分布荷载作用时的土中应力计算

第五节 分布荷载作用时的土中应力计算
用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力，若基础底面的形状及分布荷载都有是有规律的，则可以通过积分求解得相应的土中的应力。

若设基础面上作用着强度为p 的竖直均布荷载，则微小面积dxdy 上的作用力dp ＝pdxdy 可作为集中力来看待，则在基底面积范围内积分求得：
[]⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰+-+-=
=
=F
z y x d d y x p z F R
dQ
z F
z s d 25222353
)
)()(),(2323ηξη
ξπ
π
σσ
在求解上式时要知道三个条件：
（1） 分布荷载p 的分布规律及其大小；
（2） 分布荷载的妥布面积F 的几何形状及其大小； （3） 所求应力的位置M 点的坐标。

－、空间问题
（一） 圆形面积上作用均布荷载时，土中竖向正应力z σ的计算：
⎰
⎰+-+=
R
z r r d d pz z 0)
cos 2(20
232
52223ϕρρρ
ϕρππσ
p c z ασ=
c α——应力系数，它是r 及z 的函数，可查表3－4得。

（二） 矩形面积均布荷载作用时土中竖向应力z σ的计算
1、 矩形面积中点O 下土中竖向应力z σ的计算
[
]
2
22
2
2
2
2
222
5
22
2
3
412)
4)(41(41)81(22)
((23m n m n
m n m m n m n mn p
z d d z
z arctg
p b b l l
++++++++-++-+=
=
⎰
⎰π
ηξξηπ
σ
p z 0ασ=
其中：B
l n B z m ==
, 0α可查表3－6得。

2、 矩形面积角点c 下土中竖向应力z σ的计算
矩形基础当底面受到竖直均布荷载（此处指均布压力）作用时，基础角点下任意点深度处的竖向附加应力，可以利用基本公式（3－8）沿着整个矩形面积进行积分求得。

若设基础面上作用着强度为p 的竖直均布荷载，则微小面积dxdy 上的作用力dp ＝pdxdy 可作为集中力来看待，于是，由该集中力在基础角点o 以下深度为z 处的M 点所引起的竖向附加应力为：
2
2/52)(1123z dxdy
z r p d z ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+⋅=
πσ 将222y x r +=代入上式并沿整个基底面积积分，即可得到矩形基底竖直均布荷载对角点o 以下深度为z 处所引起的附加应力为：
⎰
⎰
++⋅=B
o
L
o
z z y x dxdy z p 5
2223)(23πσ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++++⋅++=)1arctan()111(122222222n m n
m n m n m m n p π =p a α
式中：a α——矩形基础，底面受竖直局部荷载作用时，角点以下的竖直附加应力分
布系数，
),(n m f a =α可以从P56表3－7中查得b
l n b z
m ==,
l ：为基础底面的长边，b ：为基础底面的短边，且b l ≥。

3、矩形面积均布荷载作用时，土中任意点的竖向应力z σ的计算
角点法之实质——附加应力叠加原理。

角点其实是附加应力积分公式的原点，因而不在角点（原点）下的附加应力不能直接求出。

(a ) (b ) (c ) (d )
①对于在基底范围以内或以外任意点下的竖向附加应力，可按叠加原理进行计算，这种方法称之为“角点法”
②对矩形基底竖直均布荷载，在应用“角点法”时。

l 始终时基底长边的长度，b 为短
边的长度。

角点法的应用：
（1）矩形荷载面内任一点O 之下的附加应力[如图（a ）所示]：
()p c c c c z ⅣⅢⅡⅠαααασ+++=
（2）矩形荷载面边缘上任一点O 之下的附加应力[如图（b ）所示]：
()p c c z ⅡⅠαασ+= （3）矩形荷载面边缘外一点O 之下的附加应力[如图（c ）所示]：
()p c c c c z ⅣⅢⅡⅠαααασ-+-=
其中Ⅰ为ofbg ，Ⅲ为oecg 。

注意：基础范围外“虚线”所构成的矩形其实是虚设的荷载分布的范围，因而要减去其“产生”的附加应力；
（4）矩形荷载面外任一点O 之下的附加应力[如图（d ）所示]：
()p c c c c z ⅣⅢⅡⅠαααασ+--=
其中Ⅰ为ohce ，Ⅱ为ogde ，Ⅲ为ohbf 。

【课堂讨论】作“辅助线”原理及目的何在？
（三）矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点以下的竖向附加应力
矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时，把荷载强度为零的角点o 作为坐标原点，同
样可利用公式53
23R
z p z ⋅=πσ沿着整个面积积分来求得。

