数学高考中归纳与类比思想方法扫描
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学 生课 本知 识 的掌握程 度 ， 在一定 程 度上 反 映学 也 生 思维 创新 能力 的强 弱． 学生 学 习 了归 纳与类 比并 有 所认 识后 ， 在学 习等 比数 列 时 ， 会 将 等 比数 列 就
例 ２ ５位 同学 围成 一 圈依序循 环报 数 ， 定 ： 规 ①第 １位 同学首 次报 出的数 为 １第 ２位 同学 首 次 ， 报 出的数也 为 １ 之后 每位 同学所 报 出 的数 都 是 前 ， ２位 同学所 报 出 的数 之和 ； ②若 报 出的数 为 ３的倍 数， 则报 该 数 的 同 学需 拍 手 １次． 知 甲 同学 第 １ 已 个 报数 ， ５位 同学依 序 循 环 报 到第 １０个数 时 ， 当 ０ 甲同学拍 手 的总 次数 为一 分析 （０９年福 建省 数 学高考理科 试题 ） ２０ 设 报 到 第 个 数 为 ａ． 先 归 纳 出 甲 首
７ ０＝１ ＋ｌ ＋１ ＋１ ＝１ ６ ７ ８ ９ ２＋ １ ３＋１ ＋ｌ ４ ５＋１ ＝ ６
７ ＋ ８ ＋９ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ． Ｏ １ ２ ３
分析 ２ 仔 细观 察 已 知 的 ３个 有关 正 整 数 的 等式 的 内部 结构 特点 ， 可知
１ ＋ 。 １＋ ） ， 。 ２ ：（ ２
空：
９ ：４＋５＝２＋３ ＋４．
１ ＝ １ ＋２ ＋ ３ ＋４． ０ １ ＝６ ＋７． ３ １ ＝７ ＋ ８ ＝４ ＋５ ＋６ ： １ ＋２ ＋３ ＋４ ＋５． ５
的地 位平 等 ， 所 具 有 的性 质 类 比得 出 所 具 由
有的性质 ， 这类题在高考 中属于容易题 ， 得分情况 较好． 题 型上表 现 为从 有 限到有 限 的归纳 与类 比 从
或对偶 式 归纳 与类 比等．
１ １ 从 有 限到有 限 的归纳 与类 比 ． 例 １ 观 察 下 列 等 式 ： ＋２ １ 。＝３ ， ＋２ Ｉ 。＋
３ 。＝６ １ ＋２ ＋３ 。＋４ ＝ １ ０
，Байду номын сангаас
…
，
，
根据上述规律 ，
第 ５个 等式 为—
— 一
（００年陕西省数学高考理科试题 ） ２１ 分 析 １ 根 据 已知 的 ３个 有 关 正 整 数 的 等式 的外 部 结构特 点可 知 ， ５个等 式 的左边 是 第
开始依 次 循 环 报 数 １ １ ２ ３ ５ ８ ｌ ， １ ３ ， ５ ， ， ， ， ， ，３ ２ ，４ ５ ，
与 等差 数列从 学 习的 目的性 、 究 的方 法 、 型 、 研 类 知 识体 系等 方 面进行 归 纳 与类 比 ， 生迁 移 ， 确 地 产 正 分辨 出等 差 、 比数列 的异 同 点 ， 而 真正 地 理 解 等 从 等 比数列．
・
４ ・ ０
中 学教 研 （ 学 ） 数
２１ ０ ０盘
数 学 高 考 中 归 纳 与 类 比 思 想 方 法 扫 描
●丁 国先 （ 杭州高级中学 浙江杭州 ３００ ） １０３
１ ＋ ＋ 。 ４ ＋ ＋ ’ １ ２＋ ４＋ ６ 。 ２ ３ ＋ ５ ６ ＝（ ＋ ３＋ ５＋ ） ，
在合 情推 理 中 ， 纳 与类 比思想 方法是 培养 创 归 新思 维能力 的基 础 ， 考对这 一 思想方 法 的考查 情 高
因此 第 ５个 等 式 为
１ ＋２。＋３ ＋４。＋５ ＋ ６ ＝２１
．
有独 钟 ， 映 了命 题者 深刻 领悟 数学课 程标 准 中对 反 学 生数 学 能力要 求 的理 解． 同时这类 考 题 既能考 查
１ ２ 对 偶 式 归 纳 与 类 比 ．
在高 中数 学 中对偶 表现 形式 较多 ， 如指 数与 譬 对 数 、 数与 积 分 、 导 等差 与等 比数列 、 不等式 与方 程
