多自由度自由振动

1 2.236
EI mL 3
2 4.796
EI mL3
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
❖ 3）振型图
画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2 个位移方向相协同。
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
1
1
1
1
第一振型
第二振型
选择=结果
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称为第j振型A。j A1j A2 j Anj T
❖ [计算举例]
图示体系，EI=常数，质点的质量为m，各杆的长度都 是L，列振动方程并求各频率和振型，画振型图。
解：1）2个动力自由度，质点的水平位 移和竖向位移
2）质点在振动过程中有2 个方向的位 移 ，各由2 个方向的惯性力共同产生， 振动方程为：
y1(t) m1y1(t)11 m2 y212
y2 (t) m1y1(t) 21 m2 y2 22
y1(t)
y2 (t)
❖ 方程中各个系数意义如下：
P=1
P=1
L/4
L
L/2
L/4
L/4 L/2
11
11L3 24 EI
M1 δ12 =δ21 = 0
L/4
L/4
M2
22
L3 12 EI
3）求频率
即，第 i 质点的位移是由所有质点的惯性力在第i质点产生
位移的叠加。写成矩阵的形式为：
y1(t) 11
y2 (t
)
21
yn (t) n1
12 22
n2
1n m1
2n
源自文库
nn
m2 0
0
y1 (t)
mn
y2 (t yn (t
) )
❖ 简写为 ：
记
1
2
----------------（2）
（2）式称为振型方程。同样，（2）式有非零解（否则将不 产生振动）的条件是：
M E 0 ---------------------（3）
（3）式称为频率方程
频率方程有n个互不相同的实数根λ1，λ2，...， λn ，对应着n个互不相同的频率；分别代入 （2）式可得到n个线性无关的振型。记，
y1(t)= A11sin（ω1t + φ）+ A12sin（ω2t + φ） y2(t)= A21sin（ω1t + φ）+ A22sin（ω2t + φ）
yy12((tt))
sin(1t
)
A11 A21
sin(2t
)
A12 A22
❖ n个自由度体系的振动及其矩阵表示
n
振动方程可表示为 yi (t) m j yj (t) ij j 1
y2(t) m1y1(t)21 m2y222
式中，δi j 为j质点的惯性力为1时在 i质点处产生的位移。 i ，j = 1，2
❖ 设方程的特解形式为
y1(t)= A1sin（ωt + φ）
y2(t)= A2sin（ωt + φ）
记
1
2
mm112111A1
A1 m212 A2 m2 22 A2
m1
mm21yy21((tt
) )
FEK1 FEK 2
0 0
m1y1(t)
mm21yy21 ((tt))
K11 y1 (t) K21 y1 (t)
K12 y2 (t) K22 y2 (t)
0 0
FEK1
m2
m2 y2 (t)
FEK 2
2. n个质点的振动及其矩阵表示
n
一般方程可写为 mi yi (t) K ij y j (t) 0 j 1 i 1,2,....,n
K11 m1 2
K 21 K n1
K12
K22 m2 2
K1n
K2n
0
Kn2
Knn mn 2
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
K 1
❖ [计算举例]
图示结构弹簧的刚度
13EI KN= 2L3
，杆长都是L，列振动方程
并求振动频率和振型，作出振型图
m
解：1）2个动力自由度，质点的 水平位移和竖向位移，如图
0 0
此式称为振型方程
考虑此式有非零解（否则，体系不振动），则需使
m111
m212 0
m1 21 m2 22
此式称为频率方程
行列式有两个不同实数根λ1与λ2 。记
1
1
1
2
1
2
则ω1称为第一频率或基本频率；则ω2称为第二频率
相应的
T1
2 1
,T2
2 2
T1称为第一周期或基本周期；T2称为第二周期
A
C
水平
弹簧反力
FEK2
问题转变为：
VBA
VDC
质点位移后的弯矩图
FEK1 K11 y1(t) K12 y2 (t)
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
❖ 为此，先求出2个方向分别单位位移的弯矩图，然后叠加
也就是求解右图所示在支杆1、2 分 别移动时的弯矩图
1 2
支杆1单位位移时的弯矩图：
mm112111A1
A1 m212 A2 m2 22 A2
0 0
将λ=λ1 代入振型方程中的任意一个方程，
得 A2与A1的比值
记为
A21 1 m111
A11
m212
y1(t)= A11sin（ω1t + φ）
y2(t)= A21sin（ω1t + φ）
