小波变换与信号的分解重构
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为了分析和处理非平稳信号,在傅里叶分 析理论基础上,提出并发展了一系列新的 信号分析理论:
1. 2. 3. 4. 5. 6.
短时傅里叶变换(STFT)或加窗傅里叶变换 短时傅里叶变换(STFT)或加窗傅里叶变换 (WFT), WFT), Gabor变换, Gabor变换, 时频分析, 小波变换, 分数阶傅里叶变换(Fractional 分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform), Transform), 线调频小波变换等.
S1. 傅立叶变换与小波
程序运行结果:
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换的幅频图 Gabor变换的幅频图
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换的等高线图 Gabor变换的等高线图
S1. 傅立叶变换与小波
3,小波变换
窗口大小(即面积)不变,但窗口形状随频 率高低而变化,是一种时间窗和频率窗都可改变 的时频分析方法,在低频有较高的频率分辨率和 较低的时间分辨率,在高频部分有较低的频率分 辨率和较高的时间分辨率,对信号局部特征的表 征能力强.
S3. 多分辨分析与小波变换
2,正交MRA尺度函数的定理 ,正交MRA尺度函数的定理 设 {V } 是一个具有尺度函数的正交多分辨分析,
j j∈Z
则下列尺度关系式成立:
( x) = ∑ hk (2 x k )
k ∈Z ∞
其中,
hk = 2∫ ( x) (2 x k ) dx
∞
(2 j 1 x l ) = ∑ hk 2l (2 j x k )
小波变换与信号的 分解重构
S1. 傅立叶变换与小波
1,傅立叶变换的基本思想:
将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加, 将信号从时间域转换到频率域.
F ( w) = ∫ =∫
∞ ∞ ∞
f ( x)e iwt dt cos wt i sin wt f ( x) dt 2
(1.1) 1.1)
∞
1 ∞ = ∫ f ( x) ( cos wt i sin wt )dt 2 ∞
S1. 傅立叶变换与小波
2,傅立叶变换的缺点:
1)丢掉时间信息,无法对某一时间段对应的 频域信息或者某一频率段对应的时间信息进行分 析; 2)不利于分析非平稳信号,例如偏移,趋势, 突变等等.
——需要寻求一种同时具有时间分辨率和 ——需要寻求一种同时具有时间分辨率和 频域分辨率的分析方法.
S1. 傅立叶变换与小波
shiftshift-l = 100; %高斯窗每次平移点数 shiftshift-n = (length(t)-1)/shift_l; (length(t)%高斯窗平移总次数 y2 = zeros(shift_n,2001); for k = 0:shift_n-1 0:shift_ngaussgauss-c = 2^(1/4)*exp(-pi*(t - k*shift - l*Ts).^2) 2^(1/4)*exp(.*cos(5*pi*t); %平移后的高斯函数 gaussc2 = gaussc/sum(gaussc.^2); %归一化 y1 = conv(hilbert(fx),gaussc2); %短时傅立叶变换,即对信号和Gauss函数做卷积 短时傅立叶变换,即对信号和Gauss函数做卷积 y2(k+1,:) = y1; end
∞
为使信号重构的实现在数值上稳定,还要求Fψ ( w)满足 稳定性条件: A ≤ ∑ Fψ (2 w) ≤ B,
j 2 ∞
(0 < A ≤ B < ∞)
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
4,对偶小波
若小波ψ (t )满足稳定性条件,则定义一个对偶小波
ψ (t ),其傅立叶变换为:
Fψ ( w) = Fψ * ( w)
j∈ Z j∈ Z
( 3) 伸 缩 性 : f ( x ) ∈ V j f (2 x ) ∈ V j +1 , j ∈ Z ; ( 4) 平 移 不 变 性 : f ( x ) ∈ V0 f ( x k ) ∈ V0 , k ∈ Z ; V0的 Riesz 基 . 多分辨分析是由一个尺度函数建立起来的,故多分 辨分析的建立等价于寻找尺度函数在多分辨分析的框架 下 的 性 质 . 下 面 根 据 V j V j + 1以 及 V j +1 = V j ⊕ W j 建 立 尺 度 函数方程的关系式. ( 5) Riesz 基 存 在 性 : 存 在 g ∈ V0, 使 { g ( x k ) | k ∈ Z } 构 成
1 a
ψ
源自文库
t b , a
a, b ∈ R; a ≠ 0
S2. 连续小波变换
2,连续小波变换的定义
对任意函数 f (t ) ∈ L2 ( R) 的连续小波变换为: W f (a, b) = f ,ψ a ,b = 1 a
∫
R
t b f (t )ψ dt a
其重构公式(逆变换)为: 1 f (t ) = Cψ 1 t b W f (a, b)ψ dadb ∫∞ ∫∞ a 2 a
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换应用示例 Gabor变换应用示例 (1)高斯窗函数
g (t ) = 2 e
1/ 4
π t 2
cos(5π t )
2
(2)信号函数
f (t ) = cos(t + 2t ) + cos t
2
S1. 傅立叶变换与小波
(3)平移后的高斯窗函数
gc(t ) = 2 e
S1. 傅立叶变换与小波
——1946 Gabor变换 ——1946 Gabor变换 ——短时傅立叶变换(STFT) ——短时傅立叶变换(STFT)
1)基本思想: 对信号加窗,对窗内的信号进行傅立叶变换, 反映信号的局部特征; 2)缺点: a (t , ω ) = (t a)e itω 通过函数时间 其窗口函数 轴的平移与频率限制得到,由此得到的时频分析 窗口具有固定的大小.
