应用随机过程 ppt课件
合集下载
应用随机过程(第三章)PPT课件
Poisson的特性
平稳增量性。
由 E N tt ，知λ是单位时间内发和事件
的平均次数。 称λ为Poisson近程的强度或速率。
例3.1.1 售票处乘客以10人／小时的平均速率 到达，则9：00 ～10：00最多有5名乘客的 概率？10：00 ～11：00没有人的概率？
例3.1.2 保险公司接到的索赔次数
k 0
k 0 m m k pm 1pkm t m k k !e t
k 0m m !k k !!pm 1pkm t m k k !e t
pm tet 1pktk
m ! k0 k!
tpm ept
m!
Poisson过程的推广
非齐Poisson过程
定义3.3.1 计数过程 N t,t0称作强度函
过程 N t,t0 ，每次的赔付金额Yi都相
互独立，且有相同的分布F，且每次的索赔 额与与它发生的时间无关。则[0，t]内保险
公司赔付的总额 X t,t0 就是一个复
合Poisson 过程，其中：
XtNtYi i1
例3.3.3
（顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某
服务系统的时刻 S1, S2, ,形成一个
t 6 6 1 02
1 第i位顾客在商场买东西 Yi 0 第i位顾客在商场未买东西
• 以 N1t 表示在时间[0，t]内到达商场的人
数， E N 112 4320
• 以 N2t 表示在时间[0，t]内在商场买东西
的人数，
E N 1 t E N 1 tY i t 0 .9 i 1
• 若以Zi 表示第i位顾客在商场消费金额，且
Z i~ B 2,0 .5 0
•则
N3 t N 1tZi i1
应用随机过程PPT模板
机过程的基本概念
§2.4更新过程
01 § 2 . 4 . 1 引言
03 § 2 . 4 . 3 极限定理与
停时
05 § 2 . 4 . 5 延迟更新过
程
02 § 2 . 4 . 2 N （t ） 的分
布与更新函数
04 § 2 . 4 . 4 更新定理及
其应用
06 § 2 . 4 . 6 有酬更新过
§5.2平稳过程和相关函数的谱分 解
§5.2.2平稳 过程的谱分 解
§5.2.1相关 函数的谱分 解
§5.2.3平稳 过程的线性 运算
第五章平稳过程
§5.3均方遍历性
0 1 §5.3.1平稳过程均方遍历性的基本概 念
0 2 §5.3.2平稳过程的遍历性定理
第五章平稳过程
§5.4线性系统中的平稳过程
§5.4.1线性时不变 系统
§5.4.2输入为平稳 过程的情形
§5.4.3平稳相关过 程和互谱函数
第五章平 稳过程
§5.5平稳过程的采样定 理
§5.5.1采样 定理
1
§5.5.2白噪 声
2
07 参考文献
参考文献
感谢聆听
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.1二阶矩过程和二阶矩随机变 量空间H
§4.1.2二阶 矩随机变量 空间H
§4.1.1二阶 矩过程
§4.1.3均方 极限的性质
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.2二阶矩过程的均方微积 分
§4.2.1均方连 续性
01
§4.2.3均方积 分
03
§4.2.5均方导 数与均方积分 的分布
§1.3随机 变量的数
字特征
§1.4概率 论中常用 的几个变
§2.4更新过程
01 § 2 . 4 . 1 引言
03 § 2 . 4 . 3 极限定理与
停时
05 § 2 . 4 . 5 延迟更新过
程
02 § 2 . 4 . 2 N （t ） 的分
布与更新函数
04 § 2 . 4 . 4 更新定理及
其应用
06 § 2 . 4 . 6 有酬更新过
§5.2平稳过程和相关函数的谱分 解
§5.2.2平稳 过程的谱分 解
§5.2.1相关 函数的谱分 解
§5.2.3平稳 过程的线性 运算
第五章平稳过程
§5.3均方遍历性
0 1 §5.3.1平稳过程均方遍历性的基本概 念
0 2 §5.3.2平稳过程的遍历性定理
第五章平稳过程
§5.4线性系统中的平稳过程
§5.4.1线性时不变 系统
§5.4.2输入为平稳 过程的情形
§5.4.3平稳相关过 程和互谱函数
第五章平 稳过程
§5.5平稳过程的采样定 理
§5.5.1采样 定理
1
§5.5.2白噪 声
2
07 参考文献
参考文献
感谢聆听
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.1二阶矩过程和二阶矩随机变 量空间H
§4.1.2二阶 矩随机变量 空间H
§4.1.1二阶 矩过程
§4.1.3均方 极限的性质
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.2二阶矩过程的均方微积 分
§4.2.1均方连 续性
01
§4.2.3均方积 分
03
§4.2.5均方导 数与均方积分 的分布
§1.3随机 变量的数
字特征
§1.4概率 论中常用 的几个变
应用随机过程PPT课件
(1) 0 F ( x1, x2 ,, xd ) 1；
(2) F ( x1, x2 ,, xd )对每个变量都是单调的 ；
