数学建模在通信中的应用(1)

中断容量与香农容量
• 通常我们所说的香农容量是在确定性信道条件下得到的信 道容量，是一个确定值。但实际上，信道状态是一个不断 变化的随机过程，应该采用统计意义上的信道容量来描述。 有两种统计意义上的描述方式：1）各态历经信道容量 2） 中断信道容量。其中各态历经容量是指随机信道在所有衰 落状态下的最大信息速率的时间平均，各态历经容量适用 于研究时延不敏感业务，如Email，用来确定最大长期平 均传输速率。由于各态历经容量要求业务编码帧很长，显 然不适用于语音等具有严格时延要求的业务。对于这类业 务，编码帧长度只能跨越有限个信道衰落状态，传统的 Shannon容量为0。只能定义中断容量，当以此作为传输 速率时，信道能以(1-p)的概率承载。即其中p为允许的中 断概率。
1995 Gallag er 衰落信 道下合 并信息 论与排 队论
1998 Tse 多址衰落 信道
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通 向 新 世 纪
2000 Yeung Network Informatio n Flow IEEE T-IT
2002 Yeung, Li,Cai 线性网络编 码
2003 Kumar 大尺度网络信 息论
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频域正交——频分多址(FDMA)
信道带宽 功率 收发间隔带宽
信 信 道 道 1 2 移动台收 （基站发）
信 道 N
信 信 道 道 1 2
信 道 N 移动台发 （基站收） 频率
频分多址是指将给定的频谱资源划分为若干个等间隔的频道(或称信道)供不 同的用户使用。在模拟移动通信中，信道带宽通常等于传输一路模拟话音 所需的带宽，如25kHz或30kHz。在单纯的FDMA系统中，通常采用频分双 工（FDD）的方式来实现双工通信，即接收频率与发送频率是不同的。为 了使得同一部电台的收发之间不产生干扰，收发频率间隔必须大于一定的 数值。例如在900MHz频段，GSM系统收发频率间隔为45MHz。
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关键科学问题
1 容量分析 容量限 码限 编码调制限 系统性能限 未来宽带 无线数字 通信中的 基础理论 2 容量逼近
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新型纠错编码 多用户合作编码 多址编码 空时频编码 分布式编码 信源/道联合码
容量提升 感知、合作与分布式通信 自适应多重协同分集 广义无线资源有效利用 新型多址复用体制
1970
1960
1980
1990
2000
1948, Shannoຫໍສະໝຸດ Baidu 通信中的数 学理论
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1940
年
单蜂窝 多址通 信的信 年 息论与 功率控 制
2000年后
1962 Shannon
1962 双向 通信 信道
1972 Cover 广播信 道
1976 Gallager 数据通信 网络的协 议信息极 限
码字正交——码分多址(CDMA)
码 字
码分多址是以扩频信号为基础的， 利用不同的码型实现不同用户的信 息传输。
频 率
用户3
主用户2 主用户1 时间
扩频信号是一种经过伪随机序列调 制的宽带信号，其带宽通常比原始 信号带宽高几个量级，所用到的数 学理论为时域信号越窄，频域信号 越宽。
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LDCD码和Turbo码与Shannon理论差0.2和0.7dB
Pe:10(-5),单用户,r:0.5,AWGN信道容量逼近里程碑
Shannon理论限 （1948）
CC(2,1,7)&VA (1967, 4.4dB）
Golay[24,12] （1949, 7.5dB）
LDPC （2001, 0.2dB）
2004 认知无线 电
2008 网络信息论
2002 Luby LT 码
2002 Tse, 移动性增加网络 容量
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2003 交叉层 设计
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示例1 Shannon数学应用 ——信道编码
• 信道编码通过在被传输数据中引入冗余来避免在 数字传输过程中出现误码。用于检测的信道编码 被称作检错编码，而既可检错又可纠错的信道编 码被称作纠错编码。 • 香农(Shahnon )早在1948年《通信的数学理论》 中提出并证明了：对于一个信道容量为C 的有扰 信道，消息源产生信息的速率为R ，只要R ≤ C， 则总可以找到一种信道编码和译码方式使编码错 误概率P 随着码长n 的增加．按指数下降到任意 小的值；若R > C ，则不存在编译码方式来实现 无误传输。这一数学结论为信道编码指出了方向。