如图3－22所示（教材P58）。

若矩形基底上三角形荷载的最大强度为p ，则微分面积dxdy 上的作用力dxdy p b
x
dQ ⋅⋅=
可作为集中力看待，于是角点o 以下任意深度z 处，由于该集中力所引起的竖向附加应力为：
2
2
/52)(11
23z
xdxdy
z r b p
d z ⋅
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+⋅
=
πσ 将2
22y x r +=代入上式并沿整个底面积积分，即可得到矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点下的附加应力为：
p t z ασ=
式中⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+++-+=2222
221)1(12n m m m n
m mn t πα为矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时的竖向附加应力分布系数，B
l
n B z m ==
,。

l ：沿荷载变化方向矩形基底的长度，b ：矩形基底另一边的长度
对于基底范围内（或外）任意点下的竖向附加应力，仍然可以利用“角点法”和叠加原理进行计算。

但任意两点：（1）计算点应落在三角形分布荷载强度为零的一点垂线上。

（2）b 点始终指荷载变化方向矩形基底的长度。

【本次课总结】
1．基底附加压力与地基附加应力的关系；
2．用“角点法”计算矩形荷载作用下的附加应力。

二、平面问题
理论上，当基础长度L 与宽度B 之比，L/B ＝∞时，地基内部的应力状态属于平面问题。

实际工程实践中，当L/B ≥10时，平面问题。

例如：水力工程中的土坝、土堤、水闸、挡土墙、码头、船闸等等。

（一）均布线荷载作用时土中应力计算
沿无限长直线上作用的竖直均布荷载称为竖直线荷载，如图3－25所示(见教材P61)，当地面上作用竖直荷载时，地基内部任一深度z 处的附加应力为：
2
223
)(2z x pz z +=πσ 2
222
)
(2z x pxz x +=πσ 2
222
)
(2z x pxz xz
zx +==πττ 式中：p ——单位长度上的线荷载（KN/m 2）
x,z ——计算点的坐标
讨论：（1）在荷载作用点处，即x=z=o 点，应力值中无穷大，（σx ,σz ,τzx →∞）→应力集中→Ez>Ex ； （2）当x=0时，σx =τzx =0，而σz =σzmax →应力集中→Ez>Ex ；
（3）σz 值离Z 轴愈远，其值越小；水平位置越深，应力也愈小——地基土中应力的扩散现象。

（二）条形基底受竖直均布荷载作用时的附加应力
如图3－26所示（教材P62），当基底上作用着强度为p 的数值均布荷载时，首先求出微分宽度ξd 上作用着的线均布荷载ξpd dQ =在任意点M 所引起的竖向附加应力
[]
2
22
3)
(2z
x d z p
d z +-⋅
=
ξξ
π
σ
再将上式沿宽度B 积分，即可得到条形基底受均布荷载作用时的竖向附加应力为：
[]
⎰
+-⋅
=B
z z
x d z p
2
22
3)
(2ξξ
π
σ
p u α=
式中：u α——条形基底受竖直均布荷载作用时的竖向附加应力分别系数，由表3－12查，b
x
n b z m ==
,，b 为基底的宽度。

条形均布荷载在地基内部引起的水平向应力x σ和剪应力xz τ， 即：
22
)
(2
21xy y x z
x τσσσσσσ
+±
=⎭
⎬⎫-+
x
z xz
tg σστθ-=
22
（三）三角形分布条形荷载作用下的土中应力计算
当条形基底上受最大强度为p 的三角形分布荷载作用时，同样可利用基本公式
2
22
3
)
(2z x z p
z +⋅=πσ，先求出微分ξd 上作用的线荷载ξξd b p dp =，再计算的M 所引起的竖向附加应力，然后沿宽度b 积分，即可得到整个三角形分布荷载对M 点引起的竖向附加应力为：
p m n m n n m n m m p s T z απσ=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
22)1()1()1arctan()arctan( 式中：s α——条形基底受三角形分布荷载作用时的竖向附加应力分布系数，按
b
x
n b z m ==
,，查表3－13。

三、大面积均布荷载下土中附加应力计算
四、成层地基对附加应力分布的影响
对竖向应力z σ的影响有两种情况：一种是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层；另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的硬壳层。

（1）当上层土的压缩性比下层土的压缩性高时，即21E E <时，则土中附加应力分布将发生应力集中一现象。

下卧刚性岩层引起应力集中的现象，若岩层埋藏越浅，应力集中愈显著。

（2）当上层土的压缩性比下层土的压缩性低时，即21E E >，则土中附加应力将发生扩散现象。

坚硬土层下卧软弱土层，引起土中应力扩散的现象随上层坚硬土层厚度的增大而更加显著。

五、空间问题和平面问题附加应力的比较
用平面问题替代空间问题，计算简化，而且从工程角度来说，平面问题的计算结果是偏安全的。

【本次课小结】
1．不是用角点法求条形基础下的附加应力； 2．注意各种荷载情况下的坐标原点位置及查表方法。

【课后复习思考】
1．在集中荷载作用下，地基中附加应力的分布有何规律？相邻两基础下的附加应力是否会彼此影响？
2．附加应力计算中的空间问题和平面问题是如何划分的？ 3．“角点法”的实质是什么？
4．若基础底面的压力不变，增加基础埋置深度后土中附加应力有何变化？。