单调有界定理求极限

一类用单调有界定理求解的数列的极限

刘丽 01211209

（徐州师范大学 数学系 徐州221116）

摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广,应用单调有界定理证明其极限的存在. 关键词 数列;极限;单调有界定理.

1 引言

求数列极限是数学中的一类基本问题,在考研中常见.求极限的方法很多,如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等.就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广,并加以证明.另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题.

2 主要内容

本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广,并加以证明.

例[]

11 (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题)设301<

+31,

() ,2,1=n .证明:数列{}n x 的极限存在并求出此极限.

例1可以作如下推广: 命题 1 若p x <<10,()n n n x p x x -=

+1,() ,2,1=n ,则数列{}n x 的极限存在且为

2

p . 证明 由p x <<10知0011>->x p x 且.由算术—几何平均不等式知

()()2

21

011112p x p x x p x x =-+≤

-=<, 假设2

0p

x k ≤

<()1>k ,再次用算术—几何平均不等式知 ()()2210p

x p x x p x x k k k k k =-+≤-=<,

由数学归纳法知,对任意正整数1>n 均有2

0p

x n ≤<,因而数列{}n x 有界.又当1>n 时,

()111

≥-=-=

-=+n

n n

n

n n n

n x p

x x p x x p x x x , 故1+≤n n x x ()1>n ,即数列{}n x 单调递增.由数列的单调有界定理知n n x ∞

→lim 存在,设为a ,对

()n n n x p x x -=+1两边同时取极限得:()a p a a -=,可解得2

p

a =

或0=a （舍去）.故2

lim p x n n =

∞

→.

注 由命题1立得例1的极限存在且为

2

3. 例[]12 ()

年研究生入学试题厦门大学，

2002 证明数列{}n x 收敛,其中11=x ,

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+n n n x x x 3211, ,2,1=n ,并求极限n n x ∞→lim . 通过观察、猜想、分析可将例2推广为以下更一般的形式: 命题 2 若N p x a ∈>>,0,01,定义p

n n n x p

a x p p x -++-=

111, ,2,1=n ,则数列{}n x 存在极限且为p

a 1

.

证明 由01>x 可知

()p a x a x p p x a x p p x p a x p p x p p p p p 1

111

111111121111=⋅⋅⋅≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=----,

当且仅当p

a x 1

1=时取等号.

设p

a x k 1≥,则

()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-=+-=

--+111111p k k p k k k x a x p p x p a x p p x

=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++--111p k p k

k k x a x x x p 个 p a x a x p p p p k

p k 1

11

1=⋅⋅⋅≥--, 当且仅当p

a x k 1=时取等号.

由数学归纳法知,对任意自然数n 都有:p

a x n 1

≥.故数列{}n x 有界.又当1>n 时,

1

1111

1---+-=

-=-+-=-p n p n n p n n p n n n n px x a x p px a x x p a x p p x x , 因为p

a x n 1≥,所以0≤-p n x a .又因为01

>-p n px ,所以01≤-+n n x x ,即n n x x ≤+1.所以数列{}

n x 是单调递增的.

由数列的单调有界定理知:n n x ∞

→lim 存在,设为t ,对p

n n n x p

a x p p x -++-=

111两边同时

取极限得:p t p

a t p p t -+-=11,可解得p

a t 1=.所以说数列极限存在且为p a 1

. 注 由以上命题2易得例2中的数列{}n x 极限存在且为3. 推论[]2 当01>x ,()[]

k

n

n n x x k k

x -++-=

1111,1≥n 时,数列{}n x 极限存在且为1. 利用这个推论很容易便可知对于数列{}n x :⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=+211231n n n x x x ()0,01>>x a 的极 限存在且为1.

例[]

33 （广西师范大学研究生入学试题） 若(

)(),,,,03

13

13

13

1

1

21 a a a a

a a a +=+=>

(

)

,3

13

121--+=n n n a a a ,试证明数列{}n a 收敛于方程31

3x x x +=的一个正根.

首先可以通过观察,将参量一般化便可推广得到如下结论:

命题 3 若 ,,,,,0111111

21121p

p

p

p

p

p

n n n x x x a x x a a x a ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>--,0>p ,

则数列{}n x 为单调有界数列,必存在极限. 证明 分两种情况: （i ）当a x ≥1,

因为p

p

a x x 11

12⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=, p

p

a a x 111⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=,即p a x x p 112+=, p a a x p 1

1+=, 所以0111

21

1≥-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-a x a a a x x x p p p p ,即p

p x x 12≥,故有12x x ≥.

假设当k n ≤时,均有k k x x ≥+1 ()N k k ∈≥,1,则当 1+=k n 时,有

p

p

k k k x x x 11

11

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=-+, 即p k k p

k x x x 1

11-++=, 所以

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-------+p p p p k k k k k k k k p k

p k x x x x x x x x x x

1

1112112111

,

由p

p

k k k k x x x x 11211,---≥≥⇒p

k p k x x ≥+1⇒k k x x ≥+1.由数学归纳法可知,对任意自然数n 均有

n n x x ≥+1.所以数列{}n x 是单调递增的数列.

下证数列{}n x 有界.