显然
y2 (t) A21 1 m111 (常数）
y1(t)= A12sin（ω2t + φ）
y2(t)= A22sin（ω2t + φ）
同样，称A2 A12 A22 T 为第二振型
❖ 说明
从数学上讲，两个不同实数根（特征根）λ1与λ2对应的两个 振型（特征向量）是线性无关的，故，体系自由振动在任意 时刻 t 的位移反应可写作两个振型的线性组合，亦即振动方 程的一般解：
多自由度振动
重 点：频率、振型 难 点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2 (t) 由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1
y1(t)
y1(t) m1y1(t)11 m2 y212
弹性恢复力： FEK1 FEK2
恢复力的求法如下
m1y1(t)
FEK1
m2 y2 (t) FEK 2
1
1
K11
K21
K12
K22
依叠加法可得 FEK1 K11 y1(t) K12 y2 (t)
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
❖ 振动方程------受力平衡方程
K11
6EI/L2
1 K21
RΔ
6EI/L2
4i
2i
r11
2i
M图
求系数
K11
VDB
KN
3 i /L
K11
K21
9 i /2L
3 i /2L
M图
VBA
K21 VDC
❖ 求系数
K11
14i L2
9i K21 L2
类似的方法求支杆2有水 平侧移Δ=1时的K12及K22
弹性恢复力
FEK1 K11 y1(t) K12 y2 (t)
yt M y(t) ------------（1）
称为柔度矩阵
M 称为质量矩阵
y(t) 称为位移列向量 y(t) 称为加速度列向量
方程（1）的解设为 ： y(t) Asin(t ) 式中， A A1 A2 An T
❖ 把 y(t) Asin(t ) 代入（1）
A 2 M A
M EA 0
❖ 写成矩阵的形式为
M y(t) Ky(t) 0
m1
0
M
m2
0
mn
K11 K12 K1n
K K21
K 22
K
2n
K
n1
Kn2
K
nn
设方程的解的形式为 y(t) Asint
式中 A A1 A2 An T
❖ 代入振动方程可得
K 2 M A 0 -----------振型方程
4）求振型
2
12 EI mL3
把λ1（或ω1）及把λ2（或ω2）分别代入振型方程
A1 1.0 0.0T
A2 0.0 1.0T
❖ 5）画振型图
画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2
个位移方向相协同。
y1(t)
A1 1.0 0.0T
A2 0.0 1.0T
y2 (t)
1.0 1.0
❖ 二、刚度法建立振动方程
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
K12 K22
❖ 2) 求频率和振型
y1(t) = A1sin（ωt + φ） y2 (t) = A2sin（ωt + φ）
K11 2m1
K21A1 K22
A1 K12A2
2m2 A2
0 0
K11 2m1
K21
K12
0
K22 2m2
EI EI
EI1=∞
y2 (t)
y1 (t )
KN
❖ 振动方程
质点在任何时刻要受力平衡
竖向
my1(t)
FEK1
y2 (t) y1(t)
水平方向：
my2 (t) FEK2
问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的 恢复力
❖ 恢复力的求法
竖向 VDB
FEK1
B
y2 (t)
D
y1 (t )
y1(t) = A1sin（ωt + φ） y2 (t) = A2sin（ωt + φ）
记，
1
2
m211m11
1
A1
A1 12m2 A2 m2 22 A2
0 0
m111
m212 0
m1 21 m2 22
解得：
1
11mL3 24 EI
2
mL3 12 EI
从而，
1
24 EI 11mL3
1. 两个质点的振动 图示简支梁，质量集中在跨中两个质点，如图，具有
两个动力自由度。用刚度法建立振动方程时，考虑每
个质点的受力平衡。
m1
m2
质点在振动过程中，在惯 性力作用下有2个位移，各 质点分别受到各自的恢复 力而与各自的惯性力平衡
1
2
m1
m2
y1(t)
y2 (t )
❖ 惯性力
m1y1(t) m2 y2 (t)
y1(t) A11
m212
这表示y1与y2是相关的
体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状 称作体系的主振型。
对应于ω1的振型称为第一振型，或基本振型
A1 A11 A21 T
同理，把λ=λ2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2 与A1的比值，记为
A22 2 m111
A1 2
m2 1 2