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信息论的逐渐发展
Shannon 信息论: SISO, 遍历信道, 一维函数 bps / Hz 多维函数信息论: MIMO, 多用户信道,多址信道,广播信道,多跳信道,干 扰信道,衰落信道 ，多维函数 Bps/Hz/w/m* S.Shammai 扇区频谱效率 (Spectral Efficiency) bps / Hz /Sector Goldsmith 面积频谱效率 (Area Spectral Efficiency) bps /mm Gupta Kumar 传输容量 (Transport Capacity) 中断容量 (outage Capacity) 2014-12-16 6 空间容量 (Spatial Capacity)
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Shannon简历
1916年4月30日 Michigan 州； 1936年 Michigan Univer.，数学 Bachelor学位； 1938年 MIT，电机工程 Master学位，“延迟电路和开关 电路的符号分析”学位论文； 1940年 MIT，数学Ph.学位； 1948年 Bell Lab.， ”A Mathematical Theory of Communication Theory” Part 1 & 2, 通信的目的是消除 一种不确定性，因此把概率论引进信息论。 1958年 MIT； 1978年 退休。
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示例2 Shannon数学的应用 ——CDMA(扩频通信)
• 正是根据香农（Shannon )的通信数学原理， 信道容量、信道带宽和信噪比存在这样的 关系：C =Wlog2 (1+S/N) ．C为信道容量、 W为信道带宽、S 为信号功率而N 为噪声功 率，S／N为信噪比。容易得出， 信道容量 一定的情况下， 提高带宽可以降低信道允 许的信噪比。
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用数学概念诠译信息传输过程
• 《通信的数学理论》 A Mathematical Theory of Communication 信息论的奠基性论文，美国数学家C.E.香农所著。 1948年发表在《贝尔系统技术杂志》第27卷上。原 文共分五章。香农在这篇论文中把通信的数学理论建 立在概率论的基础上，把通信的基本问题归结为通信 的一方能以一定的概率复现另一方发出的消息，并针 对这一基本问题对信息作了定量描述。香农在这篇论 文中还精确地定义了信源信道信宿编码、译码等概念, 建立了通信系统的数学模型，并得出了信源编码定理 和信道编码定理等重要结果。这篇论文的发表标志一 门新的学科──信息论的诞生。
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时域正交——时分多址(TDMA)
信道时间间隔 功率 收发时间间隔
信 信 道 道 1 2 移动台收 （基站发）
信 道 N
信 信 道 道 1 2
信 道 N 移动台发 （基站收） 时间
时分多址（TDMA）是指把时间分割成周期性的帧，每一帧 再分割成若干个时隙（无论帧或时隙在时间上都是正交的， 即互不重叠）。 在TDMA系统中，每帧中的时隙结构设计通常要考虑三个主 要问题：一是控制和信令信息的传输；二是信道多经的影响； 三是系统的同步。 2014-12-16 24
2x2 SISO容量:1948, C.E. Shannon 实际系统已接近理论界！ 20 25
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0 0
1x1 5 10
15 SNR (dB)
容量提升:信息理论的突破
多用户容量
经典信息理论无能为力！
经典Shannon理论界
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宽带无线通信面临的新挑战
经典Shannon理论的局限性 – 仅仅解决了以时间和功率为代价的系统极限问题 – 仅仅解决了简单条件下的理论限问题 未来宽带无线通信所面临的新挑战 – 宽带多维度：时间、频率、空间、码道 – 多用户：资源共享、网络传输、多用户干扰 – 多业务：大动态范围、QoS、公平性 – 资源受限：带宽、功率、空间、时间有限 – 环境复杂：移动性、多径、衰落、多无线电共存
数学建模在通信中的应用
北京交通大学
