, 2, , n P1AP
因为 1 ,2 , ,n 线性无关， 所以 B P 1 AP .
练习 设V 2中的线性变换T在基1, 2下
的矩阵为
A a11 a12 , a21 a22
求T在基 2 , 1下的矩阵.
解
(
2
,
1)
(
1
,
2)
0 1
1 , 0
即 P 0 1,求得 1 0
P1 0 1, 1 0
于是T在基( 2 ,1)下的矩阵为
B 0 1 a11 a12 0 1 1 0 a21 a22 1 0
a21 a22 0 1 a11 a12 1 0
a22 a21. a12 a11
定义 线性变换T的象空间T (V n)的维数,
§3 线性变换及其矩阵表示
一、线性变换的引入
在技术科学、社会科学和数学的一些分支中， 不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此， 为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够 从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。
事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到 这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时， 通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能 够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是 小于1，图像就能够被放大或者缩小。
7 8 9
( 1) 1 4 2 7 3
即
( 2) 21 5 2 8 3
( 3) 3 1 6 2 9 3
从而有
( 2) 5 2 8 3 2 1 ( 3) 6 2 9 3 3 1
( 1) 4 2 7 3 1
因此在基 2 , 3 ,1下的矩阵为
5 8 2 B 6 9 3
称为线性变换T的秩.
若A是T的矩阵,则T的秩就是R( A).
若T的秩为r,则T的核 ST的维数为n r.
思考题
已知R22的两个线性变换
TX XN , SX MX , X R22
M 1 0, N 1 1
2 0
1 1
试求 T S, TS 在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵.
(
f
( x))
d dx
f
( x),
f
( x)
R[ x]n
则由导数性质可以证明,是 R[ x]n的一个线性变
换.这个变换也称为微分变换.
取 R[ x]n的基1, x , x2 , , xn1,则有
(1) 0, (x) 1, (x2) 2x,L , (xn1) (n 1)xn2
因此,在基1, x , x2 , , xn1下的矩阵为
a
f
t
gt
dt
x
a
f
t dt
x
a
gt dt
T f x Tgx
T kf
x
x
a kf
t dt
x
k a
f
t dt
kT
f
x .
例3 线性空间V中的恒等变换（或称单位
变换）I， I , V.
是线性变换。
证明 设 , V
则有 I I I
I k k kI .
注：正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可 逆的，且其逆变换也是正交变换。
正交变换(Gives旋转变换、Householder 镜像变换)；正交投影变换；对称变换等。
感谢下 载
B P1AP
定理表明B与A相似，且两个基之间 的过渡矩阵P就是相似变换矩阵。
证明 1, 2 , , n 1,2 , ,n P T 1,2, ,n 1,2, ,n A, T 1, 2, , n 1, 2, , n B
于是 1, 2 , , n B T 1, 2 , , n T[1 , 2 , , n P]
定理
设线性变换T 在基e1, e2, …, en下的矩阵是A，
向量β在基e1, e2, …, en下的坐标是( x1, x2, …,
xn)，则T (β)在基e1, e2, …, en下的坐标( y1,
y2, …, yn) 可以按下式计算
y1 x1
y2
A
x2
M M
yn
正交变换的定义
欧氏空间V的线性变换T 称为正交变换， 如果它保持中V任何两个向量的内积不变，即对V
中的任意向量α,β，恒有
(Tα, Tβ)=(α, β)
定理
设T是欧氏空间V的 线性变换，则T是正交变换的
充分必要条件是下列条件之一成立：
(1)T保持向量的长度不变，即对V中的任意向量β， 都有|T(β)|= |β|； (2)T把一个标准正交基映射为一个标准正交基； (3)T在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。
上面的几个例子表明：同一个线性变 换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些 矩阵之间有什么关系呢？
定理 设线性空间 Vn中取定两个基
1,2 , ,n; 1, 2 , , n , 由基 1,2 , ,n 到基 1, 2 , , n 的过渡矩
阵为P，Vn 中的线性变换 T在这两个基下的 矩阵依次为A和B，那么
T (kx) A(kx) kAx kT (x)
。 线性变换T (x) Ax也称为矩阵变换。
A称为线性变换T的标准矩阵(Standard matrix)。
二、线性变换的性质
1 T 0 0, T T ;
2 若1 , 2 , , m线性相关,则T1 ,T 2 , , T m亦线性相关.
