高等数学电子教案

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1 0 1 2 a 0 = ∫ 0dx + ∫ kdx = k 2 −2 2 0
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1 2 nπx k nπx 2 bn = ∫ k sin dx = [ − cos ]0 2 0 2 nπ 2
k = (1 − cos nπ ) nπ
=
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∞
其中系数 a n , b n 为 :
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1 l nπx a n = ∫ f ( x ) cos dx l −l l 1 l nπx b n = ∫ f ( x ) sin dx −l l l
( n = 0 ,1, 2 ,...) ( n = 1, 2 ,...)
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当f(x)为奇函数时: f ( x) = ∑ bn sin
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1 [ f (x − 0) + f (x + 0)] 2 1 [ f (l − 0) + f (l + 0)] 2
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因为傅里叶级数通项的周期性,所以傅里叶级数必 能以2L为周期延拓到[-L,L]之外,使其对任何实数x 都收敛,因此它的和函数S(x)也是定义在实数轴上 以2L为周期的函数,即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定 义在[-L,L]上,则[-L,L]之外的f(x)的傅里叶级数的 和函数S(x)与函数f(x)无关.
l 2
L x
p(l − x) l , ≤ x≤l 2 2
y(x)是定义在[0,L]上的函数,要把它展开成
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正弦级数,必须对y(x)进行奇延拓,我们计算延 拓后的函数的傅立叶系数
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对上式右端的第二项
l
bn
2 = l
l
∫
l
0
y ( x ) sin
nπx dx l
2 2 px nπx = [∫ sin dx + 0 l 2 l
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弦项,又含有余弦项.
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正弦项,又含有余弦项. 本项工作只要注意到f(x)的以L 为周期的周期性,便得到相应的傅里叶系数公式为 (4)把f(x)在[0,L]上展开为以L为周期的傅里叶级数. 它与前三项工作不同的是:前面的函数展开工作是以2L 为周期; 这里以L为周期,且所得到的傅里叶级数既含有
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定理:设周期为2L的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则 它的傅立叶级数展开式为:
周期为2L 2L的周期函数的傅立叶级数 第七节 周期为2L的周期函数的傅立叶级数
a0 f ( x) = + 2
nπx nπx ∑ ( a n cos l + b n sin l ) n =1
x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上构造一个奇函
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数F(x),把该奇函数F(x)在[-L,L]上展开为傅里叶级数, 然后限制在[0,L]上. 即为所求的正弦级数.
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(2)把f(x)在[0,L]上展开成余弦级数. 这时,应把f(x), x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上构造一个偶函数 F(x), 在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后限制在[0,L]上. 即为所求的余弦级数. (3)把f(x)在(0,L)内展开为以周期为2L的傅里叶级数. 这时,在区间[-L,L]上构造一函数F(x),使它在[0,L]上
∫
l l 2
p (l − x ) nπx sin dx ] 2 l
, 令 t = l − x,则
bn
2 2 px nπx = [∫ sin dx + 0 l l 2
l
∫
l 2 0
pt n π (l − t ) sin dt ] l 2
l
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2 2 px nπx pt nπt n +1 2 = [∫ sin dx + ( − 1 ) ∫0 2 sin l dt ] 0 2 l l
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解: 此时L=2 f(x)= 0, -2≤x<0 k. 0≤x<2 (常数k≠0),把f(x)展开成傅立叶级数. 例1 设f(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2)上表达式为:
nπx k nπx 2 1 2 ∴ a n = ∫ k cos dx = [ sin ] 0 = 0 ( n ≠ 0) 2 0 2 nπ 2
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a0 f ( x) = + 2
nπx nπx ∑1 ( a n cos l + bn sin l ) n=
∞
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对于以2L为周期的函数g(x),由定积分的周期性性 质可知,不论a是什么值,都有
∫
a + 2l
a
g ( x)dx = ∫ g ( x)dx
−l
l
常常把以2L为周期的周期函数f(x)的傅里叶系数 中积分化为从0到2L的积分.这样使积分简单.
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把F ( z )展开成傅立叶级数 : a0 ∞ F ( z) = + ∑ (a n cos nz + bn sin nz ) 2 n =1
其中a n =
∫ π F ( z ) cos nzdz, π
−
1
π
bn =
∫ π F ( z ) sin nzdz π
−
1
π
( n = 0,1, 2,...)
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只要令z =
证明说明:
πx
l
,
(−π ≤
把 − l ≤ x ≤ l , 换成 : − π ≤ z ≤ π f ( x) = f ( ) = F ( z ) lz
πx
l
≤π)
π
∴ F ( z )为周期为2π的周期函数, 满足狄里克雷条件,
n =1 ∞
nπx l
2 l nπx dx 其中系数bn为: bn = ∫0 f ( x ) sin l l
当f(x)为偶函数时:
a0 ∞ nπx f ( x) = + ∑ an cos 2 n =1 l
( n = 1, 2,...)
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其中系数an为:
2 l nπx a n = ∫ f ( x ) cos dx 0 l l
2k , n=13,5,.... , nπ 0, n=2,4,6,...
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πx 1 3πx 1 5πx k 2k f ( x) = + (sin + sin + sin + ...) 2 π 2 3 2 5 2
(−∞ < x < +∞, x ≠ 0,±2,±4,....)
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=
当 n = 2 , 4 , 6 ,... 时 , b n = 0 .
