二次函数的图像和性质第四节PPT课件

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《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第4课时)-北师大版九年级数学下册

解：(1)把点P(-2，3)代入y=x2+ax+3，得3=(-2)2-2a+3，解得a=2，
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(-1，2)． (2)①n=11． ②2≤n<11．
第二章
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
第二章
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-5-
7．抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐
标为-1，则一次函数y=(a-b)x+(a+b)的图象大致是 ( D )
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第二章
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1二次函数y=ax2+bx+c的性质
1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是 ( A )
A．(-1，8) B．(1，8) C．(-1，2) D．(1，-4)
第二章
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

二次函数图像与性质ppt课件

D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分又f(－x＋5)＝f(x－3)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？【思考·提示】不会为奇函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5，解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表达形式

26.1 二次函数及其图像课件4(数学人教版九年级下册)

y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点：（1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ；（2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。（ h，k）

二次函数的图像和性质(共48张PPT)

C、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向上，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故符合题意； D、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；故选：C．
即当 x＜－2ba时，当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口对称轴、顶点
抛物线开口向抛物线开口向
上，并向上无限下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，即
低点，当高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝最小值
y ＝最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0

《22.1.4二次函数图像和性质(4)》》ppt课件

像你的能特说征出吗二？次函数y=1—2 x2－6x＋21图
4
如何画出y 1 x2 6x 21的图象呢? 2
我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数
也能y 化成1 x这2 样 6的x形式21吗? 2
5
y 1 x2 6x 21 你知道是怎样配
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2 21
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时，y有最大(最小)
值
y= 4ac－b2 ______________________
4a
16
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
为(- 1,2),则b = ______，c = ______.
11
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。

二次函数的图像与性质-完整版课件

二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D，使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断。当Δ>0时，二次函数有两个不相等的零点；当Δ=0时，二次函数有两个相等的零点（即一个重根）；当Δ<0时，二次函数无零点。

二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)

相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.

二次函数的图像和性质ppt课件

二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题，如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的图像和性质ppt课件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质(4)》公开课课件

• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/222021/7/222021/7/227/22/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/222021/7/22July 22, 2021
北师大版九年级（下）
2 二次函数的图象与性质（4）
想一想
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们可以作二次函数3(x-1)2+2的图象．
y0.02x2 25 0.9x1.0
因此 ,其顶点坐 :2标 0,1. 为
两条钢缆最距低离点 2为之 02间 04的 0m.
⑶你还有其他方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
y0.02x2 25 0.9x10 y0.02x2 25 0.9x1
同理 ,右边抛物线的为顶:2点0,1.坐标
两条钢缆最距低离点 2为之 02间 04的 0m.
请你总结函数函数y=ax2+bx+c(a≠0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？

《二次函数》ppt课件

判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次方程，可以使用求根公式进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，从而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后，根据二次函数的性质，对称轴为x = h，顶点坐标为(h, k)。最后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x，求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单调性，在区间[-1, 1]上单调递减，在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来实现利润最大化。

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y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|
b 2a
|
个单位(当
b 2a
>0时,向右平移;当
b 2a
<0
时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|4ac b2
4a
|个单位 (当 4ac b2 >0时向上平移;当 4ac b2
4a
4a
<0时,向下平移)得到的.
练习用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
2a
4a
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系 1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
1y 2x2 12x 13
2y 5x2 80x 319 .
3y 2 x 1 x 2
2
4y 32x 12 x
（1）直线x=3,(3,-15); （2）直线x=8,(8,1); （3）直线x=1.25,(1.25,-1.125); （4）直线x=0.75,(0.75,9.375).
如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A , B, C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（） A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b<2a D.ac<0
2a
开口方向向上b 2a来自,4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y 在对称轴的左侧,y 随着x的增大而减随着x的增大而增大. 小. 在对称轴的右在对称轴的右侧, y 侧, y随着x的增大随着x的增大而减小. 而增大.
最值
当x
b
时,
最小值为
4ac
b
2
当x
b
时,最大值为 4ac b2
4a
类项
因此二次函数y ax2 bx c图象的对称轴是直线x b , 2a
顶点坐标是（ b , 4ac b2 ). 2a 4a
结论顶点坐标公式
y a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线 : x b . 2a
它的顶点坐标是(
b
4ac b2
,
).
2a 4a
做一做如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状. 按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y 9 x2 9 x 10 表示,而且左、右两条抛物线关
400 10
于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
北师版九年级数学下册第二章二次函数
第二节二次函数的图象与性质（第4课时）
函数表达式
开口方向
增减性
对称轴
顶点坐标
y ax2
y ax2 c
y ax h2
a>0,
a>0,在对称轴左侧,y都随x的
y轴(直线x 0)
(0,0)
开口
增大而减小,在对称轴右侧,y
y轴(直线x 0)
(0, c)
202
400 9
0.0225x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标是 20,1.
由此可知桥面最低点到桥面的距离是1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m.
你知道图中右面抛物线的表达式是什么吗？
y 9 (x 20)2 1, 400
即y 9 x2 9 x 10. 400 10
解：把二次函数y=ax²+bx+c的右边配方，得
y ax2 bx c
提取二次项系数
a（x2 b x) c
配方:加上再减去一次
a
项系数绝对值一半的平方
a
x
2
2
b 2a
x
(
b 2a
)2
(b 2a
)2
c
整理、化简:前三项化为平方形式,去掉
a x
b
2
4ac
b2
.
中括号后两项合并同 2a
向上;都随x的增大而增大;
直线x h
(h,0)
a<0, a<0,在对称轴左
开口侧,y都随x的增
向下.大而增大,在对
(h, k )
y ax h2 k
称轴右侧,y都随直线x h
x的增大而减小 .
我们已经认识了形如y=a（x-h）2+k的二次函数的
图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴直线x b
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同 (2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4ac 4a
b2
和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是直线x b 和y轴. 2a
(4)最值不同:分别是 4ac b2 和0. 4a
二次函数y=ax2+bx+c与y=ax²的关系
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成
像和性质吗？例1 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点
坐标
提示：利用配方法将二次函数y=2x2-8x+7化成y=a （x-h）2+k的形式呗！解： y=2x2-8x+7
=2（x2-4x）+7 =2（x2-4x+4-4）+7 =2（x2-4x+4）-8+7
=2（x-2）2+7 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线 x=2,顶点坐标为（2，-1）
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x+7;
（2）y=2x2-12x+8
（1）对称轴是直线x=1,顶点坐标为（1,4）；（2）对称轴是直线x=3,顶点坐标为（3，-10）。
如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更好的办法吗？
例2:求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
可标,以从将而函获数得y钢缆490的0 x最2 低190点x 到10桥面配的方距,求离得; 顶点坐
y 9 x2 9 x 10 400 10
0.0225 x2 40x 4000
9
0.0225 x2 40x 202 202 4000
9
0.0225x