(3) F ( x1, x2 ,, xd )对每个变量都是右连续 的；
(4) lim F (x1,, xi ,, xd ) 0,
xi
(i 1,2,, d )
lim
xi
7. 分布： 密度函数
f
(x)
(
)
x
1ex
,
0,
x0 x0
（ 0）
称之为以，为参数的分布，函数定义为
( ) 0 x 1exdx （ 0）
函数的性质：
(1) ( 1) ( );
(2) (1) 1;
(3) (1) ;
2 (4) (n 1) n!
8.指数分布： 在分布中，令 0， 0
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
(F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n ,则 Ai F , Ai F;
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
Borel - 代数, 记作B(R)，其中的元素称为Borel集 合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数, 记作B(Rn ). 显然 B ((, a),a R).
定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足 （1）对任意A F，有0 P(A) 1;
《随机过程及其应用(第三版)》课件SJGC6-2
13
1 p1 j = P{ X (n + 1) = j | X ( n) = 1} = , j = 1, 2, L , 6 6 而又当X(n)=2时 由题意应知条件概率
p 21 = P{ X ( n + 1) = 1 | X ( n ) = 2} = 0 p2 j = 1 , j = 3, 4, 5, 6 6
1) pij ( k ) ≥ 0 2) ∑ p ij ( k ) = 1
j∈E
∀ i, j ∈ E ∀i ∈ E
第1)条性质是由概率定义所决定的; 第2)条性质利用全概率公式可知其正确性 实际上 ∀i ∈ E , ∑ pij (k ) = ∑ P{ X (k + 1) = j | X (k ) = i}
2
一 马氏链的定义
1 可列状态与有限状态马氏链
定义2.1 设{X(n),n 0}为一随机序列 其状态集为 E= {i0,i1,i2,…} 若对于任意的n 及i0,i1,i2,…in+1 对应的随机变量X(0),X(1),X(2),...,X(n+1)满足
P{X (n +1) = j | X (n) = in , X (n −1) = in−1,L, X (1) = i1, X (0) = i0} = P{X (n +1) = j | X (n) = in )
= P{X (n +1) = in+1 | X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }P{X (0) = i0 ,
X (1) = i1,L, X (n) = in } = P{X (n +1) = in+1 | X (n) = in }P{X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }
1 p1 j = P{ X (n + 1) = j | X ( n) = 1} = , j = 1, 2, L , 6 6 而又当X(n)=2时 由题意应知条件概率
p 21 = P{ X ( n + 1) = 1 | X ( n ) = 2} = 0 p2 j = 1 , j = 3, 4, 5, 6 6
1) pij ( k ) ≥ 0 2) ∑ p ij ( k ) = 1
j∈E
∀ i, j ∈ E ∀i ∈ E
第1)条性质是由概率定义所决定的; 第2)条性质利用全概率公式可知其正确性 实际上 ∀i ∈ E , ∑ pij (k ) = ∑ P{ X (k + 1) = j | X (k ) = i}
2
一 马氏链的定义
1 可列状态与有限状态马氏链
定义2.1 设{X(n),n 0}为一随机序列 其状态集为 E= {i0,i1,i2,…} 若对于任意的n 及i0,i1,i2,…in+1 对应的随机变量X(0),X(1),X(2),...,X(n+1)满足
P{X (n +1) = j | X (n) = in , X (n −1) = in−1,L, X (1) = i1, X (0) = i0} = P{X (n +1) = j | X (n) = in )
= P{X (n +1) = in+1 | X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }P{X (0) = i0 ,
X (1) = i1,L, X (n) = in } = P{X (n +1) = in+1 | X (n) = in }P{X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }
应用随机过程PPT课件
k
EX kP(X k) (1)P(X k)
k0
k1 i1
P(X k)
交换求和顺序
k1
2021/7/1
60
