空间向量的数量积

b
b
a
b
a a
0
b b
(3) a2 a a a2
(1)用cos (2)用a
a, b b
aabb求夹角 0判断垂直
(3)求 a2 a a求长度
巩固练习

1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
求对角线 AC 的长。
D'
C'
A'
B'
D A
C B
5.已知线段 AB、BD 在平面 内， BD A，B 线段 AC
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
c
D
a
b

A
B
解：∵
uuur uuur uuur uuur | CD |2 (CA AB BD)2
①若
r a

r b

r a

r c
,则
rr bc

②若
rr ab k
r
,则 a

kr

③
rr r r rr (a b) c a (b c)
b

例题讲解
例 1、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，

①( a · b ) c ( c · a ) b =0



②| a |-| b |<| a b |


③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
D


④(3 a +2 b )·(3 a 2 b )=9| a |2-
4

b
F
B
D
C
A1
C1
3如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 若AB= 2BB1,则AB1与C1B所成角 的大小为( )
A
A.60o B. 90o C. 105o D. 75o
B1
C B
4.已知在平行六面体 ABCD ABCD 中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60 ,
r ur r ur
r
Q rl mur 0, l rm ur0 ,
gl
m
ur
l g 0,即l g.
n
r n
ur g
m
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
空间向量数量 积的定义
空间向量数量积 的性质
空间向量数量积 的运用
空间向量的夹角
(1) cos a,
(2)a
证明：在直线l上取向量
r a
r uuur ,只要证 a PA 0
r uuur r uuur Q a PO 0 , a OA 0
P
r uuur r uuur uuur
r
a PA a (PO OA)
O A a
r uuur r uuur
l
a PO a OA
bb，co有s ： ar,
r b

变形
⑴ cos a,b aabb
⑵
ar

r b

ar
r b
0
求夹角 判断垂直
⑶ | ar |2 ar ar
求长度（模）
5. 空间向量数量积运算律
⑴
ar

r b

r b

ar
（交换律）
⑵
(ar )

r b

(ar
r b)
r uu0ur a PA,即l PA .
逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
随堂训练
1.已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC
O
求证：OC ⊥AB
A
C
B
例2、已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l⊥ .
0

ar ,
r b
ar ,
r b


r b
,
ar


uuur uuur uuur2 uuur
uuur uuur
uuur uuur
OA,OB> OB,OA OA,OB OA, OB
2. 空间两个向量的数量积
rr r r rr
已知空间两个非零 向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量
解: 在 内作不r与urm r,nu重r 合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
ur ur r r ur r ur r r
g xm yn , l g xl m yl n , l
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA
分析：用向量来证明两直线
垂直，只需证明两直线的方 向向量的数量积为零即可！
适当取向量尝试看看！

P
r
O A a l
如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA
求证：l PA
2 中,真命题是(
)
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
23..如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线长都等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。
uuur uuur uuur uuur 计算：（1）EF BA (2) EF BD
A
uuur uuur uuur uuur
(3) EF DC (4) EF AC E

ar
r
(b)（数乘结合律）
⑶
ar
பைடு நூலகம்
r (b

cr )

ar
r b

ar
cr
（分配律）
（a b) c a (b c)
注意： 数量积不满足结合律
思考
r
r
1.已知 a 2 2 , b
2
rr ,ab


2,
则
r a
r 与b
2
的夹角大小为_1_3__5_o.
2.下列命题成立吗?
uuur uuur uuur | CA |2 | AB |2 | BD |2
a2 b2 c2
CD a2 b2 c2
谢 谢
空间向量的数量积运算
讲授新课 1.空间两个向量的夹角
已知两个非零向量
a,
b,
作OA

a,OB

b,
AOB 叫做a与b向量的夹角.记作:
a则r , br

A

a

b
a
o

b
B
关键是 起点相
同！
1 2 3
当
当 当
a, b
a,
b
a, b
0时, a与b同向.
时, a与b反向. 时, a b.
rr
rr
a,b的数量积，则作：a b,即
r r r r rr
a b a b cosa,b
注意: 两个向量的数量积是数量，而不是向量.
0
a

0
0

a
0
点乘符号“· ”在向量运算中不是乘号，既 不能省略，也不能用“×”代替.
4、空间向量数量积的性质
rr
对于非a零b向量aa ,