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主要内容
• 通信理论与数学模型
• 数学模型解决通信理论和实际问题 • 通信问题推动数学理论的发展
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通信目的是消除一种不确定性
简单通信：烽火台。敌人是否来？预先不能确定。烽 火台可以传输“敌人是否来？”信息来消除不确定性。烽 火燃起（1）表示敌人侵犯，没有烽火（0）表示平安无事。 只有1和0二种情况的烽火台信息是最简单，最明确信 息。 信息单位：log2=1比特； 二个烽火台通信：log4=2比特；第一个烽火台表示敌 人是否来？第二个表示粮草是否补充？如（11）表示敌人 侵犯，补充粮草；（10）表示敌人侵犯，不补充粮草； （00）表示平安无事，不补充粮草；（01）表示平安无事， 补充粮草； 通信实际是一连串烽火台信息的组合；一连串0和1组 成的序列是通信理论的基础。其中蕴藏无限数学内容；我 们有最早的烽火台，但是没有用数学去分析信息的理论？
Turbo RS+CC （1993, 0.7dB） (CCSDS1987, 2.5dB）
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BCH[255,123] （1959/60, 5.7dB）
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容量提升:信息理论的突破
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MIMO系统容量
Capacity (bits/s/Hz) 50 8x8 40 30 20 10 4x4 MIMO容量: 1995, Telatar 实际系统离理论界差距大！
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逼近理论性能：追求极限
• 创建新型纠错编码、调制理论与方法，逼近 信道容量限。 • 发明新型合作编码、多址编码、空时频编码、 分布式编码，使信息、信道、系统特性完美 匹配。 • 构建高效率多址复用方案，充分利用多用户 信号的可辨识特征，。
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提升容量：全新理论体系与方法
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容量分析:确定复杂环境下的性 能限
• 问题的意义：宽带无线通信系统基础理论信息理论 关键问题系统极限分析与估计。 • 针对未来宽带数字通信系统的复杂环境，推广和建立 现代意义下的Shannon理论限。 - 多用户合作与干扰条件宽带无线系统性能分析的 理论与模型 - 凸优化、博弈论、随机矩阵、EM方法复杂环境与 时延受限条件下的容量（区域）与性能限
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主要内容
• 通信理论与数学模型
• 数学模型解决通信理论和实际问题 • 通信问题推动数学理论的发展
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数学模型解决通信理论问题案例
• 1、正交理论
• 2、最优化算法 • 3、中心极限定理
• 4、图论
• 5、随机过程
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正交理论
• 若干年来,由于移动通信业务的需求量与日 俱增,移动通信网络的发展重点一直是在频 率资源有限的条件下,努力提高通信系统的 容量.因此,未来采用什么样的多址方式更有 利于提高通信系统的容量,也成为人们非常 关心和有争议的问题。 • 多址实际上是采用正交理论，通过频域、 时域或码域的正交来区分不同用户或 不同 信道。
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海量信息传输速率现有系统容量理论瓶 颈。 容量提升可能性：未来多维度、非结构化 通信环境；分布式、自组织的无线网络架 构，多样化的用户行为。 多维协同自适应容量增强理论与机制：充 分利用信号空间多自由度、无线资源多维 度、用户行为多样性、网络行为多层互耦 性，进行多重协同分集复用与广义无线资 源有效利用。
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年
年
通信 网络 中最 大流 年 注记
1972, Liao 多址信 道
1974 Wyner
简单网 络的信 源编码
年
1994 Sham mi 蜂窝 移动 年 通信 的信 息论 分析
1995 Knapp
1998 Ephremi dus 信息论与 通信网: 未完成的 联合
1956 Shannon 1950