判断一个系统是否为线性系统的判据 如果系统的输入为线性表达式
y k1u1 k2u2 k p u p ，则当系统的输
出也满足相同的线性关系 T ( y) k1T (u1) k2T (u2 ) L k pT (up ) 时 ， 该 系 统为线性系统。否则，为非线性系统。
例1
判断下面两个从R3到R2变换的类型（线性或非线性）
一确定.
在V n中取定一个基后,由线性变换T可 唯一地确定一个矩阵A,由一个矩阵A也可 唯一地确定一个线性变换T .
在给定一个基的条件下,线性变换与矩 阵是一一对应的.
例6 设是 R3的一个变换,对任意
a1
a2 R3,
a3
定义
(
)
a1 a2
a1 a2,
a3 0
这是 R3的一个线性变换.其几何意义是将向量
则有 1, 2 Vn ,
从而 1 2 T1 T2 T 1 2 T Vn ,
因1 2 Vn ; k1 kT1 T k1 T Vn , 因k1 Vn ,
由于 T Vn Vn, 由此知它对Vn中的线性运算
封闭，故它是Vn 的子空间。
5 使T 0的的全体ST Vn , T 0
T (k1α k2 β) k1T (α) k2T ( β)
更一般地，若 u1, u2 , up V n ，反 复使用上面公式可得
T (k1u1 k2u2 L kpup )
k1T (u1) k2T (u2 ) L kpT (up )
此公式在工程和物理中被称为 叠加原理。如果 u1, u2 , up 分别是某个 系统或过程的输入信号向量，则 T (u1),T (u2 ),L T (up ) 可 分 别 视 为 该 系 统 或过程的输出信号向量。
投影到XOY平面上.因此也称这个线性变换为
投影变换.
若取 R3的标准基
1
0
0
1 0, 2 1, 3 0,
0
0
1
则有
1 1
0 0
( 1) 0 0, ( 2) 1 1,
0 0
0 0
0 0
( 3) 0 0,
1 0
因此, R3的投影变换在标准基下的矩阵为
T1
(x)
x1 x12
x2 x22
,
x x1
x2
x3 T
T2
(
x)
x1 x2
x2 x3
,
x x1
x2
x3 T
例2 定义在闭区间上的全体连续函数组成
实数域上的一源自文库线性空间V，在这个空间中变换
T
f
x
x
a
f
t dt
是一个线性变换.
证明 设 f xV , gxV .
则有
T
f
x
g x
x
线性变换的定义
设 Vn 到 Vm 的变换 T 称为线性的，如果对 任意数 k 及 Vn 中任意向量 , ，恒有
T ( ) T T, T (k) kT.
记 T V m ，则称 为 在 T 下的像， 称为 的原像。
特别，当 T 是 Vn 到自身的一个线性变换， 则称 T 是 Vn 的线性变换。
是Vn 的子空间, ST 称为线性变换T的核.
证明 若 1,2 ST , T1 0, T2 0,
则 T 1 2 T1 T2 0 1 2 ST ;
若 1 ST , k R, 则
T k1 kT1 k0 0 k1 ST .
因此ST 对线性运算封闭, 又 ST Vn , 故ST 是Vn的子空间.
3 若 k11 k22 kmm , 则
T k1T1 k2T2 kmTm .
4 线性变换T的象集 T Vn 是一个线性空间，
称为线性变换T的象空间。
4 线性变换T的象集 T（Vn）是一个线性空间，称为 线性变换T的象空间。
证明 设 1, 2 T Vn ,
使 T1 1, T2 2 ,
V V {(x, y) : x, y V}
变换到实数域 R上的线性变换。
例6 给定 A F mn ，定义 Vn 到 V m 的变换 T 为 x F n y Ax F m , Amn
易证T是线性变换.
T (x1 x2 ) A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 T (x1) T (x2 )
三、线性变换在给定基下的矩阵
定义 设T是线性空间 Vn中的线性变换，
在Vn 中取定一个基 1,2 , ,n ，如果这个基
在变换T下的象为
T 1 a111 a21 2 an1 n ,
T
2
a121
a22
2 an2
n
,
T n a1n1 a2n 2 ann n ,
0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例8 已知3维线性空间V的线性变换在
基1, 2 , 3下的矩阵为
1 2 3 A 4 5 6
7 8 9
求在基 2 , 3 ,1下的矩阵.
