4 高斯色噪声的产生

4、功率谱密度逆变换——产生复色噪声
前面求时间序列模型系数的方法（线性滤波法）理论上可行，但实 际应用中复杂程度取决于所要求的功率谱密度或自相关函数。
Richard L. Mitchell, Radar Signal Simulation, Artech House, Inc.
1976 ([美]R.L.米切尔著，陈训达译，雷达系统模拟，科学出版社， 1982.7)
复自相关函数 Y u jv [hr (t ) jhi (t )][ x jy]
u hr (t ) x hi (t ) y v hr (t ) y hi (t ) x
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
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高斯色噪声的产生
线性滤波法 1、理论基础——概率分布要求
《随机信号分析》 ξ3.1 线性系统输出及其概率分布
1）输入为高斯过程时
Y (t ) h( ) X (t )d X ( )h(t )d 0 n维高斯随机变量的线 上述积分可用级数和表示为： 性组合仍为高斯分布
4、高斯色噪声的产生
随机矢量抽样法
1、随机矢量的定义
2、随机矢量抽样法 3、随机矢量的产生
线性滤波法
1、理论基础 ——《随机信号分析》Ch3 系统对随机信号的响应
2、ARMA模型（时域线性滤波法）—— 产生实高斯色噪声
3、复高斯白噪声线性滤波法 —— 产生复高斯色噪声（讨论内容） 4、功率谱密度逆变换 —— 产生复色噪声
随机矢量抽样法
2、随机矢量抽样
方学立，梁甸农，一种用于相关高斯序列仿真的新方法，雷达科学与技 术，2004，2(4): 211-214
方学立，相关随机序列仿真的一种新方法，空间电子技术，2004年03期,
36-40 提出改进的随机矢量抽样法： 序列的相关性总是有一定长度的（假设为N），当需要仿真长度超 过N的相关随机序列时，协方差矩阵可以保持不变。此时重叠地套用长 度为N的相关随机序列产生方法，便可快速地仿真出任意长度的相关高 斯序列。
若系统输入端的平稳随机过程是非高斯分布，只要输入过程的等效
噪声带宽远大于系统的带宽（白噪声过程满足），则系统输出端便是接 近于高斯分布的随机过程。
Y (t ) lim X ( i )h(t i ) i
i 0 n i 1
n
上式表明输出过程Y(t)在任意时刻t的取值是大量随机变量之和，根据中 心极限定理，大量统计独立的随机变量之和的分布接近高斯分布。因此 上面输出过程 近似高斯分布需要满足两个条件：(1)随机变量必须相互独 立，(2)独立随机变量求和的数目要足够多。
式中为x(n)具有零均值与方差为σ2的白噪声，上式称为自回归—滑动平均 模型ARMA(N, r)。
维纳—辛钦(Wiener-Khinchine)定理表明平稳随机过程的自相关函
数与功率谱密度之间互为傅立叶变换，下面分析时间序列模型与它们之 间的关系：
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高斯色噪声的产生
对平稳离源自文库随机序列的三种等价描述方法：自相关函数、功率谱密 度、时间序列模型。许多平稳离散时间随机过程可看成是由典型的噪声 源激励一个线性系统所产生的，这种噪声源通常是白噪声序列，其一般 表达式为：
y(n) a1 y(n 1) a N y(n N ) x(n) b1 x(n 1) br x(n r )
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高斯色噪声的产生
随机矢量抽样法 3、随机矢量的产生
通过N阶协方差阵的特征分解可产生N维高斯随机矢量，具体步骤： 通过将协方差阵分解成两个三角阵乘积，则将独立高斯随机矢量与其中 一个三角阵相乘即可获得所需结果。 参考文献： G. Marsaglia, A note on the construction of a multivariate normal sample, IRE Trans. on Information Theory, Vol.IT-3, p.149, June 1957 随机矢量产生方法的系统介绍详细见后续内容。
提出了采用频域法反变换法来获得具有特定功率谱密度的随机序列，并
基于此进一步产生高斯相关序列。同时基于频域乘积等价于时域卷积关 系，存在对应的时域法。
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
4、功率谱密度逆变换——产生复色噪声
各态历经过程的经典功率谱估计方法有： 直接法(周期图法)
u h(t ) x 对称的PSD 实自相关函数 Y u jv h(t ) [ x jy] v h(t ) y
设复白噪声x+jy的功率谱为1，则实滤波器的幅频特性为复高斯过程 Y=u+jv功率谱曲线的平方根，即 H ( ) SY ( ) 也具有对称性，可以附 加合适的相位函数(满足奇对称性，特殊情况：不附加任何相位函数相当 于取相位函数恒为零)构造物理可实现的系统 。由于x, y是相互统计独立 的高斯序列，则u, v也服从相互统计独立的高斯分布。
[美]R.L.米切尔著，陈训达译，雷达系统模拟，科学出版社，1982.7， P184:
t
Y (t ) lim X ( i )h(t i ) i
i 0 n i 1
n
n 式中 i 为采样点， i 为采样间隔， 为采样点数。
高斯色噪声的产生
线性滤波法 1、理论基础——概率分布要求
《随机信号分析》 ξ3.1 线性系统输出及其概率分布 2）输入为非高斯过程时
极点在s左平面)或(零极点在z平面的单位圆内)上书p268，然后直接利用
MATLAB进行滤波器设计。相关概念：白化滤波器
高斯色噪声的产生
线性滤波法
3、复高斯白噪声线性滤波法——产生复高斯色噪声
前述方法利用实高斯白噪声通过实线性滤波器仅能产生实高斯色噪 声，而若要求产生特定PSD的复高斯色噪声，则可以将复高斯白噪声通 过线性滤波器生成，具体形式有： 1）复高斯白噪声+实线性滤波器 如果要求的复高斯过程PSD具有对称性，则此过程的自相关函数为 实函数，即过程的实部、虚部不相关且统计独立，则该复高斯过程可将 复高斯白噪声通过特定的线性滤波器得到，即
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高斯色噪声的产生
随机矢量抽样法
1、随机矢量的定义
高斯色噪声的产生
随机矢量抽样法
2、随机矢量抽样
随机矢量用协方差阵描述各变量之间的相关性。若视随机矢量的一 次抽样为一随机序列，则它可以仿真相关随机序列。 缺点：当N很大时其计算量非常大。
高斯色噪声的产生
出版社，1982.7)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
500
600
高斯型PSD仿真结果图 （红色——理论值，黑色——模拟值）
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
4、功率谱密度逆变换——产生复色噪声 高斯色噪声的时域产生方法：
线性滤波法 2、ARMA模型——产生实高斯色噪声
1）时间序列模型 → 功率谱密度、自相关函数
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高斯色噪声的产生
线性滤波法 2、ARMA模型——产生实高斯色噪声
2）功率谱密度、自相关函数 → 时间序列模型 参考文献： 朱华等编，随机信号分析，北京理工大学出版社，1990.12
h(n ), 确定初始值 r(m ) S(z ) H (z ) B(z ) A(z ) ,确定迭代公式ARMA模型
该文考虑了滤波器的暂态效应，可通过取若干特定的输出序列初始 值来解决。
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
2、ARMA模型——产生实高斯色噪声


