1-6 极限存在性定理与两个重要极限

n! n n
n
2 1 1 1
2! 3!
n!
2 1 1 1
12 23
n(n 1)
21 1 1 1 1 1 3 1 3.
223
n1 n
n
11
综上所述， {un } 单调增加且有上界,
因此 lim(1 1 )n 存在,记为 e.
n
n
无理数 e 2.718281828459
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x0 的某空心邻域内（或无
穷远处）恒有
g( x) f ( x) h( x)
且有 lim g( x) lim h( x) A，lim g(x) lim h(x) A
x x0
x x0
x
x
则极限 lim f ( x) （ lim f (x) ）存在，
解 原式 lim (1 cos x) cos x e4 . x / 2
lim cos x 0
x 2
16
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1020. 12.10Thursday, December 10, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。00:3 1:4400: 31:4500 :3112/ 10/2020 12百度文库31:45 AM
n! n n
n
当
n
改为
n+1
时,上式通项
1 (1 k!
1 ) (1 n
2 )(1 n
k 1) n
增大，且项数增加一项(每一项均为正),
un1 un .
10
其次,证明{un } 有上界：
un
2
1 (1 2!
1) n
1 (1 3!
1) n
(1
2) n
1 (1 1 ) (1 2 )(1 n 1)
x x0
x
且也等于 A.
证略.
3
如果数列 un满足条件 x1 x2 xn xn1 , 称单调增加 x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
单调数列
定理 单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限 sin x
1. lim 1 x0 x
y 1
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n
n2 n
1 n2 1
1
n2 n
n ,
n2 1
又 lim n lim 1 1,
n n2 n n 1 1
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1,
1
1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
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2. lim(1 1 )n e
n
n
8
lim(1 1 )n e
n
n
记
un
(1
1 )n n
，先证明 {un }
单调增加:
u1 2 ,
u2
( 3)2 2
9 4
2
u1
,
当n 2时,
un
(1
1 )n n
1
C
1 n
1 n
C
2 n
1 n2
C
3 n
1 n3
C
n n
1 nn
2
1 2!
n(n n2
1)
第六节 极限存在性定理与两个重要极限
一、极限存在定理
定理(夹逼定理)
如果数列{ xn },{ yn } 及 {zn } 满足下列条件： (1) yn xn zn (n N , N 1,)
(2)
lim
n
yn
A,
lim
n
zn
A,
那么数列{ xn }
的极限存在,
且 lim n
xn
A
.
证略.
1
例 求 lim( 1 1 1 ).
1 3!
n(n
1)(n n3
2)
1 n!
n(n
1)1 nn
9
2
1 2!
n(n 1) n2
1 3!
n(n
1)(n n3
2)
1 n!
n(n
1)1 nn
2 1 (1 1 ) 1 (1 1 ) (1 2 ) 2! n 3! n n
1 (1 1 ) (1 2 )(1 n 1)
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 000:31: 4500:3 1Dec-20 10-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 00:31:4 500:31: 4500:3 1Thursday, December 10, 2020
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 020.12. 1000:3 1:4500: 31:45D ecembe r 10, 2020
x
5
lim sin x 1 x0 x
例 lim sin x lim(sin x x) lim sin x lim x 0 .
x0
x0 x
x x0
x0
例 lim tan x lim sin x 1 x0 x x0 x cos x
sin x
1
lim lim
1.
x0 x x0 cos x
6
实际上,只要 为某过程中的无穷小 , 就有
sin
lim
1
某过程
例
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1
lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
1
lim
sin
x 2
2
2 x0
x 2
1 12 1 .
22
7
下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：
以e为底的对数称为自然对数，log e x 记作 ln x .
可以证明，相应的函数极限有
" 1 "
lim(1 1 )x e 或
1
lim(1 x) x e
x
x
x0
12
实际上,只要 为某过程中的无穷小 , 就有
1
lim [1 ] e
某过程
13
14
例 解
例 解
15
例 解
例 求 lim (1 cos x) 4secx . x 2 4
2020 12:31:45 AM00:31:452020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/