考研高数总复习第十章线性函数第三节(讲义)

2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
定义的函数是 V 上一个双线性函数.
f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵就是 A .
推论 1
设 V 是复数域上 n 维线性空间
f ( , ) 是 V 上对称双线性函数，则存在 V 的一 组基 1 , 2 , … , n ，对 V 中任意向量
xi i , y i i ,
i 1 i 1
有 f ( , ) = x1y1 + x2y2 + … + xryr (0 r n) .
f ( , ) = XTAY = YTATX = YTAX = f ( , ) .
因此 f ( , ) 是对称的，这就是说，双线性函数是 对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对 称矩阵. 同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在 任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性 函数, 而且它在任一组基下的度量矩阵是正定矩阵. 根据二次型一章中关于对称矩阵在合同变换下 的标准形的理论，我们有下述定理.
则称 f ( , ) 为
对称双线性函数.
f ( , ) = - f ( , ) ，
如果对 V 中
任意两个向量 , 都有
则称 f ( , ) 为
反对称双线性函数.
设 f ( , ) 是线性空间 V 上的一个对称双线性
函数，对 V 的任一组基 1 , 2 , … , n ，由于
对任意 V , 可推出 = 0 , f 就叫做
非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是 不是非退化的.
设双线性函数 f ( , ) 在基
1 , 2 , … , n 下的度量矩阵为 A ，则对
= (1 , 2 , … , n )X ， = (1 , 2 , … , n )Y ，有
i 2,, n,
则
易知 1 , 2 , …, n 仍是 V 的一组基, 考察由2 , …,
n 生成的线性子空间 L(2 , …, n )，其中每个向
量 都满足 f (1 , ) = 0 , 而且 V = L(1) L(2 , …, n ) .
把 f ( , ) 看成 L(2 , …, n ) 上的双线性函数，仍 然是对称的， 但是 L(2 , …, n ) 的维数小于 n，由
则
n n f ( , ) f x , y i i j j j 1 i 1
f ( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
(3)
令 aij = f (i , j) , i , j = 1 , 2 , … , n .
容易计算出
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩 阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？
设 1 , 2 , … , n 及 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的两组基： (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C.
归纳法假设， L(2 , …, n ) 有一组基 2 , … , n 满
足
f (i , j ) = 0 , i,j=2,…,n, ij.
由于 V = L(1) L(2 , …, n ) ，故 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基，且满足要求.
证毕
如果 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵为 对角矩阵，那么对
f ( , ) = XTAY .
如果向量 满足
f ( , ) = 0， 那么对任意 Y 都有 XTAY = 0 . 对任意 V ,
因此
XTA = 0 .
而有非零向量 XT 使上式成立的充要条件为 A 是退
化的，因此易证双线性函数 f ( , ) 是非退化的充
要条件是其度量矩阵 A 为非退化矩阵.
a11 a21 A a n1
则 (3) 就成为 (1) 或 (2) .
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
三、度量矩阵
定义 6
设 f ( , ) 是数域 P 上 n 维线性空
间 V 上的一个双线性函数. 一组基，则矩阵
1 , 2 , … , n 是 V 的
f ( 1 , 1 ) f ( 2 , 1 ) A f ( , ) n 1
f ( 1 , 2 ) f ( 2 , 2 ) f ( n , 2 )
f ( 1 , n ) f ( 2 , n ) f ( n , n )
(1)
a11 a21 A a n1
则
a12 a22 an 2
n n
a1n a2 n , ann
f ( X , Y ) aij xi y j .
i 1 j 1
(2)
(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空 间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式. 事实上
ij.
如果对 V 中一切 , 都有 f ( , ) = 0 , 则结
论成立.
如果 f ( , ) 不全为 0 ，先证必有 1 使 f (1 , 1 ) 0 .
否则，若对于所有 V 皆有 f ( , ) = 0，那么 对任意 , V ，有
1 f ( , ) { f ( , ) f ( , ) f ( , )} 0, 2
n
n
推论 2
定理 5
设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，
f ( , ) 是 V 上对称双线性函数，则存在 V 的一组 基 1 , 2 , … , n ，使 f ( , ) 在这组基下的度量矩 阵为对角矩阵.