同理，对连续型随机变量有相似的结论成立
若X0
x
EX0 xd(PXx)0 (0 dy)dP(Xx)
0 P(Xx)dx
2021/7/1
61
2021/7/1
62
2021/7/1
63
2021/7/1
2021/7/1
概率
16
1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
2021/7/1
17
概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
64
2021/7/1
65
Chebyshev不等式
0,
P(|
X
EX
|
)
DX
2
P(|
X
EX
|
)
E
|
X EX
p
|p
( p1)
2021/7/1
66
条件数学期望
2021/7/1
(iN)
67
2021/7/1
68
2021/7/1
69
用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面“随机变量”部分 ）
2021/7/1
70
例： 随机变量 X I A ,Y I B , A, B ，
应用随机过程课件
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质：线性变换不改变随机过程的 统计特性
举例：高斯随机过程经过线性变换 后仍为高斯随机过程
定义：将随机过程通过非线性函数进行变换得到新的随机过程。 常见变换：对随机变量进行指数变换、对数变换等。
应用场景：在信号处理、通信等领域中通过对随机信号进行非线性变换实现信号的调制、解调等功能。
多径传播：随机过程用于描述无线通信中的多径传播效应以提高信号的可靠性和稳定性。
随机过程在金融领域的应用包括股 票价格预测、风险评估和投资组合 优化等方面。
随机过程还可以用于信用评级和风 险评估帮助金融机构评估借款人的 信用风险和违约概率。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
通过随机过程模型可以分析金融市 场的波动性和相关性从而制定有效 的投资策略。
循环性是随机过程的基本性质之一它决定了过程的可预测性和不可预测性的程度。
循环性对于理解和预测某些自然现象（如气候变化、生态系统的动态等）具有重要意义。
在实际应用中循环性可以帮助我们更好地理解和预测某些随机现象如股票价格的波动、人口增长等。
定义：将随机过程进行线性变换得 到新的随机过程
应用：在信号处理、通信等领域中 广泛应用
数学模型：基于概率论和随机过程的理论基础建立非线性变换的数学模型分析其统计特性。
傅里叶变换的定义和性质 随机过程的傅里叶变换方法 傅里叶变换在信号处理中的应用 傅里叶变换在随机过程中的应用实例
信号传输：随机过程用于描述信号在通信系统中的传输过程如噪声和干扰。
信道容量：随机过程用于分析通信信道的容量以优化通信系统的性能。 调制解调：随机过程用于实现高效的调制解调技术如QM和QPSK。
《随机过程及其应用(第三版)》课件SJGC5-1
6
3. 严平稳过程的数字特征
(1)均值函数 m X ( t ) = E [ X ( t )]
=∫
2
+∞
−∞
xf ( x, t )dx = ∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = 常数= mX
均方值函数
2 (t) = E[X 2 (t)]= ψX
∫
+∞
−∞
x f (x, t)dx =
+∞ −∞ 2
2
∫
+∞
一 二 三
平稳过程 宽平稳过程 联合平稳过程
1
一
平稳过程
为一随机过程 若对任
1. 严平稳过程定义
定义1.1 设{X (t) ,t 意整数n 任意的
t1 , t 2 , L , t n ∈ T ,
即
t1 + ε, t2 + ε ,L, tn + ε ∈T
其n维分布函数相等
F , xn,t1,t2,L ,tn) = F(x1, x2,L , xn,t1 +ε,t2 +ε,L ,tn +ε) n(x 1, x2,L
[
]
[
] [
]
14
2 ) R X ( −τ ) = R X (τ )
பைடு நூலகம்
因为R X (τ ) = E X (t ) X (t + τ ) = E X (t )X (t + τ )
= E X (t + τ ) X (t ) = E ( X ( s ) X ( s − τ )] = R X ( −τ )
[
CX (t1 , t2 ) = Cov( X (t), X (t2 )) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t 2 ) = RX (t2 − t1 ) − mX mX = CX (t2 − t1 )
3. 严平稳过程的数字特征
(1)均值函数 m X ( t ) = E [ X ( t )]
=∫
2
+∞
−∞
xf ( x, t )dx = ∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = 常数= mX
均方值函数
2 (t) = E[X 2 (t)]= ψX
∫
+∞
−∞
x f (x, t)dx =
+∞ −∞ 2
2
∫
+∞
一 二 三
