2014届高三数学寒假作业十四(综合练习4)

2014届高三数学寒假作业十四（综合练习4）

姓名____________学号___________

一、填空题

1．设全集U =R ，2

{|10},{1,1}A x Z x B =∈-≤=-，则()U A B = ð___________． 2．,x y 为实数，i 为虚数单位，若5

(1)(12)12x i y i i

-+-=

-，则复数z x yi =+的模为_____． 3．现有在外观上没有区别的6件产品，其中4件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，一件合格、另一件不合格的概率为___________．

4

则这组样本的方差为___________．

5．已知函数2,

3,()(1),

3

x x f x f x x ⎧≥=⎨

+<⎩则2(log 3)f =___________．

6．设动直线x a =与函数2

()2sin ()4

f x x π

=+和()2g x x =的图象分别交于两点,M N ，

则MN 的最大值为___________．

7．已知1cos(75)3

α+=

，则cos(302)α-

的值为___________． 8．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121

1,179

a d =-<<-，则当n S 取最大值时，

n 的值为___________．

9．直线y x =与函数2

()42f x x x =++（x m ≤）的图象恰有一个公共点，则实数m 的取值范围是___________．

10．如果圆C ：2

2

()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范

围是___________． 11．设00(,)M x y 为抛物线C ：2

8y

x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为

半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是___________．

12．已知双曲线22

221x y a b

-=（0,0a b >>）的两条渐近线均和圆C ：

2

2650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲

线的方程是___________．

13．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB BC AC ===13AA =，

C

A

C 1

A 1

M 为线段1BB 上的一动点，则当1AM MC +最小时，1AMC ∆的面积为___________．

14．已知关于x 的实系数一元二次不等式2

0a x b x c ++≥（0a ≠）的解集为R ，则

24a b c

M b a

++=

-的最小值是___________．

二、解答题

15．已知集合2

2

2

{|280,},{|(23)30,}A x x x x R B x x m x m m x R =--≤∈=--+-≤∈． （1）若[2,4]A B = ，求实数m 的值；

（2）设全集为R ，若R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．

16．已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，向量(sin cos ,cos ),a B B C =+ (sin ,sin cos )b C B B =-

．

（1）若a b ⊥

，求A 的大小；

（2）若1

5

a b ⋅=- ，求cos2A 的值．

17．已知抛物线2

8y x =与椭圆22

221x y a b

+=有公共焦点F ，且椭圆过点(D ．

（1）求椭圆方程；

（2）点,A B 是椭圆的上下顶点，点C 为右顶点，记过点,,A B C 的圆为M ，过点D 作M 的切线l ，求直线l 的方程；

（3）过点A 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点,P Q ，

则直线PQ 是否经过定点？若是，求出该点坐标；若不经过，请说明理由．

18．学校拟在一块三角形边角地上建外籍教师和留学生公寓楼，如图，ABC ∆中，

,,2

C CBA BC a π

θ=

∠==．

欲在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化．记ABC ∆的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．

（1）设()T

f S

θ=

，试求()f θ的最大值P ； （2）试指出()T

f S

θ=的实际意义，并说明此方案是否为最佳

方案？若不是，请给出新的设计方案，并加以证明．

2014届高三数学寒假作业十四（综合练习4）

参考答案

1．{0} 2．5 3．8

15

4．1.8 5．12 6．3 7．

7

9

8．9 9．[2,1)-- 10

．((2222

-- 11．(2,)+∞ 解：圆心F 到准线的距离是4，圆

半径FM 02x =+，由于圆F 与准线相交，故042x <+，所以02x >．

12．22

154x y -= 解：圆C ：22(3)4x y -+=，据题意，3c =，双曲线渐近线为0bx ay ±=，

右焦点为圆心(3,0)C

2=，得2

2,5b a ==．双曲线方程为22

154x y -=． 13

解：将平面11ABB A 与11BCC B 展开成一个平面（如图），由条件知：11ACC A 是边长为3的正方形，11//AA BB ，则11

13

BM CC =

=，12B M =

．由勾股定理，得1AM MC ==1AMC ∆中，设1AMC θ∠=，则2221111cos 22AM MC AC AM MC θ+-==-⋅

，sin θ=

是111

sin 2

AMC S AM MC θ∆=

⋅= 14．8 解：由题意，得2

40,0b ac a -≤>，所以222

2

242()a ab ac a ab b M a b a ab a

++++=≥-- 2

12()1b b

a a

b a

+⋅+=

-．令b t a =（1t >）

，则2124(1)44811t t M t t t ++≥=-++≥=--．（当且仅当3t =，即3b a =时等号成立）

15．解：由已知，得[2,4],[3,]A B m m =-=-．

（1）因为[2,4]A B = ，所以32,

4.m m -=⎧⎨≥⎩

所以5m =．

（2）因为[3,]B m m =-，所以(,3)(,)R B m m =-∞-+∞ ð．因为R A B ⊆ð，所以34m ->或

1

C

A