证明
使
只要证明能找到一组基 1 , 2 , … , n ，
f (i , j ) = 0 ,
矛盾，所以这样的 1 是存在的. n 作归纳法. 成立. 现在对空间维数 设对于维数 n - 1 的空间，上述结论
将 1 扩充成 V 的一组基 1 , 2 , … , n ，
令
f (1 ,i ) 1 1 1 , f (1 , 1 )
f (1 , i ) = 0 , i=2,…,n.
第百度文库节
双线性函数
主要内容
双线性函数的定义 举例 度量矩阵 非退化双线性函数 对称双线性函数
一、双线性函数的定义
定义 5
V 是数域 P 上一个线性空间，f (, )
是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 ,
，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (, ) .
果 f (, ) 有下列性质： 1) f (, k11 + k22) = k1 f (, 1) + k2 f (, 2); 2) f (k11 + k22 , ) = k1 f (1, ) + k2 f (2, ), 其中 , 1 , 2 , , 1 , 2 是 V 中任意向量， k1 , k2
取 V 的一组基 1 , 2 , … , n .
设
x1 x2 (1 , 2 ,, n ) (1 ,, n ) X , x n y1 y2 (1 , 2 , , n ) (1 , , n )Y , y n
则有
f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1) = X1T(CTAC)Y1 .
又 因此 f ( , ) = X1TBY1 .
B = CTAC .
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵 是合同的.
四、非退化双线性函数
定义 7
线性函数，如果
f ( , ) = 0， 设 f ( , ) 是线性空间 V 上一个双
( 4)
叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的
度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 , 2 , …,
n 后，每个双线性函数都对应于一个 n 级矩阵，
就是这个双线性函数在基 1 , 2 , … , n 下的度量
矩阵.
度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.
如
是 P 中任意数，则称 f ( , ) 为 V 上的一个
双线
性函数.
这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数
f ( , )，将其中一个变元固定时是另一个变元的线
性函数.
二、举例
例1 例2
线性函数，则 f ( , ) = f1() f2()， , V 是 V 上的一个双线性函数.
欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数.
设 f1()， f2() 都是线性空间 V 上的
例3
性空间. 令
设 P n 是数域 P 上 n 维列向量构成的线
X , Y P n , 再设 A 是 P 上一个 n 级方阵.
f (X , Y ) =XTAY , 则 f (X , Y ) 是 P n 上的一个双线性函数. 如果设 XT = (x1,x2, …,xn) , YT = (y1, y2,…,yn) , 并设
, 是 V 中两个向量
= (1 , 2 , … , n )X = (1 , 2 , … , n ) X1 ， = (1 , 2 , … , n )Y = (1 , 2 , … , n ) Y1 .
那么 X = CX1 , Y = CY1 .
如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 及1 , 2 , … , n 下的度量矩阵分别为 A , B .
f (i , j ) = f (j , i ) ，
故其度量矩阵是对称的， 另一方面，如果双线性函
数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵是对称
的，那么对 V 中任意两个向量
= (1 , 2 , … , n )X ， = (1 , 2 , … , n )Y ，有
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简. 对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.
但
对于对
称矩阵我们已有较完整的理论.
种特殊的也是重要的情形.
以下我们就转向这
五、对称双线性函数
定义 8
f ( , ) 是线性空间 V 上的一个双
线性函数，如果对 V 中任意两个向量 , 都有 f ( , ) = f ( , ) ，
xi i , yi i ,
i 1 i 1
n
n
f ( , ) 有表达式 f ( , ) = d 1 x 1 y 1 + d 2 x 2 y 2 + … + d n x n y n . 这个表示式也是 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量 矩阵为对角形的充分条件.
而且
不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是 不同的.
反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
对 V 中任意向量 = (1 , 2 , … , n )X 及 = (1 ,