平稳过程 宽平稳过程 联合平稳过程
1
一
平稳过程
为一随机过程 若对任
1. 严平稳过程定义
定义1.1 设{X (t) ,t 意整数n 任意的
t1 , t 2 , L , t n ∈ T ,
即
t1 + ε, t2 + ε ,L, tn + ε ∈T
其n维分布函数相等
F , xn,t1,t2,L ,tn) = F(x1, x2,L , xn,t1 +ε,t2 +ε,L ,tn +ε) n(x 1, x2,L
[
]
[
] [
]
14
2 ) R X ( −τ ) = R X (τ )
பைடு நூலகம்
因为R X (τ ) = E X (t ) X (t + τ ) = E X (t )X (t + τ )
= E X (t + τ ) X (t ) = E ( X ( s ) X ( s − τ )] = R X ( −τ )
[
CX (t1 , t2 ) = Cov( X (t), X (t2 )) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t 2 ) = RX (t2 − t1 ) − mX mX = CX (t2 − t1 )
应用随机过程 离散鞅ppt课件
特殊的随机过程鞅鞅起源于公平博弈近来在金融保险和医学应用很大起源于公平博弈近来在金融保险和医学应用很大
离散鞅
引入：特殊的随机过程—鞅， 起源于“公平博弈”，近来在金
融、保险和医学应用很大.
离散鞅—离散时间的鞅.
定义：随机过程{Xn，n 0}称为关于{Yn，n 0}的下鞅，
如果对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数，EXn ，并且 E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
(2)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
则{aXn bYn , Fn,n 0}是下鞅. (3)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,则
{max{Xn ,Yn}, Fn,n 0}是下鞅. (3，)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个上鞅,则
E(Mn ) , n 0, 则{(Mn ), Fn,n 0}是下鞅.
特别地，{| Mn |, Fn,n 0}是下鞅； 当E(Mn2 ) , n 0时，{Mn2, Fn,n 0}也是下鞅.
证明作为作业
7
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn.
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，需满足：
(1)对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数； (2) E( | Xn | )<;
(3) E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，分别 验证上述三个条,...X n ).
证明见黑板.
一个重要的不等式：条件Jenson不等式
离散鞅
引入：特殊的随机过程—鞅， 起源于“公平博弈”，近来在金
融、保险和医学应用很大.
离散鞅—离散时间的鞅.
定义：随机过程{Xn，n 0}称为关于{Yn，n 0}的下鞅，
如果对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数，EXn ，并且 E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
(2)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
则{aXn bYn , Fn,n 0}是下鞅. (3)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,则
{max{Xn ,Yn}, Fn,n 0}是下鞅. (3，)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个上鞅,则
E(Mn ) , n 0, 则{(Mn ), Fn,n 0}是下鞅.
特别地，{| Mn |, Fn,n 0}是下鞅； 当E(Mn2 ) , n 0时，{Mn2, Fn,n 0}也是下鞅.
证明作为作业
7
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn.
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，需满足：
(1)对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数； (2) E( | Xn | )<;
(3) E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，分别 验证上述三个条,...X n ).
证明见黑板.
