差分方程的超松弛迭代法求解

Bn 0 n 0

x, y A0x C0 y D0 An sin knx Cn sinh kn y Dn cosh kn y n1
(x, y) ( A0x B0 )(C0 y D0 )

( An sin kn x Bn cos kn x)(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
n1
通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。
若取λ＝k2 ，同理可得到
(x, y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
《电磁场与电磁波》第10讲
第三章 静态电磁场及其边值问题（4）
§3.6 分离变量法 §3.7 有限差分法
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括：
静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
直角坐标系中的分离变量法 圆柱坐标系中的分离变量法 球坐标系中的分离变量法
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
3.6 分离变量法
我们知道静电场标势所满足的泊松方程为：
Fra Baidu bibliotek
其特解之一为：
2


1
4

V
(x
r
')dV
有限区域分布电荷，选无限远处电势为零时的解。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解

( An sin kn x Bn cos kn x)(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
n1
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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确定待定系数
(0, y) 0

B0 C0 y D0 Bn Cn sinh kn y Dn cosh kn y 0 n1
y
解：位函数满足的方程和边界条
件为
b
U0
2 2
0 x2 y2
(0, y) 0,(a, y) 0 (0 y b) o (x, 0) 0,(x,b) U0 (0 x a)
ax
因 (0,y)＝0、 (a,y)＝0，故位函数的通解应取为
(x, y) ( A0x B0 )(C0 y D0 )

k
2Y
(
y)

0
当 k 0
X (x) X0 (x) A0x B0 Y ( y) Y0 ( y) C0 y D0
(x, y) 0 (x, y) X0(x)Y0( y) (A0x B0)(C0 y D0)
当 k kn 0
X (x) An sin kn x Bn cos kn x
3.6.1 直角坐标系中的分离变量法
在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为
2 2
x2 y2 0
将 (x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即
(x, y) X (x)Y ( y)
将其代入拉普拉斯方程，得
Y ( y) d2 X (x) X (x) d2Y ( y) 0
5
3.6 分离变量法
对一般情况，设泊松方程的解为：
则，



'
1
4

V
(x
r
')dV
2 ' 0 ' 0
即：
泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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3.6 分离变量法
分离变量法是求解边值问题的一种经典方法
分离变量法解题的基本思路：
• 静态情况下，电场和磁本场章由内各容自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
3.5 镜像法
3.6 分离变量法
3.7 有限差分法
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3
3.6 分离变量法
3.6.1 3.6.2 3.6.3

( An sinh kn x Bn cosh kn x)(Cn sin kn y Dn cos kn y)
n1
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例3.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属
槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计
算此导体槽内的电位分布。
dx2
dy2
再除以X(x) Y(y) ，有
X
1 1 d2dX2(Xx() (Xx)(x) dxd2x2
x)

Y
1 ( y)
d2Y ( y) dy2

0
分离常数
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若取λ＝－k2 ，则有
d2X ( dx2
x)

k
2
X
(
x)

0
d
2Y ( y) dy2
若取λ＝k2 ，同理可得到
(x, y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )

( An sinh kn x Bn cosh kn x)(Cn sin kn y Dn cos kn y)
n1
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将所有可能的 (x,y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即
将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只 含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程， 求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形 式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。
分离变量法的理论依据是惟一性定理
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将所有可能的 (x,y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即
(x, y) ( A0x B0 )(C0 y D0 )

( An sin kn x Bn cos kn x)(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
n1
通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。
Y ( y) Yn ( y) Cn sinh kn y Dn cosh kn y
(x, y) n (x, y) Xn (x)Yn (x)
(An sin knx Bn cos knx)(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
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