S2. 连续小波变换
1,基本小波的定义
设ψ (t ) ∈ L2 ( R),其傅立叶变换为Fψ ( w),若Fψ ( w)满足 容许条件(完全重构条件/恒等分辨条件): Cψ = ∫ Fψ ( w) w
2
R
dw < ∞
则称ψ (t )为一个基本小波或母小波.将母函数ψ (t )经伸缩 和平移后得:
ψ a ,b (t ) =
= ∑∫
k
f (k ) a
1 2
ψ
t b dt a
= a
1 2
∑
k
k +1 t b k t b f (k ) ∫ ψ dt ∫ ∞ψ dt ∞ a a (*)
S2. 连续小波变换
Matlab 实现连续小波变换的代码
precis = 10; %小波函数积分精度控制 signal = signal(:)'; len = length(signal); coefs = zeros(length(scales),len); nbscales = length(scales); [psi_integ,xval] = intwave(wname,precis); %计算从-∞到k的小波积分序列 wtype = wavemngr('type',wname); if wtype==5 psi_integ = conj(psi_integ); end %判断是否为复小波,对复小波取共轭 xval = xval-xval(1); dx = xval(2); xmax = xval(end); ind = 1; for k = 1:nbscales %循环计算各尺度的小波系数 a = scales(k); j = [1+floor([0:a*xmax]/(a*dx))]; if length(j)==1 , j = [1 1]; end f = fliplr(psi_integ(j)); coefs(ind,:) =-sqrt(a)*wkeep(diff(conv(signal,f)),len); %计算公式(*) ind = ind+1; end
∞ ∞
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
3,约束条件
由于基本小波ψ (t )生成的小波序列ψ a ,b (t )在小波变换 中对被分析信号起着观察窗的作用,故ψ (t )还应满足一般 函数的约束条件:
∫
∞
∞
ψ ( t ) dt < ∞
Fψ (0) = ∫ ψ ( t )dt = 0
∞ ∞
故Fψ ( w)是一个连续函数,这意味着为了满足完全重构条件, Fψ ( w)在原点要等于零,即:
图1
图2
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
6,连续小波变换的计算过程
上述步骤可用以下的公式表示. 设f(t)=f(k△t),t∈(k,K+1),则 f(t)=f(k△t),t∈(k,K+1),则
W f ( a, b) = ∑ ∫
k k +1 k k +1 k
f (t ) a
1 2
t b ψ dt a
S3. 多分辨分析与小波变换
1,多分辨分析的定义
空 间 L2 ( R )中 一 列 闭 子 空 间 {V j }
j∈ Z
称 为 L2 ( R )的 一 个 多
分 辨 分 析 ( M RA) , 若 该 序 列 满 足 下 列 条 件 : ( 1) 单 调 性 : V j 1 V j V j + 1 , j ∈ Z ; ( 2) 逼 近 性 : ∩ V j = {0}, ∪ V j = L2 ( R );
j =∞
∑
∞
Fψ (2 w)
j
2
可见,稳定性条件实际上是对分母的约束条件,保证对偶 小波的傅立叶变换存在. 一个小波的对偶小波一般并不唯一,而实际应用却 希望一个小波具有唯一的对偶小波.寻找这样的小波是 小波分析的基本问题之一.