等， 因此对 偶 式 的归纳 与类 比在 高考 及各类 考试 中
也经 常 出现 ．
１ ２ ＋３ ＋ ＝（ ＋２＋ ） １ ３ ，
１ 平衡 型 归纳 与类 比
平 衡 型 归 纳 与 类 比是 指 已知 对 象 Ａ ， Ａ ， Ａ ， ，
，
归 纳得 出 或 Ａ ， 已知 ２个 对 象 ， 所 处 或
８ ，４ … 中 ３的倍 数是 周 期 出现 的 ，４为 ３的倍 ９ １４， ａｍ 数（ ｍ∈Ｎ ， 甲 同学 报 的数 为 ａ… （ ∈Ｎ） 所 ） 而 ｔ ， 以当 ５位 同 学依 序 循 环 报 到第 １０个 数时 甲 同学 ０ 报 的数 中是 ３的 倍 数 的有 ａ６ａ６ａ６ａ６ａ６故 １，３，５，７，９， 甲同学拍 手 的总次 数 为 ５ ． 例 ３ 给 出下 列 等式 ， 察 领 会 其 特 点 ， 填 观 并
丁 国 先 ： 考 数 学 中 归 纳 与类 比 思 想 方 法 扫 描 高
１ ＋ 。 ３ ＋ 。 １ ２＋ ４ ２ 。 ２ ＋ 。 ４ ＝（ ＋ ３＋ ） ，
根据上 述规 律 和第 ４ ５个等式 分别 为 ，
１ ＋ 。 ３ ＋ ＝（ ２＋３＋ 。 ２ ＋ 。 ４ ＋５ １＋ ４＋ ） ５ ，
例 ４ 观察 表 １已知 的部分 内容 ， 空 ： 填
第１ ０期
１ ＋２。＋３ ＋４ ＋５ 。 。＋６ ＝ １ ＋ １ ５ ＋２１ ＝ ０ ２ ６ ４ ４１ ＝２１ 。
，
数 ｎ分解 为连 续 的若 干个 正整数 的和 ， 比这 ４个 类
所 以第 ５个 等式 为
１ 。＋２ ＋３ 。＋４ 。＋５ ＋６ ＝２１ ２
．
等式 ， 可以写 出 ７ ０的 ３ 种分解方法为：
１ ＋２。＋３ ＋４。＋ ５ 。＋６。
．
贝 ０＝— Ｈ ７ 分析
—
： —
—
＝一
（０９年福 建 厦 门适应 性考试试题 改编 ） ２０
首 先理 解领 会 ４个等 式 的含 义 ， 细观 仔 察、 敲 、 推 归纳 ， 式 的一个 共 同特征是 把一 个正整 等
而右边 是 一个完 全平 方数 ， 因此 可 以计 算左 边
例 ２ ５位 同学 围成 一 圈依序循 环报 数 ， 定 ： 规 ①第 １位 同学首 次报 出的数 为 １第 ２位 同学 首 次 ， 报 出的数也 为 １ 之后 每位 同学所 报 出 的数 都 是 前 ， ２位 同学所 报 出 的数 之和 ； ②若 报 出的数 为 ３的倍 数， 则报 该 数 的 同 学需 拍 手 １次． 知 甲 同学 第 １ 已 个 报数 ， ５位 同学依 序 循 环 报 到第 １０个数 时 ， 当 ０ 甲同学拍 手 的总 次数 为一 分析 （０９年福 建省 数 学高考理科 试题 ） ２０ 设 报 到 第 个 数 为 ａ． 先 归 纳 出 甲 首
７ ０＝１ ＋ｌ ＋１ ＋１ ＝１ ６ ７ ８ ９ ２＋ １ ３＋１ ＋ｌ ４ ５＋１ ＝ ６
７ ＋ ８ ＋９ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ． Ｏ １ ２ ３
分析 ２ 仔 细观 察 已 知 的 ３个 有关 正 整 数 的 等式 的 内部 结构 特点 ， 可知
１ ＋ 。 １＋ ） ， 。 ２ ：（ ２
空：
９ ：４＋５＝２＋３ ＋４．
１ ＝ １ ＋２ ＋ ３ ＋４． ０ １ ＝６ ＋７． ３ １ ＝７ ＋ ８ ＝４ ＋５ ＋６ ： １ ＋２ ＋３ ＋４ ＋５． ５
的地 位平 等 ， 所 具 有 的性 质 类 比得 出 所 具 由
有的性质 ， 这类题在高考 中属于容易题 ， 得分情况 较好． 题 型上表 现 为从 有 限到有 限 的归纳 与类 比 从
或对偶 式 归纳 与类 比等．
１ １ 从 有 限到有 限 的归纳 与类 比 ． 例 １ 观 察 下 列 等 式 ： ＋２ １ 。＝３ ， ＋２ Ｉ 。＋
