直接证明与间接证明

直接证明与间接证明

目标要求：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

考查角度[直接证明]

1．(2013·课标全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝

a n ，

b n ＋1＝

c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则( )

A ．{S n }为递减数列

B ．{S n }为递增数列

C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列

解：在△A 1B 1C 1中，b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，∴b 1＞a 1＞c 1.

在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，∴

c 1＜b 2＜a 1＜c 2＜b 1.

在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1，b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝

b 2＋a 12，b 3＋

c 3＝2a 1，∴a 1＜b 3＜c 2，b 2＜c 3＜a 1，∴c 1＜b 2＜c 3＜a 1＜b 3＜c 2＜b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n ＝b n ＝a 1时△A n B n C n 的面积最大．

【答案】 B

2．(2013·北京高考)已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2，…的最小值记为B n，d n＝A n－B n.

(1)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(2)设d是非负整数．证明：d n＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；

(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1,2,3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.

(2)证明：(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤a n≤….因此A n＝a n，B n＝a n＋1，d n＝a n－a n＋1＝－d(n ＝1,2,3，…)．

(必要性)因为d n＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，

所以A n＝B n＋d n≤B n.

又因为a n≤A n，a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1.

于是，A n＝a n，B n＝a n＋1.

因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d，

即{a n}是公差为d的等差数列．

(3)证明：因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.

故对任意n≥1，a n≥B1＝1.

假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．

设m为满足a m>2的最小正整数，

则m≥2，并且对任意1≤k

又因为a1＝2，所以A m－1＝2，A m＝a m>2，

于是，B m＝A m－d m>2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}≥2.

故d m－1＝A m－1－B m－1≤2－2＝0，与d m－1＝1矛盾．

所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.

因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，

所以A n＝2.

故B n＝A n－d n＝2－1＝1.

因此对于任意正整数n，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为1.

[命题规律预测]

考向一综合法

【例1】(2014·北京高考)如图11-3-1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，

侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E－ABC的体积．

图11-3-1

【思路点拨】(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；

(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而

得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．

【解】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，

BB1⊥底面ABC，

所以BB 1⊥AB .

又因为AB ⊥BC ，

所以AB ⊥平面B 1BCC 1，

所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.

(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .

因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，

所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .

因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．

所以C 1F ∥EG .

又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，

所以C 1F ∥平面ABE .

(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，

所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.

所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝3

3.

综合法的应用技巧：

综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题，最后得到我们所要证明的结论；综合法是一种由因导果的证明