正弦型函数专题讲解

又 x∈[－π，π]， 7 π 5 11 ∴－π≤x≤－ π，－ ≤x≤ π， π≤x≤π. 12 12 12 12
π 7 ∴函数 y＝sin3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－12π， π 5 11 － ， π， π，π. 12 12 12
考向三
由y A sin(x ) B图象求解析式
已知函数y A sin(x )( A 0, 0, | | 图所示

2
)的图象的一部分如
考向四
y A sin(x ) B单调性

2 x 2k
1.当A 0, 0，由2k 即为增区间；由 k 2 减区间。
1 D. 2
解：y tan(wx ) y tan( x ) y tan[ ( x ) ] 4 4 6 6 12 6
将函数 y tan( wx
6 因为函数 y tan[ ( x ) ]的图象与函数 y tan( x )的图象重合 6 12 6 6

2
解出x的范围所得区间

2
x 2k
3 解出的范围所得区间为 2
2.当A 0, 0，利用诱导公式将函数 变为y A sin(x ) B 的形式，由 k 2

2
2 3 减区间；由 k x 2k 2 解出的范围所得区间为 增 2 2 区间。

6
)的图象平移 m个单位得到函数 y sin( 2 x
y sin[ 2( x m



3
)的图象

4
)

3
]

因为函数 y sin[ 2( x m ) ]的图象与函数 y sin( 2 x )的图象重合 4 3 3
m



是y sin( 2 x )周期 的整数倍 4 3
π π 3π 令2kπ＋ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ， 2 3 2 π 7π 则kπ＋ ≤x≤kx＋ ，k∈Z， 12 12
π π π π 又x∈－3，3，∴ ≤x≤ . 12 3 π π 故f(x)的递增区间为 ， .
12 3
【变式训练】 区间；
π 3.(1)求函数y＝sin 3－2x ，x∈[－π，π]的单调递减
D.2
函数 y sin[ ( x
4 ) ] 2的图象与 y sin(x ) 2的图象重合 3 3 3
4 4 个单位得 y sin[ ( x ) ] 2的图象 3 3 3
4 2 是y sin(x ) 2周期 的整数倍 3 3
π 4 1－sin 2x0＋6＝－ .9分 5
2
π π 所以cos 2x0＝cos2x0＋6 － 6 π π π π 2x0＋ cos ＋sin2x0＋ sin ＝cos 6 6 6 6
3－4 3 ＝ .12分 10
3．(2010· 北京卷)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
【规范解答】 (1)由f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1，得 f(x)＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3sin 2x＋cos 2x
π ＝2sin2x＋6.2分
所以函数f(x)的最小正周期为π.3分
π π π π 因为f(x)＝2sin 2x＋6 在区间 0，6 上为增函数，在区间 6，2 上为 π π 减函数，又f(0)＝1，f6＝2，f2＝－1， π 所以函数f(x)在区间0，2上的最大值为2，最小值为－1.6分
π x ∴函数y＝3tan6－4的单调递减区间为 4 8 － π＋4kπ， π＋4kπ，k∈Z. 3 3
注：求解三角函数式的最小正周期、单调性、奇 偶性、对称性、最值、值域等问题时，要尽可能 地利用三角公式化为只含一个三角函数的式子。 一般地，经过恒等变形化成“y＝Asin(ωx＋φ)，
y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形 式。
(本小题满分12分)(2010· 天津卷)已知函数f(x)＝2 3 sin xcos x＋ 2cos2x－1(x∈R)．
π (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，2上的最大值和最小值； π π 6 (2)若f(x0)＝ ，x0∈4，2，求cos 2x0的值． 5
法二
y sin x的图象
横坐标变为原来的
函数y sin x的图象变换得到 A sin(x ) B的图象的步骤： y
y sin x的图象
向左( 0)或向右（ 0）平移| | 个单位
得到y sin(x )的图象
纵坐标变为原来的 倍 A
x )的图象 得到y sin(
横坐标变为原来的 1
得到y sin x的图象
向左( 0)或向右（ 0）平移 |

1

倍

倍
得到y sin(x )的图象

| 个单位
得到y A sin(x )的图象
向上( B 0)或向下（B 0）平移| B | 个单位

纵坐标变为原来的 倍 A
4 2 3 k. k (k z ) 3 2 0


min

3 2
例4.若将函数y t an( x 函数y t an( x


6
)( 0)的图象向右平移 个单位与 4 6

)的图象重合，则 的最小值为
1 A. 6
1 B. 4
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1 C. 3
π x π － 的周期T＝ (2)函数y＝3tan 6 4 ＝4π. 1 － 4 π x x π 由y＝3tan6－4得y＝－3tan4－6，
π x π π 由－ ＋kπ＜ － ＜ ＋kπ得 2 4 6 2 4 8 － π＋4kπ＜x＜ π＋4kπ，k∈Z， 3 3
y tan[ ( x