解 由条件知
1 2 3
( 1, 2 , 3) ( 1, 2 , 3) 4 5 6
xn
定理 线性变换的矩阵表示式
Rn中任何线性变换T ,都可用关系式
T ( x) Ax ( x Rn)
表示,其中 A (T(e1),T(e2), ,T(en))
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
,
ann
e1,e2 , ,en为单位坐标向量.
四、线性变换在不同基下的矩阵
1 0 0 A 0 1 0
0 0 0
而对于 R3的另一组基
1
1
1
1 1, 2 1, 3 0,
有
1
0
0
1
1
1
(1) 1, ( 2) 1, ( 3) 0,
0
0
0
故在基1, 2 , 3下的矩阵为
1 1 1 A 1 1 0
0 0 0
例7 在线性空间R[ x]n中,定义变换
所以恒等变换是线性变换。
例4 线性空间V中的零变换o 0
是线性变换。
证明 设 , V , 则有
o 0 0 0 o o
ok 0 k0 ko .
所以零变换是线性变换。
例5 证明实内积空间
n
(x, y) xT y xi yi , x, y V i1
是一种将笛卡儿积
记T 1,2, ,n T 1 ,T 2 , ,T n ,
上式可表示为
T 1,2 , ,n 1,2 , ,n A
a11 a12
其中
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
.
ann
那末，A就称为线性变换T在基 1 ,2 , ,n下的
矩阵。
显然,矩阵A由基的象T (1), ,T ( n)唯
T1,2, ,n P
1,2 , ,n AP 1, 2, , n P1AP
因为 1 ,2 , ,n 线性无关， 所以 B P 1 AP .
练习 设V 2中的线性变换T在基1, 2下
的矩阵为
A a11 a12 , a21 a22
求T在基 2 , 1下的矩阵.
解
(
2
,
1)
(
1
,
2)
0 1
1 , 0
即 P 0 1,求得 1 0
P1 0 1, 1 0
于是T在基( 2 ,1)下的矩阵为
B 0 1 a11 a12 0 1 1 0 a21 a22 1 0
a21 a22 0 1 a11 a12 1 0
a22 a21. a12 a11
定义 线性变换T的象空间T (V n)的维数,
§3 线性变换及其矩阵表示
一、线性变换的引入
在技术科学、社会科学和数学的一些分支中， 不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此， 为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够 从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。
事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到 这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时， 通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能 够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是 小于1，图像就能够被放大或者缩小。
7 8 9
( 1) 1 4 2 7 3
即
( 2) 21 5 2 8 3
( 3) 3 1 6 2 9 3
从而有
( 2) 5 2 8 3 2 1 ( 3) 6 2 9 3 3 1
( 1) 4 2 7 3 1
因此在基 2 , 3 ,1下的矩阵为
5 8 2 B 6 9 3
称为线性变换T的秩.
若A是T的矩阵,则T的秩就是R( A).
若T的秩为r,则T的核 ST的维数为n r.
思考题
已知R22的两个线性变换
TX XN , SX MX , X R22
M 1 0, N 1 1
2 0
1 1
试求 T S, TS 在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵.
(
f
( x))
d dx
f
( x),
f
( x)
R[ x]n
则由导数性质可以证明,是 R[ x]n的一个线性变
换.这个变换也称为微分变换.
取 R[ x]n的基1, x , x2 , , xn1,则有
(1) 0, (x) 1, (x2) 2x,L , (xn1) (n 1)xn2
因此,在基1, x , x2 , , xn1下的矩阵为
a
f
t
gt
dt
x
a
f
t dt
x
a
gt dt
T f x Tgx
T kf
x
x
a kf
t dt
x
k a
f
t dt
kT
f
x .
例3 线性空间V中的恒等变换（或称单位
变换）I， I , V.
是线性变换。
证明 设 , V
则有 I I I
I k k kI .
注：正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可 逆的，且其逆变换也是正交变换。
正交变换(Gives旋转变换、Householder 镜像变换)；正交投影变换；对称变换等。
感谢下 载
B P1AP
定理表明B与A相似，且两个基之间 的过渡矩阵P就是相似变换矩阵。
证明 1, 2 , , n 1,2 , ,n P T 1,2, ,n 1,2, ,n A, T 1, 2, , n 1, 2, , n B
于是 1, 2 , , n B T 1, 2 , , n T[1 , 2 , , n P]