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高斯色噪声的产生
线性滤波法
1、理论基础——功率谱密度要求
当输入理想白噪声时，系统输出的功率谱为：
N0 2 SY () S X () H () H () 2
2
即输出随机过程的功率谱形状主要取决于系统的幅频特性，这样为产生 特定相关特性(特定功率谱密度)的随机过程，可将白噪声通过一个特定 的线性系统来产生，此法在随机序列模拟中得到广泛应用。
高斯色噪声的产生
线性滤波法 1、理论基础——功率谱密度要求
《随机信号分析》 ξ3.3 线性系统输出的功率谱密度
输出过程功率谱密度：
SY ( ) RY ( )e j d S X ( ) H ( ) H ( ) S X ( ) H ( )


2
式中 H ( ) h(t )e jt dt
u h(t ) x 对称的PSD 实自相关函数 Y u jv h(t ) [ x jy] v h(t ) y
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
3、复高斯白噪声线性滤波法——产生复高斯色噪声
1）复高斯白噪声+实线性滤波器
处理时需要预先补零。
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
4、功率谱密度逆变换——产生复色噪声
频域法（一般方法，对PDF无约束）：
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
4、功率谱密度逆变换——产生复色噪声
时域法（一般方法，对PDF无约束）：
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
2、ARMA模型——产生实高斯色噪声
M.J. Levin, Generation of sampled Gaussian time series having a specified correlation function, IRE Trans. Inform. Theory, Vol.6, Dec. 1960, pp.545~548 上文是采用线性滤波法由高斯白噪声产生高斯色噪声的经典文献， 其基本思想：
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高斯色噪声的产生
线性滤波法
3、复高斯白噪声线性滤波法——产生复高斯色噪声
2）复高斯白噪声+复线性滤波器 如果要求的复高斯过程PSD不具有对称性，则此过程的自相关函数 为复函数，即过程的实部、虚部具有相关性，则该复高斯过程必须将复 高斯白噪声通过特定的复线性滤波器得到，即 非对称 的PSD
2 由离散随机序列功率谱密度 SY () V (cos ) X 求时间序列模型的步
骤见上书p265 ，其中技巧在于如何确定系数。 由自相关序列求时间序列模型步骤见上书p266，核心是通过联立方
程组求解系数，缺点在于定阶困难。
实际上对于连续或离散平稳随机过程，基于各自的有理功率谱密度 分解定理，可理论上求解产生特定色噪声的线性滤波器的传递函数 (零
间接法
1 2 xT (t ) xT (n) X T (k ) S X (k ) X T (k ) N
xT (t ) xT (n) R X (m) S X (k )
以上两种方法理论上等价，详细分析见后续有关自相关函数、功率谱估 计及其检验部分。但需要注意两者计算点数的区别，为两者一致，前者
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高斯色噪声的产生
线性滤波法 4、功率谱密度逆变换——产生复色噪声 高斯色噪声的频域产生方法：
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以上分析表明Richard L. Mitchell, Radar Signal Simulation, Artech House, Inc. 1976 ([美]R.L.米切尔著，陈训达译，雷达系统模拟，科学