二次函数的图像和性质第四节PPT课件
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1y 2x2 12x 13
2y 5x2 80x 319 .
3y 2 x 1 x 2
2
4y 32x 12 x
（1）直线x=3,(3,-15); （2）直线x=8,(8,1); （3）直线x=1.25,(1.25,-1.125); （4）直线x=0.75,(0.75,9.375).
如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A , B, C 为抛物 线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正 确的是（ ） A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b<2a D.ac<0
北师版九年级数学下册 第二章 二次函数
第二节二次函数的图象与性质（第4课时）
函数表达 式
开口 方向
增减性
对称轴
顶点 坐标
y ax2
y ax2 c
y ax h2
a>0,
a>0,在对称轴 左侧,y都随x的
y轴(直线x 0)
(0,0)
开口
增大而减小,在 对称轴右侧,y
y轴(直线x 0)
(0, c)
2a
4a
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系 1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增 大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而 增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
像和性质吗？ 例1 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点
坐标
提示：利用配方法将二次函数y=2x2-8x+7化成y=a （x-h）2+k的形式呗！ 解： y=2x2-8x+7
=2（x2-4x）+7 =2（x2-4x+4-4）+7 =2（x2-4x+4）-8+7
=2（x-2）2+7 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线 x=2,顶点坐标为（2，-1）
2a
开口方向 向上
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y 在对称轴的左侧,y 随着x的增大而减 随着x的增大而增大. 小. 在对称轴的右 在对称轴的右侧, y 侧, y随着x的增大 随着x的增大而减小. 而增大.
最值
当x
b
时,
最小值为
4ac
b
2
当x
b
时,最大值为 4ac b2
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系 是什么？
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
来自百度文库
对称轴 直线x b
向上;都随x的增大而 增大;
直线x h
(h,0)
a<0, a<0,在对称轴左
开口 侧,y都随x的增
向下.大而增大,在对
(h, k )
y ax h2 k
称轴右侧,y都随 直线x h
x的增大而减小 .
我们已经认识了形如y=a（x-h）2+k的二次函数的
图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图
202
400 9
0.0225x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标是 20,1.
由此可知桥面最低点到桥面的距离是1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m.
你知道图中右面抛物线的表达式是什么吗？
y 9 (x 20)2 1, 400
即y 9 x2 9 x 10. 400 10
解：把二次函数y=ax²+bx+c的右边配方，得
y ax2 bx c
提取二次项系数
a（x2 b x) c
配方:加上再减去一次
a
项系数绝对值一半的 平方
a
x
2
2
b 2a
x
(
b 2a
)2
(b 2a
)2
c
整理、化简:前三项 化为平方形式,去掉
a x
b
2
4ac
b2
.
中括号后两项合并同 2a
y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|
b 2a
|
个单位(当
b 2a
>0时,向右平移;当
b 2a
<0
时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|4ac b2
4a
|个单位 (当 4ac b2 >0时向上平移;当 4ac b2
4a
4a
<0时,向下平移)得到的.
练习 用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
可标,以从将而函获数得y钢缆490的0 x最2 低190点x 到10桥面配的方距,求离得; 顶点坐
y 9 x2 9 x 10 400 10
0.0225 x2 40x 4000
9
0.0225 x2 40x 202 202 4000
9
0.0225x
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x+7;
（2）y=2x2-12x+8
（1）对称轴是直线x=1,顶点坐标为（1,4）； （2）对称轴是直线x=3,顶点坐标为（3，-10）。
如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更 好的办法吗？
例2:求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
4a
类项
因此二次函数y ax2 bx c图象的对称轴是直线x b , 2a
顶点坐标是（ b , 4ac b2 ). 2a 4a
结论 顶点坐标公式
y a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线 : x b . 2a
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同 (2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4ac 4a
b2
和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 直线x b 和y轴. 2a
(4)最值不同:分别是 4ac b2 和0. 4a
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成
它的顶点坐标是(
b
4ac b2
,
).
2a 4a
做一做 如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状. 按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y 9 x2 9 x 10 表示,而且左、右两条抛物线关
400 10
于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
2y 5x2 80x 319 .
