高考数学第二轮复习 专题五第1讲直线与圆

∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，两条平行直线 l1 与 l2
间的距离为 d＝
126＋－(－231)2＝8
3
2 .
题型二 圆的方程及圆的性质问题
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例 2 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A(1,0)，且被 x 轴分成
两段弧长之比为 1∶2，求圆 C 的方程.
解 ∵圆 C 关于 y 轴对称，
主干知识梳理
1.直线的方程 (1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条 件，其次要注意倾斜角的范围. (2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距” 而造成丢解的情况. (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不 存在的情况，防止丢解. (4)求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法 求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想. (5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直， 它们是两条直线的特殊位置关系.另外，解题时认真画出图 形，有助于快速准确地解决问题.
变式训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)＝x2 ＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个 交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？并证明你的 结论. 解 (1)令 x＝0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b). 令 f(x)＝0，得 x2＋2x＋b＝0， 由题意 b≠0 且 Δ>0，解得 b<1 且 b≠0. (2)设所求圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，这与 x2＋2x＋b＝0 是同一 个方程，故 D＝2，F＝b.
∴圆 C 的圆心 C 在 y 轴上，可设 C(0，b).
设圆 C 的半径为 r.则圆 C 的方程为 x2＋(y－b)2＝r2.
12＋(－b)2＝r2
r2＝43
依题意，得|b|＝12r
解之得b＝±33 .
∴圆 C 的方程为 x2＋y± 332＝43.
探究提高 求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究 圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本 量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再 由条件求得各系数.(3)本题突破的关键是，将 x 轴分成两段弧 长之比为 1∶2，转化为弦所对圆心角为 120°.
令 x＝0，y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为 b， 代入得出 E＝－b－1. 所以圆 C 的方程为 x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)由 x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0， 得：x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0. 令yx－2＋1y＝2＋0 2x－y＝0 ，得xy＝＝10 或xy＝＝1－2 ∴圆 C 必过定点(0,1)和(－2,1)， 证明如下：
圆或圆锥曲线等知识结合起来命题.虽为基础知识，但最 易陷入易混易错的陷阱.
变式训练 1 若直线 l1：x＋ay＋6＝0 与 l2：(a－2)x＋3y＋2a
82 ＝0 平行，则 l1 与 l2 间的距离为____3____.
解析 由 l1∥l2，知 3＝a(a－2)且 2a≠6(a－2)，
2a2≠18，求得 a＝－1，
(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有 一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线 l1，l2 斜率都 存在，且不重合的条件下，才有 l1∥l2⇔k1＝k2 与 l1⊥l2⇔k1k2 ＝－1. (7)在运用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求平行直线间的距离时，一定要 把 x，y 项的系数化成相等的系数. 2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半 径为 r.
确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法.根据所给条件恰当
选择标准方程或一般方程.
热点分类突破
题型一 直线的概念、方程及位置关系问题
例 1 已知直线 l1：x－2my＋3＝0，直线 l2 的方向向量为 a＝ (1,2)，若 l1⊥l2，则 m 的值为__－__1__.
解析 由直线 l2 的方向向量为 a＝(1,2)，知直线 l2 的斜率 k2 ＝2，∵l1⊥l2，∴直线 l1 的斜率存在，且 k1＝21m，由 k1·k2 ＝－1，即21m·2＝－1，得 m＝－1.故填－1. 探究提高 本题考查两条直线的垂直关系，这类问题在高 考中属于基本问题，常与充要条件的判断、向量知识、
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心
为(－D2 ，－E2)，半径为 r＝
D2＋E2－4F；二元二次方程 2
Ax2＋Bxy
B＝0， ＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是A＝C≠0， D2＋E2－4AF>0.
(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能
专题五 解析几何
第 1 讲 直线与圆
【高考真题感悟】
(2010·山东)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上.
直线 l：y＝x－1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2，则过圆心且 与直线 l 垂直的直线的方程为_x_＋__y_－__3_＝__0__. 解析 设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半 径 r＝|x0－1|.圆心到直线 l 的距离为 d＝|x0－21|. 由弦长为 2 2可知|x0－21|2＝(x0－1)2－2， 整理得(x0－1)2＝4.∴x0－1＝±2，∴x0＝3 或 x0＝－1(舍去). 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线 y＝x－1 垂
直的直线方程为 y＝－(x－3)，即 x＋y－3＝0.
考题分析 本小题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系， 点到直线的距离公式及圆的弦长、弦性质等.试题以直线与圆 为背景，引入圆心坐标，以垂径定理为依据，构建方程，是解 决该题的关键. 易错提醒 (1)不能熟练应用垂径定理，构建方程. (2)易忽视题目限制条件.如圆心在 x 轴的正半轴上. (3)所求直线斜率是直线 l 的斜率的负倒数.这也是许多考生易 错的知识点.