当 n = 1 , 3 , 5 ,... 时 , b n 4p = 2l
∫
l 2 0
x sin
nπx dx l
2 pl nπ sin 2 n 2π 2
∴ f (x) =
2 pl
π
2
(sin
πx
5π x 1 3π x 1 − 2 sin + 2 sin − ...) l l l 3 5
k 在x = 0,±2,±4,....收敛于 2
其图形如下 y k -2 0 2 x
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把函数f(x)展开为傅里叶级数的步骤是: 1.确定函数f(x)的周期2L,以及它在[-L,L]上的奇偶性, 或者根据题意确定对[0,L]上函数f(x)进行奇延拓还是 偶延拓. 2.选定相应公式准确计算f(x)的傅里叶系数an,n=0,1,2,…. 与bn,n=1,2,…并写出相应的傅里叶级数.
在求傅里叶系数an,bn时,发现在n=1时没有意义,故要 再单独计算.
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定义在区间[0,L]上函数f(x)的傅里叶级数展开,通常有以 下几种情况: (1)把f(x)在[0,L]上展开成正弦级数. 这时,要把f(x)
二
定义在区间[0,L]上函数的傅里叶级数展开 定义在区间[0,L]上函数的傅里叶级数展开 [0,L]
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1 − cos(n + 1) x cos(n − 1) x π − 1 + (−1) n+1 = [ + ]0 = n = 0,2,3,L 2 2π n +1 n −1 π (n − 1)
a1 =
π∫
1
π
0
sin x cos xdx = 0
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2 L 2nπ a n = ∫ f ( x) cos x n = 0,1,2,L L 0 L
2 L 2nπ bn = ∫ f ( x) sin x n = 1,2, L L 0 L
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解: y
pl 4
例2 把图所示的函数展开成正弦级数
y=
px 2
l 0≤ x< 2
0
在上述的式中令 z =
πx
l
.并注意到F ( z ) = f ( x ), 于是有
a0 ∞ nπx nπx f ( x) = + ∑ (a n cos + bn sin ) 2 n =1 l l
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1 l nπx 而且a n = ∫ f ( x ) cos dx −l l l
1 l nπx bn = ∫ f ( x) sin dx −l l l
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一
定义在区间[ L,L]上函数的傅里叶级数展开 定义在区间[-L,L]上函数的傅里叶级数展开
3.根据狄里克雷定理写出所得到的傅里叶级数的和函 数S(x).
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给定函数的傅里叶级数展开应注意如下几点: (1)准确确定函数f(x)的周期,与判断它的奇偶性, 对于傅里叶级数的计算是很重要的. 由定积分性质可知,若f(x)在[-L,L]上是奇函数 或偶函数,则计算傅里叶系数就简单些.它只是正 弦级数,或者是余弦级数.
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(4)利用给定函数f(x)的傅里叶级数展开式可以求某些数项 级数的和值.在某个傅里叶级数等于其和函数的等式中,令 变量x取某个特定值,即得到所求数项级数的和值 例
设f ( x) = 0, ( −π ≤ x < 0), f ( x) = sin x (0 ≤ x ≤ π ),
bn = 1
π
∫ π f ( x) sin nxdx = π ∫ π
−
1
π
0
sin x sin nxdx = 0, n = 2,3, L
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b1 =
1
π
∫
π
0
1 sin x sin xdx = 2
1 − ∞ < x < +∞
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∞ 1 1 + ( −1) n ∴ f ( x ) ~ + sin x − ∑ cos nx 2 π 2 n = 2 π ( n − 1)
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bn 1 = l
a
n
设函数f(x)在[-L,L]上可积,则f(x)的傅里叶系数
1 = l
∫
l −l
f ( x ) cos
nπx dx l
( n = 0 ,1 , 2 ,...)
∫
l −l
f ( x ) sin
nπx dx l
( n = 1 , 2 ,...)
以这些系数组成的函数f(x)的傅里叶级数为
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(3)不要把函数f(x)的傅里叶级数的和函数S(x)与f(x) 本身相混同. 当函数f(x)在区间[-L,L]上满足狄里克雷定理条件 时,它的傅里叶级数必定收敛,且其和函数S(x)
f (x)
x为f(x)的连续点 x为f(x)的第一类间断点 x为区间的边界点
S(x) =
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F(x)=f(x),在[-L,0)上可以定义F(x)为任意函数,特别定义 F(x)=0,即
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F(x) =
当然,也可定义
f (x) 0 ≤ x ≤ l 0 −l ≤ x < 0
F(x) =
f (x) 0 ≤ x ≤ l 0 l < x < 2l
把扩充后的函数F(x)在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后 限制在(0,L)上即为所求的傅里叶级数,往往它既含有正
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坐标变换由函数f(x)构造一个奇函数或偶函数F(x), 然后把F(x)展开为正弦级数或余弦级数,再经过逆 变换得到原来函数f(x)的傅里叶级数. (2)准确掌握函数f(x)的傅里叶系数和傅里叶级数的 公式
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如果函数f(x)在[-L,L]上没有奇,偶性特性,则可经过
且f ( x + 2π ) = f ( x).试求f ( x)的傅里叶级数. 分析 : 显然, 周期为2π的周期函数f ( x)在整个实数轴
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上连续.它的傅里叶级数的系数
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= 1 an =
∫ π f ( x) cos nxdx π
−
1
π
π
∫
π
0
1 π sin x cos nxdx = ∫0 [sin(n + 1) x − sin(n − 1) x]dx 2π