4
)的图象向右平移

6




6

是y tan( x )周期 的整数倍 12 6
1 12k k 参照选 6 12 2
1 项，当k 0时 ， 选D。 2


) ] 12 6

A.向左平移

C.向左平移

4
个单位
B. 向右平移

4
个单位
2
个单位
D. 向右平移

2
个单位
解：y sin(2 x ) y sin(2 x ) y sin[2( x ) ] 6 6 3 3 4 3
设将函数 y sin( 2 x
π x (2)求y＝3tan6－4的周期及单调区间． π π －2x得 y＝－sin2x－ ， 解析： (1)由 y＝sin 3 3
π π π 由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ 得 2 3 2 － π 5 ＋kπ≤x≤ π＋kπ，k∈Z. 12 12
x 2k

解出x的范围所得区间即为
3.当A 0, 0，利用诱导公式将函数 变为y | A | sin(x ) B的形式 ，由2k

2
x 2k

2
解出x的范围所得区间即为增 区间；由
3 2k x 2k 解出的范围所得区间为 减区间。 2 2
π (1)求f3的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解析：
π 2π π 2π (1)f3＝2cos ＋sin －4cos 3 3 3
3 9 ＝－1＋ －2＝－ . 4 4 (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x

0
B
2

3 _ 2
2

2
A+B

B

3 2
-A+B
2
B
课堂热点讲解
热点一
五点法作图

例1.作出函数 y 3 sin( 2 x ) 1, x R的简图。 3
3 分析：按“五点法”令 x 分别取0, , , ,2时, x 2 3 2 2 2 4 7 10 相应取 , , , , 的值所对应的五点是函 数 12 12 12 12 12 2 10 y 3 sin(2 x ) 1, x [ , ]的图象上起关键作用 3 12 12 的五点。
得到y A sin(x )的图象
向上( B 0)或向下（B 0）平移| B | 个单位

) B的图象 得到y A sin(x
得到y A sin(x ) B的图象

课堂热点讲解
热点二

y A sin(x ) B图象变换
例2.为了得到函数 sin(2 x )的图象，只需把函数 sin(2 x )的图象 y y 3 6
π 2x0＋ . (2)由(1)可知f(x0)＝2sin 6 π 3 6 2x0＋ ＝ ，7分 因为f(x0)＝ ，所以sin 6 5 5 π π π 2π 7π 由x0∈4，2，得2x0＋ ∈ 3 ， 6 .8分 6 π 从而cos2x0＋6 ＝－


解：列表
x
2x
2 12

12
4 12

3

3 ) 1
0
1

2

1
7 12 3
2
10 12
2
1
3 sin( 2 x
4
-2
描点、连线、得图象如图所示： y
y=1
2 12

12
4 12
7 12
10 12
x
考向二
法一
y A sin(x ) B图象变换

x 2k 解出x的范围所得区间 2 2 3 即为减区间；由 k x 2k 2 解出的范围所得区间为 2 2 增区间。
4.当A 0, 0，由2k
已知函数f(x)＝ 3(sin2x－cos2x)－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；
正弦型函数y A sin(x ) B 专题讲解
考向一
y A sin(x ) B在一个 周期内的简图作法 ______ 五点法
用五点法作y A sin(x ) B一个周期内的简图，要 找五个 关键点，如下表所示：
x
x
y A sin(x ) B
π π (2)设x∈－3，3，求f(x)的值域和单调递增区间．
解析： (1)∵f(x)＝－ 3(cos x－sin x)－2sin xcos x
π ＝－ 3cos 2x－sin 2x＝－2sin2x＋3，
2
2
∴f(x)的最小正周期为π.
π π π π (2)∵x∈－3，3，∴－ ≤2x＋ ≤π. 3 3 π 3 ∴－ ≤sin2x＋3≤1.∴f(x)的值域为[－2， 3]． 2 π ∵当y＝sin2x＋3递减时，f(x)递增，

m

k , 参照选项，当 k 0时m ， 选B。 4 4


例3.设 0，函数y sin(x 图象重合，则 的最小值为

3
) 2的图象向右
4 平移个单位与原 3
2 A. 3
y sin(x
4 B. 3

3 ) 2的图象向右平移
C.
3 2