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
5,连续小波的重要性质
(1)线性:一个多分量信号的小波变换等于各分量的小波 变换之和; (2)平移不变性:若f (t )的小波变换为W f (a, b),则f (t τ ) 的小波变换为 W f (a, b τ ); (3)伸缩共变性:若f (t )的小波变换为W f (a, b),则f (ct )的 小波变换为 1 c (4)自相似性:对应不同尺度参数a和不同平移参数b的 连续小波之间是自相似的; (5)冗余性:连续小波变换中存在信息表述的冗余. W f (ca, cb);
1/ 4 π ( t ksl Ts )
2
cos(5π t )
(4)归一化
gc 2(t ) = gc(t ) / ∑ gc 2 (t )
(5) Gabor变换 Gabor变换
G ( w) = ∫ H (t ) gc 2(t τ )dt
∞ ∞
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换的主要程序代码: Gabor变换的主要程序代码:
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换及其应用示例 Gabor变换及其应用示例 Gabor变换是海森伯(Heisenberg Gabor变换是海森伯(Heisenberg ) 测不准原理下的最优的短时傅立叶变换. 测不准原理下的最优的短时傅立叶变换. 高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时 高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时 间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数. 具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是 Gabor变换. Gabor变换.
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
6,连续小波变换的计算过程
从定义式可知,连续小波变换计算分以下5 从定义式可知,连续小波变换计算分以下5个步骤进行. (1)选定一个小波,并与处在分析时段部分的信号相比较. (2)计算该时刻的连续小波变换系数C.如下图所示,C表示了该小 )计算该时刻的连续小波变换系数C.如下图所示,C 波与处在分析时段内的信号波形相似程度.C 波与处在分析时段内的信号波形相似程度.C愈大,表示两者的波形 相似程度愈高.小波变换系数依赖于所选择的小波.因此,为了检测 某些特定波形的信号,应该选择波形相近的小波进行分析.
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
6,连续小波变换的计算过程
(3)如图1所示,调整参数b,调整信号的分析时间段,向右平移小波, )如图1所示,调整参数b 重复①～②步骤,直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间. (4)调整参数a,尺度伸缩,重复①～③步骤. )调整参数a (5)重复①～④步骤,计算所有的尺度的连续小波变换系数,如图2所示. )重复①～④步骤,计算所有的尺度的连续小波变换系数,如图2
1. 2. 3. 4. 5. 6.
短时傅里叶变换(STFT)或加窗傅里叶变换 短时傅里叶变换(STFT)或加窗傅里叶变换 (WFT), WFT), Gabor变换, Gabor变换, 时频分析, 小波变换, 分数阶傅里叶变换(Fractional 分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform), Transform), 线调频小波变换等.
S1. 傅立叶变换与小波
程序运行结果:
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换的幅频图 Gabor变换的幅频图
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换的等高线图 Gabor变换的等高线图
S1. 傅立叶变换与小波
3,小波变换
窗口大小(即面积)不变,但窗口形状随频 率高低而变化,是一种时间窗和频率窗都可改变 的时频分析方法,在低频有较高的频率分辨率和 较低的时间分辨率,在高频部分有较低的频率分 辨率和较高的时间分辨率,对信号局部特征的表 征能力强.
S3. 多分辨分析与小波变换
2,正交MRA尺度函数的定理 ,正交MRA尺度函数的定理 设 {V } 是一个具有尺度函数的正交多分辨分析,
j j∈Z
则下列尺度关系式成立:
( x) = ∑ hk (2 x k )
k ∈Z ∞
其中,
hk = 2∫ ( x) (2 x k ) dx
∞
(2 j 1 x l ) = ∑ hk 2l (2 j x k )
小波变换与信号的 分解重构
S1. 傅立叶变换与小波
1,傅立叶变换的基本思想:
将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加, 将信号从时间域转换到频率域.
F ( w) = ∫ =∫
∞ ∞ ∞
f ( x)e iwt dt cos wt i sin wt f ( x) dt 2
(1.1) 1.1)
∞
1 ∞ = ∫ f ( x) ( cos wt i sin wt )dt 2 ∞
S1. 傅立叶变换与小波
2,傅立叶变换的缺点:
1)丢掉时间信息,无法对某一时间段对应的 频域信息或者某一频率段对应的时间信息进行分 析; 2)不利于分析非平稳信号,例如偏移,趋势, 突变等等.
——需要寻求一种同时具有时间分辨率和 ——需要寻求一种同时具有时间分辨率和 频域分辨率的分析方法.
