江苏理数-选修4-5--不等式选讲-第二节--不等式的证明

[谨记通法] 作差比较法证明不等式的步骤 (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变 形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的 形式，再结合不等式的性质判断出例引领]
1．已知函数 f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求 f(x)的最小值 m； (2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝m，求证： ba2＋cb2＋ac2≥3.
答案：4 3．已知 a＞b，求证：a3＋a2b≥ab2＋b3.
证明：因为 a＞b，所以(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a3－b3)＋
(a2b－ab2)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＋ab(a－b)＝(a－b)·(a＋
b)2≥0，所以 a3＋a2b≥ab2＋b3.
1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号． 2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最
3．比较法 (1)比差法的依据是：a－b＞0⇔ a＞b .步骤是：“作差 →_变__形__→ 判断差的符号 ”．变形是手段，变形的目的是 判断差的符号． (2)比商法：若 B＞0，欲证 A≥B ，只需证AB≥1.
4．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定
理、性质等，经过一系列的_推__理__、__论__证__而得出命题_成__立__． (2) 分 析 法 ： 从 _要__证__的__结__论__ 出 发 ， 逐 步 寻 求 使 它 成 立 的
＝(x－1)22x＋122＋12≥0，所以 1＋2x4≥2x3＋x2． 法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1 ＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，所以 1＋2x4≥2x3＋x2．
2．(2016·苏锡常镇调研)设 x 为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4 ＋x2＋1)﹒ 证明：因为右式减去左式为 2x4－2x3－2x＋2 ＝2(x－1)(x3－1)＝2(x－1)2(x2＋x＋1) ＝2(x－1)2x＋122＋34≥0， 所以原不等式成立．
(3)利用基本不等式求最值 对两个正实数 x，y， ①如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 积 P 取得最 大 值； ②如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 和 S 取得最 小 值．
2．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理：如果 a，b，c 均为正数，那么a＋3b＋c ≥ 3 abc， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 即三个正数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数． (2)基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均数 不小于 它 们的几何平均数，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅 当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
解：(1)当 x＜－1 时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2) ＝－3x∈(3，＋∞)； 当－1≤x＜2 时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2) ＝x＋4∈[3,6)； 当 x≥2 时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)． 综上，f(x)的最小值 m＝3.
(2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则
|α||β|≥|α·β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立．
(3) 三 角 形 不 等 式 ： 设 x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， x3 ， y3 ∈ R ， 那 么
x1－x22＋y1－y22 ＋
x2－x32＋y2－y32 ≥
x1－x32＋y1－y32.
6．柯西不等式的一般形式 设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i＝1,2，…，n)为任意实数，
则i＝n1ai2i＝n1b2i ≥i＝n1aibi2，其中等号当且仅当ab11＝ba22＝…＝bann时
成立(当 ai＝0 时，约定 bi＝0，i＝1,2，…，n)．
[小题体验] 1．已知 a，b∈R＋，a＋b＝2，则1a＋1b的最小值为________．
＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
答案：9
考点一 比较法证明不等式 [题组练透]
1．求证：当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2． 证明：法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1) ＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(2x3－2x＋x－1) ＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．
[小题纠偏]
a＋b
1．已知 a>0，b>0，则 aabb 与(ab) 2 的大小关系为________．
解析：因为
aabb
a＋b
ab 2
＝ab
a－b 2
，
所以当
a＝b
时，ab
a－b 2
＝1，当
a>b>0
时，ab>1，a－2 b>0，
所以ab
a－b 2
解析：因为 a，b∈R＋，且 a＋b＝2，
所以(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4， 所以1a＋1b≥a＋4 b＝2，即1a＋1b的最小值为 2(当且仅当 a＝b＝1 时，“＝”成立)． 答案：2
2．已知 x，y∈R，且 xy＝1，则1＋1x1＋1y的最小值为________． 解析：1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝4.
_充__分__条__件__，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事 实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证 的命题成立．
5．柯西不等式的二维形式
(1)柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则(a21 ＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号 成立．
>1，当
b>a>0
时，0<ab<1，a－2 b<0，则ab
a－b 2
>1，
a＋b
所以 aabb≥(ab) 2 ．
a＋b
答案：aabb≥(ab) 2
2．已知 a，b，c 是正实数，且 a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最
小值为________．
解析：把 a＋b＋c＝1 代入1a＋1b＋1c
得a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c