３ 。＝６ １ ＋２ ＋３ 。＋４ ＝ １ ０
，Байду номын сангаас
…
，
，
根据上述规律 ，
第 ５个 等式 为—
— 一
（００年陕西省数学高考理科试题 ） ２１ 分 析 １ 根 据 已知 的 ３个 有 关 正 整 数 的 等式 的外 部 结构特 点可 知 ， ５个等 式 的左边 是 第
开始依 次 循 环 报 数 １ １ ２ ３ ５ ８ ｌ ， １ ３ ， ５ ， ， ， ， ， ，３ ２ ，４ ５ ，
与 等差 数列从 学 习的 目的性 、 究 的方 法 、 型 、 研 类 知 识体 系等 方 面进行 归 纳 与类 比 ， 生迁 移 ， 确 地 产 正 分辨 出等 差 、 比数列 的异 同 点 ， 而 真正 地 理 解 等 从 等 比数列．
・
４ ・ ０
中 学教 研 （ 学 ） 数
２１ ０ ０盘
数 学 高 考 中 归 纳 与 类 比 思 想 方 法 扫 描
●丁 国先 （ 杭州高级中学 浙江杭州 ３００ ） １０３
１ ＋ ＋ 。 ４ ＋ ＋ ’ １ ２＋ ４＋ ６ 。 ２ ３ ＋ ５ ６ ＝（ ＋ ３＋ ５＋ ） ，
在合 情推 理 中 ， 纳 与类 比思想 方法是 培养 创 归 新思 维能力 的基 础 ， 考对这 一 思想方 法 的考查 情 高
因此 第 ５个 等 式 为
１ ＋２。＋３ ＋４。＋５ ＋ ６ ＝２１
．
有独 钟 ， 映 了命 题者 深刻 领悟 数学课 程标 准 中对 反 学 生数 学 能力要 求 的理 解． 同时这类 考 题 既能考 查
１ ２ 对 偶 式 归 纳 与 类 比 ．
在高 中数 学 中对偶 表现 形式 较多 ， 如指 数与 譬 对 数 、 数与 积 分 、 导 等差 与等 比数列 、 不等式 与方 程
等， 因此对 偶 式 的归纳 与类 比在 高考 及各类 考试 中
也经 常 出现 ．
１ ２ ＋３ ＋ ＝（ ＋２＋ ） １ ３ ，
１ 平衡 型 归纳 与类 比
平 衡 型 归 纳 与 类 比是 指 已知 对 象 Ａ ， Ａ ， Ａ ， ，
，
归 纳得 出 或 Ａ ， 已知 ２个 对 象 ， 所 处 或
８ ，４ … 中 ３的倍 数是 周 期 出现 的 ，４为 ３的倍 ９ １４， ａｍ 数（ ｍ∈Ｎ ， 甲 同学 报 的数 为 ａ… （ ∈Ｎ） 所 ） 而 ｔ ， 以当 ５位 同 学依 序 循 环 报 到第 １０个 数时 甲 同学 ０ 报 的数 中是 ３的 倍 数 的有 ａ６ａ６ａ６ａ６ａ６故 １，３，５，７，９， 甲同学拍 手 的总次 数 为 ５ ． 例 ３ 给 出下 列 等式 ， 察 领 会 其 特 点 ， 填 观 并
丁 国 先 ： 考 数 学 中 归 纳 与类 比 思 想 方 法 扫 描 高
１ ＋ 。 ３ ＋ 。 １ ２＋ ４ ２ 。 ２ ＋ 。 ４ ＝（ ＋ ３＋ ） ，
根据上 述规 律 和第 ４ ５个等式 分别 为 ，
１ ＋ 。 ３ ＋ ＝（ ２＋３＋ 。 ２ ＋ 。 ４ ＋５ １＋ ４＋ ） ５ ，
例 ４ 观察 表 １已知 的部分 内容 ， 空 ： 填
第１ ０期
１ ＋２。＋３ ＋４ ＋５ 。 。＋６ ＝ １ ＋ １ ５ ＋２１ ＝ ０ ２ ６ ４ ４１ ＝２１ 。
，
数 ｎ分解 为连 续 的若 干个 正整数 的和 ， 比这 ４个 类
所 以第 ５个 等式 为
１ 。＋２ ＋３ 。＋４ 。＋５ ＋６ ＝２１ ２
．
等式 ， 可以写 出 ７ ０的 ３ 种分解方法为：
１ ＋２。＋３ ＋４。＋ ５ 。＋６。
．
贝 ０＝— Ｈ ７ 分析
—
： —
—
＝一
（０９年福 建 厦 门适应 性考试试题 改编 ） ２０
首 先理 解领 会 ４个等 式 的含 义 ， 细观 仔 察、 敲 、 推 归纳 ， 式 的一个 共 同特征是 把一 个正整 等
而右边 是 一个完 全平 方数 ， 因此 可 以计 算左 边