《高等数学》第二节 二重积分的计算
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(6 2 x 3 y )d 0 dx
D
3
x y 21 ，作为积分上限. 3
x 2 (1 ) 3 (6 0
3
2 x 3 y )dy
3
x 2 (1 ) 3 2
(6 2 x ) y y 0 2 0
2 2
dx
2 x x 3 x 3 121 61 dx 6 1 dx 6. 0 0 3 3 3
y1 ( x) y y2 ( x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平 面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投 影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y)
为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.
例2 计算积分
D
y x
2
dxdy，其中D是正方形区域：
1
y2 ( x )
f ( x, y )dy 时，应将x视为常
量，按定积分的计算方法解之.
为了简便常记为
f ( x, y )dxdy a dx y ( x ) f ( x, y )dy.
D
1
b
y2 ( x )
ห้องสมุดไป่ตู้
同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线
至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为
重积分的可加性可求区域D上的二重积分.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形.
(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界 线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
d
因此
f ( x, y )dxdy c S ( y )dy
D d
c
d
x2 ( y) x1 ( y )
f ( x, y )dx dy f ( x, y )dx.
dy c x
d
x2 ( y)
1
( y)
(4)
即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.
先对x积分时， x ( y )
例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面
所围成的四面体的体积. 解 即求以z=6–2x–3y为顶，以△ABC围成区域D为 底的柱体体积.也就是计算二重积分
(6 2 x 3 y )d .
D
解法1 先对y积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，
作为积分下限.出口曲线为
x1 ( y ) x x2 ( y ) c y d.
(3)
在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面 截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为 S(y)，则
S ( y) f ( x, y )dx ， x1 ( y )
x2 ( y )
所给立体体积
V S ( y )dy. c
S ( x) f ( x, y )dy. y1 ( x )
y2 ( x )
故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为
f ( x, y )dxdy a S ( x)dx a [ y
D b b y2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y )dy ]dx.
(2)
将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分. 需要指出，计算 y ( x )
第二节 二重积分的计算
一、二重积分在直角坐 标系下的计算 二、二重积分在极坐标 系下的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简 称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何 意义来引出这种计算方法.
一、二重积分在直角坐标系下的计算
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两
组直线段，将区域D分割成n个小块 1, 2 ,, n ,
1
x2 ( y )
f ( x, y )dx中的y应视为常量，
按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上， 上述结论并不受此限制. 如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直 线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个
子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标
轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及
从而有
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy.
D D
由定积分的几何应用：设一立体满足a x b， 在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面
与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体
积
V S ( x)dx. a
b
设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有 两个交点.区域D可以用不等式表示为
解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积
y 分下限，出口曲线为 x 31 ，作为积分上 2
限.积分区域D在y轴上投影区间为[0,2]，
(6 2 x 3 y )d 0 dy 0
D
2
2
3(1
y 2
而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上
投影区间[a,b]，a是下限，b是上限，即
f ( x, y )dxdy a dx y ( x ) f ( x, y )dy.
D
1
b
y2 ( x )
如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时， 在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该 将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所 作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.
)
(6 2 x 3 y )dx
6 x x 3 yx 0 9(1 y 0
2
2
3(1 0
y 2
)
dy
y 4
)dy 6，
这个结果与我们熟知的四面体的体积
1 1 V 底 高 2 3 6 6 3 3 2 1
是一致的.
D
3
x y 21 ，作为积分上限. 3
x 2 (1 ) 3 (6 0
3
2 x 3 y )dy
3
x 2 (1 ) 3 2
(6 2 x ) y y 0 2 0
2 2
dx
2 x x 3 x 3 121 61 dx 6 1 dx 6. 0 0 3 3 3
y1 ( x) y y2 ( x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平 面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投 影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y)
为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.
例2 计算积分
D
y x
2
dxdy，其中D是正方形区域：
1
y2 ( x )
f ( x, y )dy 时，应将x视为常
量，按定积分的计算方法解之.
为了简便常记为
f ( x, y )dxdy a dx y ( x ) f ( x, y )dy.
D
1
b
y2 ( x )
ห้องสมุดไป่ตู้
同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线
至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为
重积分的可加性可求区域D上的二重积分.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形.
(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界 线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
d
因此
f ( x, y )dxdy c S ( y )dy
D d
c
d
x2 ( y) x1 ( y )
f ( x, y )dx dy f ( x, y )dx.
dy c x
d
x2 ( y)
1
( y)
(4)
即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.
先对x积分时， x ( y )
例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面
所围成的四面体的体积. 解 即求以z=6–2x–3y为顶，以△ABC围成区域D为 底的柱体体积.也就是计算二重积分
(6 2 x 3 y )d .
D
解法1 先对y积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，
作为积分下限.出口曲线为
x1 ( y ) x x2 ( y ) c y d.
(3)
在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面 截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为 S(y)，则
S ( y) f ( x, y )dx ， x1 ( y )
x2 ( y )
所给立体体积
V S ( y )dy. c
S ( x) f ( x, y )dy. y1 ( x )
y2 ( x )
故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为
f ( x, y )dxdy a S ( x)dx a [ y
D b b y2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y )dy ]dx.
(2)
将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分. 需要指出，计算 y ( x )
第二节 二重积分的计算
一、二重积分在直角坐 标系下的计算 二、二重积分在极坐标 系下的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简 称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何 意义来引出这种计算方法.
一、二重积分在直角坐标系下的计算
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两
组直线段，将区域D分割成n个小块 1, 2 ,, n ,
1
x2 ( y )
f ( x, y )dx中的y应视为常量，
按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上， 上述结论并不受此限制. 如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直 线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个
子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标
轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及
从而有
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy.
D D
由定积分的几何应用：设一立体满足a x b， 在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面
与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体
积
V S ( x)dx. a
b
设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有 两个交点.区域D可以用不等式表示为
解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积
y 分下限，出口曲线为 x 31 ，作为积分上 2
限.积分区域D在y轴上投影区间为[0,2]，
(6 2 x 3 y )d 0 dy 0
D
2
2
3(1
y 2
而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上
投影区间[a,b]，a是下限，b是上限，即
f ( x, y )dxdy a dx y ( x ) f ( x, y )dy.
D
1
b
y2 ( x )
如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时， 在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该 将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所 作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.
)
(6 2 x 3 y )dx
6 x x 3 yx 0 9(1 y 0
2
2
3(1 0
y 2
)
dy
y 4
)dy 6，
这个结果与我们熟知的四面体的体积
1 1 V 底 高 2 3 6 6 3 3 2 1
是一致的.