2014届高三数学寒假作业十四(综合练习4)

2014届高三数学寒假作业十四（综合练习4）姓名____________学号___________一、填空题1．设全集U =R ，2{|10},{1,1}A x Z x B =∈-≤=-，则()U A B = ð___________． 2．,x y 为实数，i 为虚数单位，若5(1)(12)12x i y i i-+-=-，则复数z x yi =+的模为_____． 3．现有在外观上没有区别的6件产品，其中4件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，一件合格、另一件不合格的概率为___________．4则这组样本的方差为___________．5．已知函数2,3,()(1),3x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则2(log 3)f =___________．6．设动直线x a =与函数2()2sin ()4f x x π=+和()2g x x =的图象分别交于两点,M N ，则MN 的最大值为___________．7．已知1cos(75)3α+=，则cos(302)α-的值为___________． 8．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1211,179a d =-<<-，则当n S 取最大值时，n 的值为___________．9．直线y x =与函数2()42f x x x =++（x m ≤）的图象恰有一个公共点，则实数m 的取值范围是___________．10．如果圆C ：22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是___________． 11．设00(,)M x y 为抛物线C ：28yx =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是___________．12．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两条渐近线均和圆C ：22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程是___________．13．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB BC AC ===13AA =，CAC 1A 1M 为线段1BB 上的一动点，则当1AM MC +最小时，1AMC ∆的面积为___________．14．已知关于x 的实系数一元二次不等式20a x b x c ++≥（0a ≠）的解集为R ，则24a b cM b a++=-的最小值是___________．二、解答题15．已知集合222{|280,},{|(23)30,}A x x x x R B x x m x m m x R =--≤∈=--+-≤∈． （1）若[2,4]A B = ，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．16．已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，向量(sin cos ,cos ),a B B C =+ (sin ,sin cos )b C B B =-．（1）若a b ⊥，求A 的大小；（2）若15a b ⋅=- ，求cos2A 的值．17．已知抛物线28y x =与椭圆22221x y a b+=有公共焦点F ，且椭圆过点(D ．（1）求椭圆方程；（2）点,A B 是椭圆的上下顶点，点C 为右顶点，记过点,,A B C 的圆为M ，过点D 作M 的切线l ，求直线l 的方程；（3）过点A 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点,P Q ，则直线PQ 是否经过定点？若是，求出该点坐标；若不经过，请说明理由．18．学校拟在一块三角形边角地上建外籍教师和留学生公寓楼，如图，ABC ∆中，,,2C CBA BC a πθ=∠==．欲在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化．记ABC ∆的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．（1）设()Tf Sθ=，试求()f θ的最大值P ； （2）试指出()Tf Sθ=的实际意义，并说明此方案是否为最佳方案？若不是，请给出新的设计方案，并加以证明．2014届高三数学寒假作业十四（综合练习4）参考答案1．{0} 2．5 3．8154．1.8 5．12 6．3 7．798．9 9．[2,1)-- 10．((2222-- 11．(2,)+∞ 解：圆心F 到准线的距离是4，圆半径FM 02x =+，由于圆F 与准线相交，故042x <+，所以02x >．12．22154x y -= 解：圆C ：22(3)4x y -+=，据题意，3c =，双曲线渐近线为0bx ay ±=，右焦点为圆心(3,0)C2=，得22,5b a ==．