一个重要的不等式：条件Jenson不等式
《应用随机过程》课件
随机过程作为一种强大的数学工具，能够应用于各个领域，为解决实际问题 提供了有力支持。
希望本课程能够为您的学习和职业发展带来启发和帮助！谢谢大家！
随机过程在传输信号、网络拥塞控制和信道建 模等方面具有广泛应用。
随机过程的模拟和分析
模拟
利用数值方法和计算机模拟生成随机过程的样本路径，用于验证和测试理论模型。
分析
通过概率论和统计学方法分析随机过程的特性和统计规律，为实际问题提供解决方案。
总结
通过本课程的学习，我们深入了解了随机过程的基本概念、分类、特性、应 用以及模拟和分析方法。
马尔可夫性
随机过程的未来值只与当前值相关， 与过去值无关，便于建模和计算。
随机过程的应用
金融领域
随机过程在股票市场预测和衍生品定价等方面 发挥重要作用。
数据分析
随机过程的工具和方法用于分析和建模时间序 列数据，揭示隐藏的统计规律。
排队系统
随机过程可用于优化排队系统的性能，提高服 务质量和效率。
通信网络
连续时间
随机变量在连续的 时间区间内变化， 例如布朗运动和泊 松过程。
时齐
随机过程的统计特 性在时间上是不变 的，例如平稳随机 过程。
非时齐
随机过程的统计特 性随时间变化，例 如非平稳随机过程。
随机过程的特性
1
平稳性
2
随机过程的统计特性在时间上保持不
变，具有一定的预测性。
3
随机性
随机过程的未来值是随机的，无法精 确预测。
《应用随机过程》PPT课件
课程介绍 什么是随机过程 随机过程的分类 随机过程的特性 随机过程的应用 随机过程的模拟和分析 总结
课程介绍
欢迎大家来到《应用随机过程》课程！本课程将带领您深入了解随机过程的 理论和应用，为您打开了一扇探索机会与挑战的大门。
希望本课程能够为您的学习和职业发展带来启发和帮助！谢谢大家！
随机过程在传输信号、网络拥塞控制和信道建 模等方面具有广泛应用。
随机过程的模拟和分析
模拟
利用数值方法和计算机模拟生成随机过程的样本路径，用于验证和测试理论模型。
分析
通过概率论和统计学方法分析随机过程的特性和统计规律，为实际问题提供解决方案。
总结
通过本课程的学习，我们深入了解了随机过程的基本概念、分类、特性、应 用以及模拟和分析方法。
马尔可夫性
随机过程的未来值只与当前值相关， 与过去值无关，便于建模和计算。
随机过程的应用
金融领域
随机过程在股票市场预测和衍生品定价等方面 发挥重要作用。
数据分析
随机过程的工具和方法用于分析和建模时间序 列数据，揭示隐藏的统计规律。
排队系统
随机过程可用于优化排队系统的性能，提高服 务质量和效率。
通信网络
连续时间
随机变量在连续的 时间区间内变化， 例如布朗运动和泊 松过程。
时齐
随机过程的统计特 性在时间上是不变 的，例如平稳随机 过程。
非时齐
随机过程的统计特 性随时间变化，例 如非平稳随机过程。
随机过程的特性
1
平稳性
2
随机过程的统计特性在时间上保持不
变，具有一定的预测性。
3
随机性
随机过程的未来值是随机的，无法精 确预测。
《应用随机过程》PPT课件
课程介绍 什么是随机过程 随机过程的分类 随机过程的特性 随机过程的应用 随机过程的模拟和分析 总结
课程介绍
欢迎大家来到《应用随机过程》课程！本课程将带领您深入了解随机过程的 理论和应用，为您打开了一扇探索机会与挑战的大门。
《随机过程——计算与应用》课件-马尔科夫连 4
(3)若i j，则j i
（互通的对称性）
上述性质的验证留作ห้องสมุดไป่ตู้习.
定理6.3.5 设i, j S,则
(1) i j fij 0 （2）若i是常返的，且i j 则有f ji 1，从而有i j,
证明 (1) 设i j 则 n 1 使pi(jn) 0
因而也有
fij
p(n) ij
0
或者同为零常返的;或者同为正常返周期态,且周期 相同.或者同为正常返非周期(遍历态).
证明 i j, i j, j i, 存在正整数l, n，使
p(l ) ij
0
p(n) ji
0
由C-K方程，对任意的正整数m有
p (lmn) ii
p p p p(l) ik
p(m) ks
p(n) si
周 期 为 4.