3y 2 x 1 x 2
2
4y 32x 12 x
（1）直线x=3,(3,-15); （2）直线x=8,(8,1); （3）直线x=1.25,(1.25,-1.125); （4）直线x=0.75,(0.75,9.375).
如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A , B, C 为抛物 线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正 确的是（ ） A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b<2a D.ac<0
北师版九年级数学下册 第二章 二次函数
第二节二次函数的图象与性质（第4课时）
函数表达 式
开口 方向
增减性
对称轴
顶点 坐标
y ax2
y ax2 c
y ax h2
a>0,
a>0,在对称轴 左侧,y都随x的
y轴(直线x 0)
(0,0)
开口
增大而减小,在 对称轴右侧,y
y轴(直线x 0)
(0, c)
2a
4a
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系 1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增 大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而 增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
像和性质吗？ 例1 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点
坐标
提示：利用配方法将二次函数y=2x2-8x+7化成y=a （x-h）2+k的形式呗！ 解： y=2x2-8x+7
=2（x2-4x）+7 =2（x2-4x+4-4）+7 =2（x2-4x+4）-8+7
=2（x-2）2+7 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线 x=2,顶点坐标为（2，-1）
2a
开口方向 向上
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y 在对称轴的左侧,y 随着x的增大而减 随着x的增大而增大. 小. 在对称轴的右 在对称轴的右侧, y 侧, y随着x的增大 随着x的增大而减小. 而增大.
最值
当x
b
时,
最小值为
4ac
b
2
当x
b
时,最大值为 4ac b2
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系 是什么？
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
来自百度文库
对称轴 直线x b
向上;都随x的增大而 增大;
直线x h
(h,0)
a<0, a<0,在对称轴左
开口 侧,y都随x的增
向下.大而增大,在对
(h, k )
y ax h2 k
称轴右侧,y都随 直线x h
x的增大而减小 .
我们已经认识了形如y=a（x-h）2+k的二次函数的
图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图
202
400 9
0.0225x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标是 20,1.
由此可知桥面最低点到桥面的距离是1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m.
你知道图中右面抛物线的表达式是什么吗？
y 9 (x 20)2 1, 400
即y 9 x2 9 x 10. 400 10
解：把二次函数y=ax²+bx+c的右边配方，得
y ax2 bx c
提取二次项系数
a（x2 b x) c
配方:加上再减去一次
a
项系数绝对值一半的 平方
a
x
2
2
b 2a
x
(
b 2a
)2
(b 2a
)2
c
整理、化简:前三项 化为平方形式,去掉
a x
b
2
4ac
b2
.
中括号后两项合并同 2a
y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|
b 2a
|
个单位(当
b 2a
>0时,向右平移;当
b 2a
<0
时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|4ac b2
4a
|个单位 (当 4ac b2 >0时向上平移;当 4ac b2
4a
4a
<0时,向下平移)得到的.
练习 用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
可标,以从将而函获数得y钢缆490的0 x最2 低190点x 到10桥面配的方距,求离得; 顶点坐
y 9 x2 9 x 10 400 10
0.0225 x2 40x 4000
9
0.0225 x2 40x 202 202 4000
9
0.0225x
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x+7;
（2）y=2x2-12x+8
（1）对称轴是直线x=1,顶点坐标为（1,4）； （2）对称轴是直线x=3,顶点坐标为（3，-10）。
如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更 好的办法吗？
例2:求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
4a
类项
因此二次函数y ax2 bx c图象的对称轴是直线x b , 2a
顶点坐标是（ b , 4ac b2 ). 2a 4a
结论 顶点坐标公式
y a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线 : x b . 2a
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同 (2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4ac 4a
b2
和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 直线x b 和y轴. 2a
(4)最值不同:分别是 4ac b2 和0. 4a
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成
它的顶点坐标是(
b
4ac b2
,
).
2a 4a
做一做 如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状. 按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y 9 x2 9 x 10 表示,而且左、右两条抛物线关
400 10
于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？