双曲线方程为22154x y -=． 13解：将平面11ABB A 与11BCC B 展开成一个平面（如图），由条件知：11ACC A 是边长为3的正方形，11//AA BB ，则1113BM CC ==，12B M =．由勾股定理，得1AM MC ==1AMC ∆中，设1AMC θ∠=，则2221111cos 22AM MC AC AM MC θ+-==-⋅，sin θ=是111sin 2AMC S AM MC θ∆=⋅= 14．8 解：由题意，得240,0b ac a -≤>，所以2222242()a ab ac a ab b M a b a ab a++++=≥-- 212()1b ba ab a+⋅+=-．令b t a =（1t >），则2124(1)44811t t M t t t ++≥=-++≥=--．（当且仅当3t =，即3b a =时等号成立）15．解：由已知，得[2,4],[3,]A B m m =-=-．（1）因为[2,4]A B = ，所以32,4.m m -=⎧⎨≥⎩所以5m =．（2）因为[3,]B m m =-，所以(,3)(,)R B m m =-∞-+∞ ð．因为R A B ⊆ð，所以34m ->或1CA2m <-，所以7m >或2m <-，所以(,2)(7,)m ∈-∞-+∞ ．16．解：（1）因为,,A B C 是ABC ∆的三个内角，所以A B C π++=，由a b ⊥ 得0a b ⋅=，所以，sin (sin cos )cos (sin cos )0C B B C B B ++-=，即sin cos cos sin sin sin C B C B C B ++cos cos 0C B -=，即sin()cos()0B C B C +-+=，sin cos 0A A +=，tan 1A =-．又因为，0A π<<，所以34A π=． （2）由（1）及15a b ⋅=- ，得1sin cos 5A A +=-．（*）若02A π<≤，则sin cos 0A A +>与（*）矛盾，所以2A ππ<<，所以sin cos 0A A ->．由（*）得，12412sin cos ,2sin cos 2525A A A A +==-，sin cos A A -=75=，所以cos2A =(cos sin )(cos sin )A A A A -+717()()5525=--=．17．解：（1）(2,0)F ，则2c =．又222314a a +=-，得228,4ab ==，所以，所求椭圆方程为22184x y +=． （2）由题意，易得2M ，M：229(22x y -+=，直线l 斜率不存在时，x =；直线l 斜率存在时，设为(y k x =，所以|3|d +==解得12k =．所以直线l为x =120y -+=．（3）显然，两直线斜率存在，设AP ：2y kx =+．代入椭圆方程，得22(12)80k x kx ++=，解得点222824(,)1212k k P k k --++．同理得222824(,)22k k Q k k -++，直线PQ：22222418()12312k k k y x k k k ----=-++．令0x =，得23y =-，所以直线PQ 过定点2(0,)3-． 18．解：（1）在ABC ∆中，由,CBA BC a θ∠==，得tan AC a θ=．所以1tan 2S a a θ=⋅⋅ 2tan 2a θ=，(0,)2πθ∈．设正方形DEFG 边长为m ，则cos ,sin m CG m BG θθ==，所以cos sin m BC m a θθ=+=，所以sin 1sin cos a m θθθ=+，2T m ==222sin (1sin cos )a θθθ+，(0,)2πθ∈．所以()Tf Sθ=22222sin 22sin cos (1sin cos )tan (1sin cos )a a θθθθθθθθ=⋅=++2sin 21sin 2sin 214θθθ=++，1sin 2114sin 2θθ=++，(0,)2πθ∈．令21111sin 2,,(0,1],'0,444t t t u t u u t t tθ==+∈=-<=+单调递减，所以当sin 2t θ=1=时，u 取得最小值，即()T f S θ=取得最大值49． （2）()Tf Sθ=表示土地利用率，原图中给出的方案不是最佳方案，若按右图给出的方案，土地利用率()f θ最大值为12．证明如下：21tan 2S a θ=，设正方形边长为m ，tan ma mθ=-，所以tan tan 1a m θθ=+，所以22tan ()tan 1a T m θθ==+．所以()T f Sθ=2222tan 2tan 2tan 1tan a a θθθθ=⋅++，22tan 1tan 1tan 2tan 1122tan θθθθθ==++++，(0,)2πθ∈．因为t a n 1122t a n u θθ=+≥，tan (0,)θ∈+∞，当且仅当tan 122tan θθ=，即4πθ=时，u 取得最小值1．所以()f θ最大值为12，此时ABC ∆为等腰直角三角形．由于12>49，所以右图给出的方案更佳．。