例6.3.9 设齐次马尔可夫链的状态空间S={1,2,3,4,5,6,}, 其一步转移概率矩阵为
0 0 1 0 0 0
0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0
P
1 3
1 3
0
1 3
0
0
1 0 0 0 0 0
0
1 2
0
0
0
12
试分解此马尔可夫链,并写出各状态类型及周期.
1
1
1 3
下面证明 当i ,j 同为正常返态时,周期相同
设i, j同为正常返状态，周期分别为di , d j
由C-K方程
p (nl ) jj
p(n) jk
p(l) kj
p p (n) (l ) ji ij
0
k
dj nl
又因为，对任意的m有
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
《随机过程及其应用》课件
随机过程及其应用
本课程将介绍随机过程的定义、基本概念、分类及应用领域；常见的随机过 程模型，包括马尔可夫链、泊松过程、随机游走以及布朗运动；随机过程的 分析方法，如平稳性、概率密度函数、自相关函数、谱表示和功率谱密度； 随机过程在工程和科学中的具体应用，如通信系统中的调制与解调，金融等。
定义与基本概念
泊松过程
定义
单位时间或单位区间内发生某些 事件的次数是一个随机变量，其 符合泊松分布
应用
模拟等待队列，生产过程中的故 障数目，电话交换机的接听情况 等
举例
喜剧演员的笑声、体育场观众掌 声等
随机游走
1
定义
在时刻t，位移Δx与时间间隔Δt有关，但方向与时间无关
2
应用
金融领域中预测趋势、股票价格演化、计算机网络中的流量控制等
历史沿革
由英国植物学家Robert Brown首次观察到花粉颗 粒、孢子在水中的Brown运动而得名
2 离散 vs 连续
离散随机过程在有限个时间点处取值，连续 随机过程可在任何时间点取值
3 平稳 vs 非平稳
4 高斯 vs 非高斯
平稳的随机过程的概率特性不会随时间而改变
高斯随机过程的每个线性形式都服从高斯分布
应用领域
1
通信系统
随机过程是调制和解调技术的基础；脉冲调制系统、正交调制系统等均需要应用 随机过程
什么是随机过程？
随机变量在时间轴上的演化过程
随机变量 vs 随机过程
随机过程 vs 随机场
随机变量是单个事件的概率分布， 随机过程是一组相关事件概率分 布
随机场是多维随机变量，随机过 程是一维或多维随机变量的集合
分类与特性
1 时域 vs 频域
本课程将介绍随机过程的定义、基本概念、分类及应用领域；常见的随机过 程模型，包括马尔可夫链、泊松过程、随机游走以及布朗运动；随机过程的 分析方法，如平稳性、概率密度函数、自相关函数、谱表示和功率谱密度； 随机过程在工程和科学中的具体应用，如通信系统中的调制与解调，金融等。
定义与基本概念
泊松过程
定义
单位时间或单位区间内发生某些 事件的次数是一个随机变量，其 符合泊松分布
应用
模拟等待队列，生产过程中的故 障数目，电话交换机的接听情况 等
举例
喜剧演员的笑声、体育场观众掌 声等
随机游走
1
定义
在时刻t，位移Δx与时间间隔Δt有关，但方向与时间无关
2
应用
金融领域中预测趋势、股票价格演化、计算机网络中的流量控制等
历史沿革
由英国植物学家Robert Brown首次观察到花粉颗 粒、孢子在水中的Brown运动而得名
2 离散 vs 连续
离散随机过程在有限个时间点处取值，连续 随机过程可在任何时间点取值
3 平稳 vs 非平稳
4 高斯 vs 非高斯
平稳的随机过程的概率特性不会随时间而改变
高斯随机过程的每个线性形式都服从高斯分布
应用领域
1
通信系统
随机过程是调制和解调技术的基础；脉冲调制系统、正交调制系统等均需要应用 随机过程
什么是随机过程？
随机变量在时间轴上的演化过程
随机变量 vs 随机过程
随机过程 vs 随机场
随机变量是单个事件的概率分布， 随机过程是一组相关事件概率分 布
随机场是多维随机变量，随机过 程是一维或多维随机变量的集合
分类与特性
1 时域 vs 频域
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
([0,1], B[0,1])为[0,1]上的Borel可测空间.A [a,b] B[0,1] 定义P( A) b a,称(, F，P)为[0,1]上的Borel概率空间， 称P为[0,1]上的Borel概率测度.