S1. 傅立叶变换与小波
shiftshift-l = 100; %高斯窗每次平移点数 shiftshift-n = (length(t)-1)/shift_l; (length(t)%高斯窗平移总次数 y2 = zeros(shift_n,2001); for k = 0:shift_n-1 0:shift_ngaussgauss-c = 2^(1/4)*exp(-pi*(t - k*shift - l*Ts).^2) 2^(1/4)*exp(.*cos(5*pi*t); %平移后的高斯函数 gaussc2 = gaussc/sum(gaussc.^2); %归一化 y1 = conv(hilbert(fx),gaussc2); %短时傅立叶变换,即对信号和Gauss函数做卷积 短时傅立叶变换,即对信号和Gauss函数做卷积 y2(k+1,:) = y1; end
∞
为使信号重构的实现在数值上稳定,还要求Fψ ( w)满足 稳定性条件: A ≤ ∑ Fψ (2 w) ≤ B,
j 2 ∞
(0 < A ≤ B < ∞)
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
4,对偶小波
若小波ψ (t )满足稳定性条件,则定义一个对偶小波
ψ (t ),其傅立叶变换为:
Fψ ( w) = Fψ * ( w)
j∈ Z j∈ Z
( 3) 伸 缩 性 : f ( x ) ∈ V j f (2 x ) ∈ V j +1 , j ∈ Z ; ( 4) 平 移 不 变 性 : f ( x ) ∈ V0 f ( x k ) ∈ V0 , k ∈ Z ; V0的 Riesz 基 . 多分辨分析是由一个尺度函数建立起来的,故多分 辨分析的建立等价于寻找尺度函数在多分辨分析的框架 下 的 性 质 . 下 面 根 据 V j V j + 1以 及 V j +1 = V j ⊕ W j 建 立 尺 度 函数方程的关系式. ( 5) Riesz 基 存 在 性 : 存 在 g ∈ V0, 使 { g ( x k ) | k ∈ Z } 构 成
1 a
ψ
源自文库
t b , a
a, b ∈ R; a ≠ 0
S2. 连续小波变换
2,连续小波变换的定义
对任意函数 f (t ) ∈ L2 ( R) 的连续小波变换为: W f (a, b) = f ,ψ a ,b = 1 a
∫
R
t b f (t )ψ dt a
其重构公式(逆变换)为: 1 f (t ) = Cψ 1 t b W f (a, b)ψ dadb ∫∞ ∫∞ a 2 a
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换应用示例 Gabor变换应用示例 (1)高斯窗函数
g (t ) = 2 e
1/ 4
π t 2
cos(5π t )
2
(2)信号函数
f (t ) = cos(t + 2t ) + cos t
2
S1. 傅立叶变换与小波
(3)平移后的高斯窗函数
gc(t ) = 2 e
S1. 傅立叶变换与小波
——1946 Gabor变换 ——1946 Gabor变换 ——短时傅立叶变换(STFT) ——短时傅立叶变换(STFT)
1)基本思想: 对信号加窗,对窗内的信号进行傅立叶变换, 反映信号的局部特征; 2)缺点: a (t , ω ) = (t a)e itω 通过函数时间 其窗口函数 轴的平移与频率限制得到,由此得到的时频分析 窗口具有固定的大小.