ppt课件
16
概率的基本性质
(1) P() 0,
(2) 若A, B F, 则P( A B) P( A) P(B) P( AB)
(4)对偶原则 (De Morgan律)
AB AB AB AB
Ai Ai
i 1
i 1
Ai Ai
i 1
i 1
ppt课件
8
定义1.1 设为样本空间，F是中的某些子集
组成的集合族，若满足：
（1） F ；
（2）如果A F ，则 A F ；
(3) 事件类F {,,{1,3,5}{2,4,6}};
ppt课件
12
定义1.2 对于上任意包含事件A的最小的 - 代数， 称为事件A生成的 - 代数， 记作 ( A).
结论：设A是中的一个集系， 则包含A的最小的 - 代数 ( A)一定存在.
注：对于中的任意事件类A,必定存在含A的
的子集A由基本事件组成 —A称为事件。
ppt课件
7
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
(2)结合律 A (B C ) (A B ) C
A (B C ) (A B ) C
(3)分配律 A (B C ) (A B ) (A C ) A (B C ) (A B ) (A C )
P(Ai
)
i 1
i 1
则称P是(, F）上的概率，(, F, P)称作概率空 间，P( A)称为事件A的概率。
ppt课件
15
例1.1：[0,1]上的Borel概率空间：设 [0,1], F B[0,1],
即B[0,1]是局限在[0,1]上的Borel - 代数, 称(, F )
ppt课件
14
定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足
（1）对任意A F，有0 P(A) 1;
(2) P() 1;
（3）对任意Ai F，i 1,2, ,Ai Aj ,i j
P（ Ai）
例1.3 对任意事件A ,F {,A,A,} 是事件 - 代数。
ppt课件
11
思考题： 随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数， 样本空间 {1,2,3,4,5,6}，下列事件是否构成
- 代数？ (1) 事件类F {,,{1,2,3},{3,4,5,6}}; (2) 事件类F {,,{1,2,}{3,4},{5,6}};
ppt课件
4
第1章 预备知识
1.1 概率空间
在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现 象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。
具有随机性的现象—随机现象
对随机现象的观察或为观察而进行的实验
（有3个特征）
—随机试验
随机试验的结果 —基本事件或样本点。记作
所有可能的结果称为样本空间。 记作
应用随机过程
1.01365 27.8
1.02365 1377.4
成功的道路并不拥挤， 因为坚持到最后 的人并不是很多。
ppt课件
2
主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学
出版社
ppt课件
3
参考书
1.《应用随机过程》
林元烈 编著 清华大学出版社
2.《随机过程》
王风雨 编著 北京师范大学出版社
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1P( A1A2 An )
1i jk n
ppt课件
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
（5） - 代数必为代数.
ppt课件
10
例1.1 由的一切事件构成的事件类是事件 - 代数. (常常它为称为最广泛的 - 代数.)
例1.2 由F {,}， 则F是事件 - 代数。 称作平凡事件 - 代数.
(6) 设 i j, Ai Aj , Ai
i 1
则对任意事件A, 有 P( A) P( A Ai )
i 1
（7）性质(2)的推广，Jordan公式
对任意A1, A2,, An 有
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
(3) P( A) 1 P( A)
(4) A, B F, 若A B
P(A) P(B)
若A B
P(B A) P(B) P(A)
—单调性
(5) 若An F, n 1 则
P( An )
P( An )
n1
n1
—次可列可加性
ppt课件
17
最小事件 - 代数，并且等于上包含A的事件 代数Fi ,i 1,2,之交，即 ( A) Fi.
i1
ppt课件
13
定义1.3
设 R,由所有半无限区间(,a)生成的 - 代数 （即包含{(,a),a R}的最小 - 代数）,称为R上的
Borel - 代数,记作B(R)，其中的元素称为Borel集 合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数,记作B(Rn ). 显然 B ((,a),a R).