S2. 连续小波变换
1,基本小波的定义
设ψ (t ) ∈ L2 ( R),其傅立叶变换为Fψ ( w),若Fψ ( w)满足 容许条件(完全重构条件/恒等分辨条件): Cψ = ∫ Fψ ( w) w
2
R
dw < ∞
则称ψ (t )为一个基本小波或母小波.将母函数ψ (t )经伸缩 和平移后得:
ψ a ,b (t ) =
= ∑∫
k
f (k ) a
1 2
ψ
t b dt a
= a
1 2
∑
k
k +1 t b k t b f (k ) ∫ ψ dt ∫ ∞ψ dt ∞ a a (*)
S2. 连续小波变换
Matlab 实现连续小波变换的代码
precis = 10; %小波函数积分精度控制 signal = signal(:)'; len = length(signal); coefs = zeros(length(scales),len); nbscales = length(scales); [psi_integ,xval] = intwave(wname,precis); %计算从-∞到k的小波积分序列 wtype = wavemngr('type',wname); if wtype==5 psi_integ = conj(psi_integ); end %判断是否为复小波,对复小波取共轭 xval = xval-xval(1); dx = xval(2); xmax = xval(end); ind = 1; for k = 1:nbscales %循环计算各尺度的小波系数 a = scales(k); j = [1+floor([0:a*xmax]/(a*dx))]; if length(j)==1 , j = [1 1]; end f = fliplr(psi_integ(j)); coefs(ind,:) =-sqrt(a)*wkeep(diff(conv(signal,f)),len); %计算公式(*) ind = ind+1; end
∞ ∞
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
3,约束条件
由于基本小波ψ (t )生成的小波序列ψ a ,b (t )在小波变换 中对被分析信号起着观察窗的作用,故ψ (t )还应满足一般 函数的约束条件:
∫
∞
∞
ψ ( t ) dt < ∞
Fψ (0) = ∫ ψ ( t )dt = 0
∞ ∞
故Fψ ( w)是一个连续函数,这意味着为了满足完全重构条件, Fψ ( w)在原点要等于零,即:
图1
图2
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
6,连续小波变换的计算过程
上述步骤可用以下的公式表示. 设f(t)=f(k△t),t∈(k,K+1),则 f(t)=f(k△t),t∈(k,K+1),则
W f ( a, b) = ∑ ∫
k k +1 k k +1 k
f (t ) a
1 2
t b ψ dt a
S3. 多分辨分析与小波变换
1,多分辨分析的定义
空 间 L2 ( R )中 一 列 闭 子 空 间 {V j }
j∈ Z
称 为 L2 ( R )的 一 个 多
分 辨 分 析 ( M RA) , 若 该 序 列 满 足 下 列 条 件 : ( 1) 单 调 性 : V j 1 V j V j + 1 , j ∈ Z ; ( 2) 逼 近 性 : ∩ V j = {0}, ∪ V j = L2 ( R );
j =∞
∑
∞
Fψ (2 w)
j
2
可见,稳定性条件实际上是对分母的约束条件,保证对偶 小波的傅立叶变换存在. 一个小波的对偶小波一般并不唯一,而实际应用却 希望一个小波具有唯一的对偶小波.寻找这样的小波是 小波分析的基本问题之一.
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
5,连续小波的重要性质
(1)线性:一个多分量信号的小波变换等于各分量的小波 变换之和; (2)平移不变性:若f (t )的小波变换为W f (a, b),则f (t τ ) 的小波变换为 W f (a, b τ ); (3)伸缩共变性:若f (t )的小波变换为W f (a, b),则f (ct )的 小波变换为 1 c (4)自相似性:对应不同尺度参数a和不同平移参数b的 连续小波之间是自相似的; (5)冗余性:连续小波变换中存在信息表述的冗余. W f (ca, cb);
1/ 4 π ( t ksl Ts )
2
cos(5π t )
(4)归一化
gc 2(t ) = gc(t ) / ∑ gc 2 (t )
(5) Gabor变换 Gabor变换
G ( w) = ∫ H (t ) gc 2(t τ )dt
∞ ∞
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换的主要程序代码: Gabor变换的主要程序代码:
S1. 傅立叶变换与小波
Gabor变换及其应用示例 Gabor变换及其应用示例 Gabor变换是海森伯(Heisenberg Gabor变换是海森伯(Heisenberg ) 测不准原理下的最优的短时傅立叶变换. 测不准原理下的最优的短时傅立叶变换. 高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时 高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时 间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数. 具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是 Gabor变换. Gabor变换.
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
6,连续小波变换的计算过程
从定义式可知,连续小波变换计算分以下5 从定义式可知,连续小波变换计算分以下5个步骤进行. (1)选定一个小波,并与处在分析时段部分的信号相比较. (2)计算该时刻的连续小波变换系数C.如下图所示,C表示了该小 )计算该时刻的连续小波变换系数C.如下图所示,C 波与处在分析时段内的信号波形相似程度.C 波与处在分析时段内的信号波形相似程度.C愈大,表示两者的波形 相似程度愈高.小波变换系数依赖于所选择的小波.因此,为了检测 某些特定波形的信号,应该选择波形相近的小波进行分析.
S2.连续小波变换 S2.连续小波变换
6,连续小波变换的计算过程
(3)如图1所示,调整参数b,调整信号的分析时间段,向右平移小波, )如图1所示,调整参数b 重复①～②步骤,直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间. (4)调整参数a,尺度伸缩,重复①～③步骤. )调整参数a (5)重复①～④步骤,计算所有的尺度的连续小波变换系数,如图2所示. )重复①～④步骤,计算所有的尺度的连续小波变换系数,如图2