（3）如果Ai F，i 1,2, ,则 Ai F .
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
( F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
ppt课件
9
性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n,则 Ai F , Ai F;
ppt课件
16
概率的基本性质
(1) P() 0,
(2) 若A, B F, 则P( A B) P( A) P(B) P( AB)
(4)对偶原则 (De Morgan律)
AB AB AB AB
Ai Ai
i 1
i 1
Ai Ai
i 1
i 1
ppt课件
8
定义1.1 设为样本空间，F是中的某些子集
组成的集合族，若满足：
（1） F ；
（2）如果A F ，则 A F ；
(3) 事件类F {,,{1,3,5}{2,4,6}};
ppt课件
12
定义1.2 对于上任意包含事件A的最小的 - 代数， 称为事件A生成的 - 代数， 记作 ( A).
结论：设A是中的一个集系， 则包含A的最小的 - 代数 ( A)一定存在.
注：对于中的任意事件类A,必定存在含A的
的子集A由基本事件组成 —A称为事件。
ppt课件
7
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
(2)结合律 A (B C ) (A B ) C
A (B C ) (A B ) C
(3)分配律 A (B C ) (A B ) (A C ) A (B C ) (A B ) (A C )
P(Ai
)
i 1
i 1
则称P是(, F）上的概率，(, F, P)称作概率空 间，P( A)称为事件A的概率。
ppt课件
15
例1.1：[0,1]上的Borel概率空间：设 [0,1], F B[0,1],
即B[0,1]是局限在[0,1]上的Borel - 代数, 称(, F )
ppt课件
14
定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足
（1）对任意A F，有0 P(A) 1;
(2) P() 1;
（3）对任意Ai F，i 1,2, ,Ai Aj ,i j
P（ Ai）
例1.3 对任意事件A ,F {,A,A,} 是事件 - 代数。
ppt课件
11
思考题： 随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数， 样本空间 {1,2,3,4,5,6}，下列事件是否构成
- 代数？ (1) 事件类F {,,{1,2,3},{3,4,5,6}}; (2) 事件类F {,,{1,2,}{3,4},{5,6}};
ppt课件
4
第1章 预备知识
1.1 概率空间
在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现 象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。
具有随机性的现象—随机现象
对随机现象的观察或为观察而进行的实验
（有3个特征）
—随机试验
随机试验的结果 —基本事件或样本点。记作
所有可能的结果称为样本空间。 记作
应用随机过程
1.01365 27.8
1.02365 1377.4
成功的道路并不拥挤， 因为坚持到最后 的人并不是很多。
ppt课件
2
主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学
出版社
ppt课件
3
参考书
1.《应用随机过程》
林元烈 编著 清华大学出版社
2.《随机过程》
王风雨 编著 北京师范大学出版社
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1P( A1A2 An )
1i jk n
ppt课件
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
（5） - 代数必为代数.
ppt课件
10
例1.1 由的一切事件构成的事件类是事件 - 代数. (常常它为称为最广泛的 - 代数.)
例1.2 由F {,}， 则F是事件 - 代数。 称作平凡事件 - 代数.
(6) 设 i j, Ai Aj , Ai
i 1
则对任意事件A, 有 P( A) P( A Ai )
i 1
（7）性质(2)的推广，Jordan公式
对任意A1, A2,, An 有
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
(3) P( A) 1 P( A)
(4) A, B F, 若A B
P(A) P(B)
若A B
P(B A) P(B) P(A)
—单调性
(5) 若An F, n 1 则
P( An )
P( An )
n1
n1
—次可列可加性
ppt课件
17
最小事件 - 代数，并且等于上包含A的事件 代数Fi ,i 1,2,之交，即 ( A) Fi.
i1
ppt课件
13
定义1.3
设 R,由所有半无限区间(,a)生成的 - 代数 （即包含{(,a),a R}的最小 - 代数）,称为R上的
Borel - 代数,记作B(R)，其中的元素称为Borel集 合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数,记作B(Rn ). 显然 B ((,a),a R).
（3）如果Ai F，i 1,2, ,则 Ai F .
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
( F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
ppt课件
9
性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n,则 Ai F , Ai F;